*第七节 二元高次方程组 主要内容 两个一元多项式有非常数公因式的条件 二元高次方程组的一个一般解法

一、两个一元多项式 有非常数公因式的条件 现在我们利用已经建立起来的线性方程组的理 为了这 论给出一个解二元高次方程组的一般方法. 个目的，我们先讨论一下两个一元多项式有非常数 的公因式的条件. 根据第一章的结果，可以证明：

引理 设 f (x) = a0xn + a1xn - 1 + … + an , (1) 引理 设 f (x) = a0xn + a1xn - 1 + … + an , (1) g(x) = b0xm + b1xm - 1 + … + bm , (2) 是数域 P 上的两个非零的多项式, 它们的系数 a0, b0 不全为零. 于是 f (x) 与 g(x) 在 P[x] 中有非常数的 公因式的充分必要条件是，在 P[x] 中存在非零的次 数小于 m 的多项式 u(x) 与次数小于 n 的多项式 v(x) 使 u(x) f (x) = v(x) g(x) .

证明 先证必要性 如果 f (x) 与 g(x) 有非常数的公因式 d(x)， 即 f (x) = d(x) f1 (x)， g(x) = d(x) g1(x) ， 其中  ( f1 (x) ) < n，  ( g1(x) ) < m， 那么取 u(x) = g1(x) ， v(x) = f1(x)， 显然就有 u(x) f (x) = d(x) f1 (x) g1(x) = v(x) g(x) .

再证充分性 . 为了确定起见，不妨设 a0  0，也 就是说， f (x) 是一 n 次多项式. 假定有 u(x)， v(x) 使 u(x) f (x) = v(x) g(x) ， (3) 其中  ( u(x) ) < m，  ( v(x) ) < n . 令 ( f (x) ， v(x) ) = d(x)， 于是 f (x) = d(x) f1 (x)， v(x) = d(x) v1(x) . 代 入 (3) 式，得

证毕 d(x) u(x) f1 (x) = d(x) v1(x) g(x) ， 消去 d(x) ，有 u(x) f1 (x) = v1(x) g(x) . (4) 因为 d(x) | v(x) ，所以 d(x) 的次数小于 n ，因而 f1 (x) 的次数大于零. 我们知道 ( f1 (x) , v1(x) ) =1 , 于是由 (4) ，即 f1 (x) | v1(x) g(x) f1 (x) | g(x) . 得 这就是说， f (x) 与 g(x) 有一非常数的公因式 f1 (x). 证毕

下面再来把引理中的条件改变一下. 令 u (x) = u0xm -1 + u1xm - 2 + … + um -1 , v (x) = v0xn - 1 + v1xn - 2 + … + vn -1 , 由多项式相等的定义 ，等式 u(x) f (x) = v(x) g(x) (5) 就是左右两端对应系数相等，即

如果把 (6) 看成一个关于未知量 u0 , u1 , … , um - 1 , v0 , v1 , … , vn - 1 的方程组，那么它是一个含 m + n 个未知量 m + n

个方程的齐次线性方程组. 显然，引理中的条件： “在 P[ x ] 中存在非零的次数小于 m 的多项式 u(x) 与次数小于 n 的多项式 v(x) 使 (5) 式成立”就相当 于说，齐次线性方程组 (6) 有非零解. 我们知道，齐次线性方程组 (6) 有非零解的充 分必要条件是它的系数矩阵的行列式等于零 (第四 节定理 5 的 ) . 把线性方程组 (6) 的系数矩阵的行列互换，再 把后边的 n 行反号，取行列式就得

m 行 n 行

对任意多项式 f (x) = a0xn + a1xn - 1 + … + an , g(x) = b0xm + b1xm - 1 + … + bm , (它们可以为零多项式)，我们称上面的行列式为它 们的结式，记为 R( f , g ). 综合以上分析，可证明 以下定理：

定理 10 设 f (x) = a0xn + a1xn - 1 + … + an , 定理 10 设 f (x) = a0xn + a1xn - 1 + … + an , g(x) = b0xm + b1xm - 1 + … + bm , 是 P[x] 中两个多项式，m, n > 0，于是它们的结式 R( f , g ) = 0 的充分必要条件是 f (x) 与 g(x) 在 P[x] 中有非常数的公因式或者它们的第一个系数a0，b0 全为零.

证明 如果 a0 , b0 全为零，或 f (x) , g(x) 有一 个为零，则 R( f , g ) = 0 . 且有非常数公因式，由引理有 u(x) , v(x) ， ( u(x) ) < m,  ( v(x) ) < n, 使 u(x) f (x) = v(x) g(x) . 于是 (6) 有非零解，也得 R( f , g ) = 0 . 反之，设 R( f , g ) = 0 . 若 f (x) , g(x) 中有一个 为零多项式，定理显然成立. 在 f (x) , g(x) 都不为 零，且 a0 , b0 不全为零时. 由 R( f , g ) = 0 ，则 (6) 有非零解. 也即存在不全为零的

证毕 u (x) = u0xm -1 + u1xm - 2 + … + um -1 , 和 v (x) = v0xn - 1 + v1xn - 2 + … + vn -1 , 使 u(x) f (x) = v(x) g(x) . 因为 f (x) , g(x) 全不为零，故必有 u(x)， v(x) 全不 为零. 所以 ( u(x) ) < m ,  ( v(x) ) < n . 由引理， f (x) , g(x) 有非常数公因式. 此外就是 a0 , b0 全为零 的情况. 定理得证. 证毕

当 P 是复数域时，两个多项式有非常数公因式 与有公共根是一致的. 因此对复数域上多项式 f (x), g(x) , R ( f , g ) = 0 的充分必要条件为 f (x) , g(x) 在 复数域中有公共根或它们的第一个系数全为零.

二、二元高次方程组 的一个一般解法 结式还提供了解二元高次方程组的一个一般的 方法. 设 f ( x, y ) , g ( x, y ) 是两个复系数的二元多 项式，我们来求方程组 在复数域中的全部解. f ( x, y ) 与 g ( x, y ) 可写成

其中 ai (y) , bj (y) , i = 0, 1, … , n, j = 0, 1, … , m 是 y 的多项式. 把 f ( x, y ) , g ( x, y ) 看作是 x 的多项式, 令

这是一个 y 的复系数多项式. 由定理 10 即得下面定理：

定理 11 如果 ( x0 , y0 ) 是方程组 (7) 的一个复 数解，那么 y0 就是 Rx ( f , g ) 的一个根； 反过来， 如果 y0 是 Rx ( f , g ) 的一个复根，那么 a0 ( y0 ) = 0, b0 ( y0 ) = 0，或者存在一个复数 x0 , 使 ( x0 , y0 ) 是 方程组 (7) 的一个解. 由此可知，为了解方程组 (7) ，我们先求高次 方程 Rx ( f , g ) = 0 的全部根，把 Rx ( f , g ) = 0 的每 个根代入 (7) ，再求 x 的值. 这样，就得到 (7) 的 全部解.

例 1 解方程组 解 把方程组改写成 于是

单击这里求解

Ry ( f , g ) 的 4 个根是 用 代入原方程组，得 这两个方程的公共根是 所以原方程组 的一个解是 用同样的方法求得其它解 分别为

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