1．设圆的圆心是C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2 1．设圆的圆心是C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r，则圆的标准方程是x2＋y2＝r2. 2．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r.点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r. 3．已知二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
(2)圆的一般方程突出了方程形式的特点： ①x2和y2的系数相等． ②没有xy这样的二次项． 5．A＝C≠0且B＝0是二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的必要不充分条件．
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 答案：A
2．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( ) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
3．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
4．已知A(x1，y1)、B(x2，y2)是圆x2＋y2＝2上两点，O为坐标原点，且∠AOB＝120°，则x1x2＋y1y2＝________.
1．当二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0满足条件：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0时，才表示圆．条件①和②合起来是此方程表示圆的必要条件，不是充要条件；条件①②③合起来是此方程表示圆的充要条件． 2．圆的方程中，有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．确定系数的方法可用待定系数法．
考点一 求圆的方程 【案例1】 (2009·广东)以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是________． 关键提示：求出圆心到直线的距离即为圆的半径，再代入圆的标准方程即可．
【即时巩固1】 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．
考点二 与圆有关的轨迹问题 【案例2】 自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC的中点P的轨迹方程． 关键提示：考虑到弦BC的中点P与圆心O的连线OP⊥BC，因此本题的求解，既可采用几何法、定义法，也可采用平方差法．
考点三 与圆有关的最值问题 【案例3】 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 关键提示：利用数形结合及表示的几何意义求最值．
【即时巩固3】 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P为圆上动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大值、最小值及对应的P点坐标． 解：若设P(x0，y0)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝(x0＋1)2＋y02＋(x0－1)2＋y02＝2(x02＋y02)＋2.欲求d的最值，只需求ω＝x02＋y02的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1、P2即为所求．