教 材 分 析 第四章 圆周运动 徐汇区教师进修学院　张培荣

张培荣 28668461 桑嫣 28668462

课时安排： 1曲线运动 2匀速圆周运动的周期、线速度和角速度 3匀速圆周运动的周期性与多解性 4向心力和向心加速度 5向心力应用（一） 6向心力应用（二） 7万有引力定律 8人造地球卫星 选修课安排： 1平抛运动（一） 2平抛运动（二） 3卫星和火箭

§1曲线运动

教学内容 ： 练习2 物体作如图圆周运动，速度大小始终是5 m/s，它是变速运动吗？运动半周速度改变量是多少？ （一）曲线运动的速度方向 练习1 画出图中各点的速度方向，B与C相比速度改变了吗？D到E速度改变了5m/s吗？ 练习2 物体作如图圆周运动，速度大小始终是5 m/s，它是变速运动吗？运动半周速度改变量是多少？

教学内容 ： 练习3 物体做如图抛体运动，左图中速度改变量是多少？右图中抛出到最高点过程中速度改变量是多少？最高点到落地过程中速度改变量是多少？

（二）曲线运动的条件 1 运动情况由力和初速度决定的 。 2 曲线运动必须合外力与v0不在同一直线上。 3 曲线运动中F产生两个效果 1 运动情况由力和初速度决定的 。 2 曲线运动必须合外力与v0不在同一直线上。 3 曲线运动中F产生两个效果 练习：1 斜抛运动如图，画出A、B、C处速度方向和合外力方向 2 物体做圆周运动，速度大小始终为5 m/s。（1）合外力方向如何？（2）某时刻突然撤去外力又如何？（3）速度若越来越大或越来越小合外力方向如何？（4）径向无速度只有力。

3 物体运动轨迹如图（1）A、B、C三处合外力方向大致如何？（2）若速度始终增大，力方向又大致如何？ 4 物体从水下A点沿弧线运动到B点。（1）该物体受到哪些力的作用（水的阻力不计）（2）合外力向上还是向下？（3）加速还是减速？若物体从B点沿该弧线运动到A点又如何？

二 匀速圆周运动 （一）几个重要物理量 1 线速度：

五 作业： 1 速度大小不变的曲线运动有没有加速度？为什么？ 2 行星绕太阳做椭圆运动，画出A、B处速度方向，太阳引力方向，说出行星速度增大还是减小？ 3 已知物体受一东西向的力，那么向东还是向西？在A点处和在B点处的速度那个大？

§2 匀速圆周运动

教学内容 ： 2 角速度： 匀速圆周运动是一种匀角速运动。 物理意义：1 单位时间内半径转过的角度。 2 单位时间内速度方向转过的角度。 弧度介绍：是角的另一种量度单位，所对弧长恰等于半径时这个角称为1弧度。 ＝s/R。 练习：1 一周角为几弧度？1弧度为几度？1度为几弧度？60为几弧度？ 2 R＝10 m，s＝1 m，所对角是几弧度？ R＝10 m， ＝25弧度，所对弧长是多少？

同一物体上所有质点相同。 v＝R， 3 周期和转速： v＝ s/t  ＝ /t （v＝ R） T n （T＝2/） （ ＝2 n） （T＝1/n）

例1：地球上某一点（北纬30）（1）求它随地球自转的线速度与角速度，（2）求它随地球绕太阳公转的线速度与角速度。（R地＝6400 km，日地距离为1.5×108 km） 2 钟上时针（长5 cm ）秒针（长8 cm ）分针（长7 cm ）尖端的线速度与角速度。 3 （1）R＝10 m，v＝5 m / s 求： 、T 、n 。 （2）n＝2 s-1，v＝10 m / s 求： 、T 、R 。

例2：如右图所示皮带传动装置，皮带与轮间不打滑，已知：r1＝2 r2，C为OA中点，求传动时A、B、C三点的角速度之比和线速度之比。

五 作业： 1 月球绕地球公转的轨道接近于圆，它的轨道半径是3.84×105 Km，公转周期是2.36×106 s，月球绕地球公转的速度多大？ 2 电唱机转盘每分钟的转数是16，33，45和78四档，求每一档的周期和角速度。 3 某质点作匀速圆周运动，周期为10 s，半径为5 m，求其角速度和线速度。 4 A、B、C三点角速度之比和线速度之比。

§3圆周运动的周期性和多解性

复习提问 ： 1 描述圆周运动的物理量有哪些？定义如何？ 2 弧度是如何定义的？1为多少弧度？60为多少弧度？1弧度为多少？ 1 描述圆周运动的物理量有哪些？定义如何？ 2 弧度是如何定义的？1为多少弧度？60为多少弧度？1弧度为多少？ 3 一物体沿半径为R的圆周作匀速圆周运动，周期为10 s，某时刻它从某位置出发，经多少时间其位移为2R？

教学内容 ： 例1：一块长为L的板可绕过其一端的水平轴转动，一开始板处于水平位置，在板正中间有一小物体，现使板突然以角速度顺时针匀速转动，求：满足什么条件时小物体和板仍能相碰。

练习：如图同轴的两薄纸圆盘，相距为L，以角速度匀速转动，一颗子弹从左边平行于轴射向圆盘，在两盘上留下两弹孔，两弹孔与盘心的连线间的夹角为60，试确定子弹的可能速度值及最大可能速度值。

例2：一薄纸做成的圆柱体绕其中心轴以角速度逆时针匀速转动，一颗子弹沿其直径方向射入，并穿过，在圆柱体上留下两个弹孔a、b，它们与轴的连线的夹角为，如图，求子弹的可能速度值及最大可能速度值。

五 作业： 1 质点A沿半径为R、在竖直平面内的圆周从最高点开始顺时针作匀速圆周运动，质点B在圆的最高点正上方2R处同时作自由落体，为使两质点能相遇，质点A的速度v应满足什么条件？ 2 一圆盘上有对称分布的三条白色半径，盘绕其圆心匀速转动，用每1／30 s闪一次的闪光灯照明，为使圆盘看上去不动，其角速度应满足什么条件？为使圆盘看上去是顺转的，其角速度又应满足什么条件？为使圆盘看上去是倒转的，其角速度又应满足什么条件？

§4　向心力和向心加速度

（一）向心力： 观察小球用绳系着在光滑水平面上作匀速圆周运动， 这个力的方向总是沿绳子指向圆心，所以称它为向心力。 1 向心力始终与运动方向垂直，物体在运动方向上不受力，所以物体速度的大小不会改变，向心力的作用只改变速度的方向。 2 向心力是按效果命名的，它不是什么新的力，它可以是吸引力、弹力、摩擦力或几个力的合力、或是某个力的一个分力。

（二）向心力的大小 演示：得出F m，r，2， 所以 F＝m 2 r＝m v2 / r＝m v 。 （三）向心加速度 根据牛顿第二定律F＝m a ，做匀速圆周运动的物体在向心力作用下一定产生一个向心加速度，a＝2 r＝v2 / r＝v 。

（三）向心加速度 从运动学讲a＝v/t，对加速度在改变的运动，其某一瞬时的加速度可以取t0时v/t的比值，又从图中可知，当t0时OAB可看成是一个三角形，它与速度三角形相似，v/s＝v/R，所以：v＝ ＝vs/R ，由此可得：a＝v/t ＝v2/R 。

练习： 1 画出下列各物体在A、B、C各处的速度方向和加速度方向。 2 如果加速度如右图中三种情况，则物体做的是什么运动？

练习： 3 物体做匀速圆周运动时向心加速度大小不变，是否是匀变速运动？ 4求向心加速度。（1）已知：r＝10 cm，T＝2 s，（2）已知：r＝10 cm，n＝30 r/min， （3）已知：＝5 s-1，v＝10 m / s， （4）已知： v＝10 m / s，T＝2 s， （5）已知：v＝10 m / s，n＝30 r/min。

5 如图传动装置，传动时不打滑，装置中A、B、C三质点的v、、an之比，Fn之比分别为多大？

五 作业： 1 地球自转周期为T，半径为R，在纬度为 处物体由于地球自转而产生的向心加速度大小为多少？ 2 图为摩擦传动装置，半径分别为r1和r2，不打滑，则传动时P、Q两点的v之比，之比，an之比各多大？ 3 要使一个质量为3 kg的物体在半径是2 m的圆周上以4 m / s ，的速度运动，需要多大的向心力？ 4 某质点绕半径为R的圆周作匀速圆周运动，每秒转n转，质量为m，则其所的向心力多大？

§5向心力应用（一）

复习提问 ： 1 小球系于绳的一端，绳的另一端固定，使小球在竖直平面内作圆周运动，当小球到达最高点时小球受到重力、绳子拉力和向心力作用对吗？ 2 圆周运动物体所受合外力必指向圆心，对吗？ 3 匀速圆周运动的向心加速度大小始终不变，所以是匀变速运动，对吗？ 4 甲转60周时乙转45周，甲、乙的半径之比为2:3，求它们的线速度之比，角速度之比，向心加速度之比。

复习提问 ： 5 如图皮带传动装置，不打滑，求A、B、C三质点的线速度之比，角速度之比，向心加速度之比，向心力之比。

（一）水平面上转动 例1：小球系于绳的一端，绳的另一端固定，使小球沿光滑水平面做匀速圆周运动，（1）角速度相同的情况下绳子长易断还是绳子短易断？（2）线速度相同的情况下又如何？ 练习：小球系于一轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定于水平桌面上的转轴上，使小球沿光滑水平面匀速转动，弹簧劲度系数k＝300 N/m，原长L0＝1 m，运动后长为L＝1.5 m，小球质量m＝1 kg，求转动的角速度大小。

例2：一质量为m的小物体放在水平平台上随平台一起做匀速转动，角速度为，物体离转轴为r，求物体所受的静摩擦力的大小。 练习： 1 汽车车速为10 m / s，最大摩擦力为车重的0.4倍，其安全转弯的半径至少多大？ 2 如图装置中，哪个物体所需向心力最大？若fm 相同，逐渐加大转速，哪个先打滑？

例3：两个小球穿于水平转台的水平光滑轴上，且用一细线相连，质量分别为m1、m2 ，随平台一起匀速转动，如图，求它们的转动半径之比，线速度之比，角速度之比，向心加速度之比，向心力之比。 练习：1 甲质量为2m，乙质量为m，用细绳相连，甲悬挂于下面，细绳穿过水平光转台面上的小孔，乙在水平转台面上随台一起做匀速转动，半径为R，乙与水平桌面间的最大静摩擦力为f，求物体能稳定转动的角速度范围。

2 一质量为m的小物体用一轻绳系住后放在水平转台上，轻绳的另一端系于转轴上，当物体随台一起转动时不打滑，物体与平台间的最大静磨擦力为f，平台的转速为n，则轻绳拉力的可能值范围如何？

五 作业： 1 一质量为m的小球沿有竖直挡板、半径为R的圆盘的光滑内侧作匀速圆周运动，为使对内侧的压力大小等于mg，则其角速度多大？

五 作业： 4 质量分别为3m和m的两个小球固定在长为L的轻杆两端，杆呈水平，绕一竖直轴在水平面内匀速转动，求竖直轴位于杆上何处时，杆转动时对轴无横向作用力？

§6向心力应用（二）

（二）竖直平面内的圆周运动。 例1：一质量为m的小球系于长为l的轻绳一端，轻绳的另一端固定于O点，使小球在竖直平面内作圆周运动，小球通过最高点和最低点时的速度分别为v和2v，试求小球通过最高点和最低点时绳中的拉力分别为多大？

练习：1 一汽车质量为m沿半径为R的凸形桥行驶，要能不脱离桥面，经过最高点时速度应为多大？设此速度为v，若以3v速度通过最高点则将如何？若以v／3通过最高点又如何？ 2 一汽车质量为m＝2 t，沿半径为R＝50 m的凹形桥行驶，车与桥面间动摩擦因数为＝0.2，车速为v＝10 m／s，则车经过最低点时对桥面的压力多大？此时车所受摩擦力多大？此时车的加速度多大？

练习： 3 一架飞机在空中竖直平面内作“8”字形特技飞行，经过A、D位置时飞行员头向上，人在座椅之上，经过B、C位置时，飞行员头向下，人在座椅之下，试分析在此四个位置时提供飞行员向心力的力，且列出牛二律方程。

例2 一小球质量为m，系于长为l的轻绳一端轻绳的另一端固定于O点，将小球拉起使轻绳拉直且处于水平后，静止起释放小球，小球运动到轻绳竖直时，绳中间被一小钉卡住，小球继续摆，当小球经过最低点时，其线速度、角速度、向心加速度和向心力分别突然如何变化？

例3 一小球质量为m＝2 kg，固定于长为l＝1 m的轻杆的一端，轻杆可绕过其另一端的水平轴在竖直平面内匀速转动，当小球经过最高点时速度分别为（1） 10m／s，（2）4 m／s，（3）3 m／s时，求杆对小球的作用力。

（三）圆锥摆运动 例1 质量为m的小球系于长为l的轻绳一端，轻绳的另一端固定于O点，让小球在水平面内作匀速圆周运动，使其悬绳与竖直方向成 角，求：（1）此时小球运动的线速度和周期，（2）悬绳中的拉力大小。

五 作业： 1 一汽车质量为m沿半径为R的凹形桥行驶，要对桥面的压力大小为2mg，经过最低点时速度应为多大？设此速度为v，若以2v速度通过最低点对桥面的压力多大？若以v／2通过最低点又如何？ 2 一汽车质量为m＝2 t，沿半径为R＝50 m的凸形桥行驶，车与桥面间动摩擦因数为＝0.2，车速为v＝10 m／s，则车经过最高点时对桥面的压力多大？此时车所受摩擦力多大？此时车的加速度多大？ 3 行车用长为l的钢索挂着一质量为M的重物，以速度v匀速沿水平导轨行驶，突然刹车时求钢索中的拉力大小。 4 一细管子弯成半径为R＝1 m的圆环，一质量m＝0.5 kg的小球，半径比管子内径略小些，小球沿管子内壁作圆周运动，求下列情况下小球的速度大小，（1）经过最高点时对管子壁无压力，（2）经过最高点时对管子的上壁有大小为1 N的压力，（3）经过最高点时对管子下壁有大小为1 N的压力。

§7万有引力定律

（一）万有引力定律 说明：1、G的意义：两个质量均为1 kg的物体，相距为1 m时的相互作用力。 2 、适用条件：两质点（研究天体运动而得，星球通常均可看作质点）或均匀球体（此时r为两球心距）

练习：（1）地球上物体质量为1 kg，地球半径为6400 km，求地球对物体的万有引力大小。 （2） 两个正方形物体，边长为1 cm，质量均为1 kg，相距1 mm，求它们间的万有引力。 （3） 物体从离地高R处（R为地球半径）增加到2R，则其所受万有引力如何变化？ （4） 一质量为M、半径为R的均匀圆环，对其圆心处质量为m的质点的万有引力多大？ （5） 上述圆环上如果剪去长为d的一小段（d≪R），则对其圆心处质量为m的质点的万有引力又多大？

练习： （6） 一质量为M、半径为R的均匀圆环，对其轴线上距圆心x处质量为m的质点的万有引力多大？（讨论x≫R时情况、x0时情况） （7）你对地球的引力多大？ 3 重力地球对物体的万有引力 （1）g与r有关。 （2）月球表面g。 （二）引力恒量的测定：

五 作业： 1 某行星质量与地球质量之比为1:3，其半径与地球半径之比为1:2，则行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比多大？ 2 两艘轮船，质量分别为5×104 t和1×105 t，相距10 km，求它们之间的万有引力。 3 计算氢原子中质子和电子之间的万有引力，质子质量是1.6×10－27 kg，电子质量是9.1×10－31 kg，电子轨道半径是5.3×10－11 m。 4 太阳质量为月球质量的2.7×107 倍，太阳离地球的距离为月球离地球的距离的3.9×102 倍，试求太阳和月球对地球的引力的比值。

§8 万有引力定律应用

（一）人造地球卫星 人造卫星靠地球对它的万有引力提供向心力，下面我们判断图中哪些是可能的运行轨道？ 由万有引力提供向心力导出： 1 轨道速率v：h越大v越小，同一轨道上v相等。没有最小值，虽然h大时v小，但卫星放得越高越困难。 轨道速率v与m无关， 2 周期T：h越大T也越大，同一轨道上T为定值。 3 卫星上任何物体都处于失重状态。

练习： 1 若一人造地球卫星运行周期为T，地球质量为M，半径为R，求卫星离地高度。 2 若一人造地球卫星的运行速率为v，离地高为R，地球半径也为R，求地球的质量。 3 有人根据公式v＝r 说：人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，卫星速度也增大到原来的2倍，但实际上卫星的轨道半径增大时卫星速度是减小的，这是什么道理？ 4 一位同学根据向心力公式F＝m v2 / R说，当轨道半径r增大到2倍时，人造卫星需要的向心力减小为原来的1 / 2，另一位同学根据卫星的向心力是地球的引力，由公式F＝Gmm / r2 推断，当r增大到2倍时，人造卫星需要的向心力减小为原来的1 / 4，哪位同学的说法对，说错的又错在哪里？

（二）宇宙速度 （三）人造卫星的应用

五 作业： 1 在轨道上运行的人造地球卫星，周期是5.58×103 s，轨道半径是6810 km，试计算地球的质量。 2 海王星的质量是地球的17倍，它的半径是地球的4倍，环绕海王星表面飞行的宇宙飞船的速度有多大？ 3 应用万有引力定律和向心力公式证明：对于所有在圆周轨道上运行的地球卫星，T2 / R3 是一个恒量，其中T为卫星的周期，R是轨道半径。

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