S5MathsCH1&2Notes 等差與等比數列

數列 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

一組按次序排列的數稱為數列，而數列中的每一個數都稱為項。以下所示為一些數列: (i) 0, 1, 2, 3, 4, … (ii) 2, 4, 6, 8, 10, … (iii) –1, 2, –4, 8, –16, … (iv) 1, 1, 2, 3, 5, …

習慣上，我們會使用以下的記號來表示一個數列中的項: 第 2 項 第 4 項 T(1), T(2), T(3), T(4), …, T(n), … 首項 第 3 項 第 n 項

對於數列 0, 1, 2, 3, 4, …， T(1) = 0 = 1 – 1 T(2) = 1 = 2 – 1 T(3) = 2 = 3 – 1 T(4) = 3 = 4 – 1 T(5) = 4 = 5 – 1 ∴ T(n) = n – 1

課堂研習 考慮以下的數列: 1, –1, 1, –1, … (a) 寫出該數列的通項 T(n)。 (b) 求該數列的第 5 項和第 8 項。

(a) ∵ T(1) = 1 = (–1)1+1 T(2) = –1 = (–1)2+1 T(3) = 1 = (–1)3+1 T(4) = –1 = (–1)4+1 ∴ T(n) = (–1)n+1 (b) T(5) = (–1)5+1 = 1 T(8) = (–1)8+1 = –1 ∴ 該數列的第 5 項是 1，而第 8 項是 –1 。

等差數列 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

等差數列是任意一項與前一 項之間有一個公差的數列。 考慮數列 2, 4, 6, 8, 10, …， 數列中任意兩個連續項的差都相等。 T(2) – T(1) = 4 – 2 = 2 T(3) – T(2) = 6 – 4 = 2 T(4) – T(3) = 8 – 6 = 2 T(5) – T(4) = 10 – 8 = 2 等差數列是任意一項與前一 項之間有一個公差的數列。

設一個等差數列的首項是 a 而公差是 d ，可得: T(1) = a T(2) = T(1) + d = a + d T(3) = T(2) + d = a + 2d T(4) = T(3) + d = a + 3d 因此，其通項為: T(n) = a + (n – 1)d

課堂研習 (a) 求等差數列 –3, 1, 5, 9, … 的通項。 (b) 若該數列的第 k 項是 2009，求 k 的值。 (a) 設公差是 d。 ∵ d = T(2) – T(1) = 1 – (–3) = 4 ∴ T(n) = –3 + (n – 1)(4) =

(b) 4k – 7 = 2009 4k = 2016 k =

等差中項 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

若 a、 b 和 c 是一個等差數列，則 b 是 a 與 c 的等差中項。 根據定義， ∴

兩數之間可以有多於一個等差中項。 例如: 在 1 與 7 之間插入一個等差中項。 形成的數列為: 1, 4, 7 公差 = 3

在 1 與 7 之間插入兩個等差中項。 形成的數列為: 1, 3, 5, 7 公差 = 2

課堂研習 在 –5 與 7 之間插入兩個等差中項。 設所形成的等差數列的公差是 d， 則該數列可寫成: –5, –5 + d, –5 + 2d, 7 ∵ 第 4 項亦可表示為 –5 + 3d。 ∴ –5 + 3d = 7 d = 4 ∴ 所求的兩個等差中項是 –1 和 3。

等比數列 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

等比數列是任意一項與前一 項之間有一個公比的數列。 考慮數列 2, 4, 8, 16, …， 數列中任意兩個連續項的比都相等。 等比數列是任意一項與前一 項之間有一個公比的數列。

設一個等比數列的首項是 a 而公比是 R，可得: T(1) = a T(2) = T(1) × R = aR T(3) = T(2) × R = aR2 T(4) = T(3) × R = aR3 因此，其通項為: T(n) = aRn – 1，其中 R ≠ 0

課堂研習 已知一個等比數列的首項 a 是 128 而公比 R 是 0.5。 (a) 求該數列的通項 T(n)。 (b) 若 T(k) = 1，求 k 的值。 (a) ∵ a = 128, R = 0.5 及 T(n) = aRn – 1 ∴ T(n) = 128(0.5)n – 1 = 27 × 21 – n =

(b) 若 T(k) = 1，求 k 的值。 (b) T(k) = 1 28 – k = 1 28 – k = 20 8 – k = 0 k =

等比中項 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

若 x、 y 和 z 是一個等比數列，則 y 是 x 與 z 的等比中項。 根據定義， ∴

兩數之間可以有多於一個等比中項。 例如: 在 1 與 64 之間插入一個等比中項。 形成的數列為: 1, 8, 64 公比 = 8

在 1 與 64 之間插入兩個等比中項。 形成的數列為: 1, 4, 16, 64 公比 = 4

課堂研習 在 1 與 4 之間插入一個負值的等比中項。 所求的等比中項

級數 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

考慮數列 T(1), T(2), T(3), …, T(n) 。 數式 T(1) + T(2) + T(3) + … + T(n) 稱為級數， 我們通常會用記號 S(n) 來表示一個級數首 n 項之和。 S(n) = T(1) + T(2) + T(3) + … + T(n)

例如，考慮以下的數列: 3, 7, –2, 0, 1, 4, 2, –5 S(2) = 3 + 7 = 10 S(3) = 3 + 7 + (–2) = 8 S(4) = 3 + 7 + (–2) + 0 = 8

課堂研習 對於以下的一個數列: 1, 2, 3, 4, ..., 100 (a) 寫出對應的級數。 (b) 求 S(4) 和 S(8)。 對於以下的一個數列: 1, 2, 3, 4, ..., 100 (a) 寫出對應的級數。 (b) 求 S(4) 和 S(8)。 (a) 對應的級數是 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100。 (b) S(4) = 1 + 2 + 3 + 4 = S(8) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 =

當數列 T(1), T(2), T(3), …, T(n) 是一個等差數列時，

等差級數 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

在著名數學家高斯年幼的時候，他的老師出了一條與下題相似的題目: 計算 1 + 2 + 3 + … + 100。

1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 … 50 + 51 = 101 這裏共有 50 對。 1 + 2 + … + 100 = 50 × 101 高斯發現了一個快捷的方法來解這個問題。 = 5050

對於一個等差數列 T(1), T(2), T(3), …, T(n)，級數 T(1) + T(2) + T(3) + … + T(n) 稱為等差級數。 a + (a + d) + (a + 2d) + … + [a + (n – 1)d]， 我們以 l 表示該數列的末項， l = a + (n – 1)d

S(n) = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (l – d) + l S(n) = l + (l – d) + (l – 2d) + … + (a + d) + a +) 2S(n) = (a + l) + (a + l) + (a + l) + … + (a + l) + (a + l) 即 2S(n) = n(a + l) ∵ l = a + (n – 1)d

我們可得: 其中 a 是首項，而 l 是末項。 其中 a 是首項， d 是公差及 n 是項數。

課堂研習 求等差級數 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 各項之和。 a = 1, d = 2 – 1 = 1, l = 100 ∵ a = 1, d = 2 – 1 = 1, l = 100

課堂研習 已知一個等差級數： 5 + 2 + (–1) + (–4) + … (a) 求第 10 項。 (b) 求首 10 項之和。 (c) 求第 11 項至第 20 項之和。 (a) ∵ d = 2 – 5 = –3 ∴ T(10) = 5 + (10 – 1)(–3) =

(b) S(10) = = (c) S(20) = = –470 ∴ T(11) + T(12) + … + T(20) = S(20) – S(10) = –470 – (–85) =

等比級數首 n 項之和 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

對於一個等比數列 T(1), T(2), T(3), …, T(n)，級數 T(1) + T(2) + T(3) + … + T(n) 稱為等比級數。 a + aR + aR2 + … + aRn – 1, 考慮下列兩個等比級數之和: S(n) = a + aR + aR2 + … + aRn – 1 ……(1) RS(n) = aR + aR2 + … + aRn – 1 + aRn ……(2)

(1) – (2)： S(n) – RS(n) = a – aRn (1 – R)S(n) = a(1 – Rn) ∴ 其中 a 是首項，R 是公比及 n 是項數。 當 R < 1 時，利用此公式會較為方便。

∴ 此公式亦可寫成: 當 R > 1 時，利用此公式會較為方便。

課堂研習 求等比級數 3125 + 625 + ... + 1 各項之和。 設該級數的項數為 n。 ∵ a = 3125，R = 及 T(n) = aRn – 1 = 1

∴ n – 1 = 5 n = 6 ∴ S(6) = =

等比級數的無限項之和 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

一個首項為 a，公比為 R 的等比級數首 n 項之和是 Rn  0；當 n  ， 一個等比級數的無限項之和為:

課堂研習 把循環小數 化為分數。 a = 0.45, R = 0.01 循環小數可以寫成等比級數的無限項之和。

完