《空间与图形》专题复习二 南京师大附中新城初中 叶旭山

问题: O P0（1，0） P2 P1 P3 P4 P5 x y 如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，，OPn（n为正整数）如何求出△P5 OP6的面积?

“图形与变换”专题 一、内容特点分析 1．自身的结构特点: 任何图形经过“轴对称、平移与旋转”变换后得到的新图形与原图形之间仅仅是位置发生变化，其形状和大小都没有发生变化， “轴对称、平移与旋转”刻画了两个全等图形特定的位置关系。这些性质为合情推理提供依据，同时也是解决许多实际问题的重要工具，

“图形与变换”专题 2．在初中数学中的地位 这部分知识在初中数学中的地位主要体现在两个方面：其一，从变换的角度来研究诸如等腰三角形、平行四边形、圆等图形，有助于对这些图形形成更为概括的应用；其二，几何变换作为重要的研究手段和方法，在作图、探索与发现图形的性质与图形的关系等方面有着极为广泛的应用． 二、考法分析 在中考试卷中，一般以操作探究的形式对这部分知识进行重点考查．

“图形与变换”专题 (一)关注变换性质的理解和运用 1．如图，△ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的A’处，若点D为AB边的中点，∠B=50°，则∠BDA’的度数为 ． 80° DA=DB DA=DA’ DA’=DB

2.如图，下面的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120° ，则图中阴影部分的面积之和为 cm2．

3．如图，点O是AC的中点，将周长为4cm的菱形沿对角线AC方向平移AO长度得到菱形OB’C’D ’，则四边形OECF的周长为 cm． 2 OF是△ADC的中位线 OE是△ABC的中位线

4.如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，则图中与△ABE一定相似的三角形是（ ） ． A．△EFB B．△DEF C．△CFB D．△EFB和△DEF B ∠AEB+ ∠DEF=90° ∠AEB+ ∠ABE=90° ∠DEF= ∠ABE

（二）关注动手操作、猜想验证的能力考查 5．8×8方格纸上的两条对称轴EF，MN相交于中心点O(如图)，对△ABC分别作下列变换： ①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格，向上平移4格； ②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°； Ｂ Ｃ Ａ Ｑ Ｐ Ｒ Ｏ Ｎ Ｅ Ｆ Ｍ ③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°．其中，能将△ABC变换成△PQR的是（　 　 ） ①②③

（三）关注变换在推理论证中的工具作用 6.如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）. 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决． 图1 图2 图3

（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离； 三角形纸片斜边长为10cm，较小锐角为30° 解:(1）图形平移的距离就是线段BF的长. ∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAF=30°， ∴ BF=5cm. 平移的距离为5cm． 图4

（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度； 三角形纸片较小锐角为30° 图5 解:(2)∵∠A1FA=30°，∴∠GFD=60°， ∵∠D=30°, ∴∠FGD=90°． 在Rt△EFD中，ED=10cm， ∴ FD= ， ∴ FG= cm．

（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH 解:(3) △AHE与△DHB1中， ∵∠FAB1=∠EDF=30° ∵FD=FA，EF=FB=FB1，∴FD－FB1=FA－FE， 即AE= DB1． ∵∠AHE=∠DHB1， ∴△AHE≌△DHB1 ． ∴AH= DH． 图6

“图形与坐标”专题 一、内容特点分析 1．自身的结构特点：“图形与坐标”是将图形放入平面直角坐标系里，以通过量化的方式来研究图形和图形之间的关系，体现了形与数的统一，它是用代数方法研究图形的起始与基础． 2．在初中数学中的地位：这部分知识在初中数学中的地位主要体现在两个方面：其一，它是数形结合的另一重要形式；其二，它是许多几何图形问题与代数问题相结合的纽带和桥梁．

“图形与坐标”专题 二、考法分析 在中考试卷中，以确定图形或物体位置和探索点的坐标的变化与图形变换之间的关系为主的问题，常常同“图形与变换”结合在一起进行考查．

“图形与坐标”专题 (一)关注对图形与坐标对应关系的理解与应用 7. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） ． D 7. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） ． A．(5,2) B．(－6,3) C．(－4, －6) D．(3, －4) D

O x y 8. 2008年奥运火炬将在云南省传递（传递路线为：昆明—丽江—香格里拉），某校学生小明在我省地图上设定的临沧市位置点的坐标为（–1，0），火炬传递起点昆明市位置点的坐标为（1，1）．如图，请帮助小明确定出火炬传递终点香格里拉位置点的坐标 ． （–1，4）

(二)关注对图形与坐标的综合应用 9.线段AB，CD在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点．若线段AB上一点P的坐标为（a，b），则直线OP与线段CD的交点的坐标为 ． （2a，2b） △OAB∽△OCD OA∶OC= 1∶2

（2，4）或（3，4）或（8，4） （2，4） （8，4） （3，4） 10. 已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 . （2，4）或（3，4）或（8，4） y x P1 D C B A O P3 P2 （2，4） DP = DO （8，4） （3，4） PO = DO

(三)关注对坐标与探索规律的组合考查 11．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“ ”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为____________． O (1,0) (2,0) (4,0) (5,0) x (5,1) (4,1) (3,1) (2,1) (3,2) (4,2) (4,3) (5,4) (5,3) (5,2) y

根据规律探索，第100个点的坐标为_______． （14，8） O (1,0) (2,0) (4,0) (5,0) x (5,1) (4,1) (3,1) (2,1) (3,2) (4,2) (4,3) (5,4) (5,3) (5,2) y (3,0) 横坐标为奇数自上而下 横坐标为偶数自下而上 前13列点的个数之和：1+2+3+…+13=91 每列点的个数 思考： 第2008个点的坐标 前63列点的个数之和：1+2+3+…+63=2016 （63，8）

12.如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数） （1）求点P6的坐标； （2）求△P5 OP6的面积；

线段OPn长度的变化规律 2n 点Pn的位置变化规律 坐标轴上 各象限的角平分线上 OP6＝ 26 OP5＝ 25 P6（ 0 ，－64 ） x y 2n 点Pn的位置变化规律 坐标轴上 各象限的角平分线上 OP6＝ 26 OP5＝ 25 P6（ 0 ，－64 ）

（2）求△P5 OP6的面积； OP5＝ 25 OP6＝ 26 M

（3）我们规定：把点Pn（xn，yn ）（n=0，1，2，3…）的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标称之为点Pn的“绝对坐标”．根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来． O P0（1，0） P2 P1 P3 P4 P5 x y

①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点Pn落在x轴上，此时点Pn的绝对坐标为（2n，0） ； y O P0（1，0） P2 P1 P3 P4 y x ②当n=8k+2或n=8k+6时（其中k为自然数），点Pn落在y轴上，此时点Pn的绝对坐标为（ 0 ，2n ） ； ③当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点Pn落在象限的平分线上，此时点Pn的绝对坐标为 P5

谢 谢!