互斥事件有一个发生的概率 格致中学 赵文清

教材的地位 “互斥事件有一个发生的概率”是概率论最初步的知识,也是本章重点内容之一，。通过学习该小节，让学生初步感受概率的实际意义及思考方法。

教学重点、难点 重点：互斥事件的概念及其概率的求法。 难点：对立事件与互斥事件的关系，事件A+B的概率的计算方法。

教学目标 知识目标 使学生能正确地理解并掌握“互斥事件” 、“对立事件”的概念和实际意义，理解并掌握当A、B互斥时“事件A+B”的含义及其概率的求法，了解对立事件的概率的和为1的结论，会应用所学知识解决实际问题。 能力目标： 培养学生观察分析、推理能力，同时注意渗透转化的数学思想。 德育目标： 培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神。

教法和学法 采用探究讨论法 有利于学生对知识进行主动建构，有助于学生深刻地理解和掌握知识，有助于思维能力的培养和训练； 有利于突出重点、突破难点； 有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

教学程序 创设情境，让学生的思维“动”起来 问题1、在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球。若从盒中摸出1个红球记为事件A，从盒中摸出1个绿球记为事件B，从盒中摸出1个黄球记为事件C。则事件A、B、C之间存在怎样的关系（如图1）？ 思考1：如果从盒中摸出1个是红球，则说明事件A发生与否？事件B呢？ 思考2：如果从盒中摸出1个是绿球，则说明事件A发生与否？事件B呢？ 思考3：通过对1、2的探究你发现了什么？

探究结论1、事件A与B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 同理，事件B与C、事件A与C都是互斥事件。 思考4、若事件A、B、C中任何两个都是互斥事件，则说事件A、B、C彼此互斥。那么，三个以上的事件是否也能存在这样的关系呢？若能，请把它推广到n个事件的情形。 [设计意图]引导学生的思维向纵深发展，由特殊的情形去大胆地猜想一般的情形是否也存在，从而培养学生由特殊到一般的推理思维方式。 探究结论2、一般地，如果事件A1、A2、…，An中任何两个是互斥事件，那么就说事件A1、A2、…，An彼此互斥。

广泛联想，让学生的思维“活”起来 设问1、想一想，能用集合的知识来解释互斥事件的概念吗？若能，请给出互斥事件的集合意义。 [设计意图]集合是数学中基本概念之一，是联系中学数学中众多不同知识的纽带。当从集合的角度去认识排列、组合数和概率时，都可看成一个全集下的某个子集到数的集合的不同的映射。这样有助于揭示这些概念的本质及其内在联系。可见广泛的联想能让学生的思维活跃起来。 探究结论3、从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交，即交集是空集，如图1所示。

设问2、在上面的问题中，若把“从盒中摸出1个球，得到的不红球（即绿球或黄球）”记为事件，则事件A与之间存在着怎样的关系？ 思考4：能否从集合的角度给出解释？ 探究结论4、事件A与不可能同时发生，它们是互斥事件。事件A与中必有一个发生；两个事件中必有一个而且只有一个发生的事件叫做对立事件。从集合角度来看，事件A（或）包含的结果的集合，是其对立事件（或A）包含的结果的集合的补集。即 若事件A与B 是对立事件，则A∩B=Φ，且A∪B=I，有P（A+B）=P（I）=1 用韦恩图表示为

设问3、互斥事件与对立事件存在着怎样的关系？ 学生思考、讨论与概括可得如下的探究结论： 探究结论5、一般地，两个事件对立是两个事件互斥的充分条件，但不是必要条件

[反馈训练]：判别下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件。 从一副扑克牌（52张）中任取一张 （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃” （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌” （3）“抽出的牌点数为三的倍数”与“抽出的牌点数大于10” [设计意图]及时反馈是检验概念掌握情况的有效措施，通过练习来纠正学生对概念理解中的错误，从而强化概念的理解与掌握。

变式教学，让学生的思维“跳”起来 变换1、对上面的问题1稍作变形：“若从盒中摸出1个球，得到红球或绿球的概率是多少？” 思考1、满足怎样的条件，才表示这个事件发生？ 思考2、这个事件是否能分解为若干个基本事件？ 思考3、若把这个事件记作A+B，则A+B的概率如何求？ 探究结论6、当摸出的是红球或绿球时，表示这个事件发生。故该事件可表示为两个事件A与B的和，记作A+B，即表示在同一次试验中，A或B中至少有一个发生就表示它发生。根据等可能事件概率的求法，可得到红球或绿球的概率为P（A+B）=

变换2、在上述问题中，事件A+B的概率与事件A与B的概率之间存在着怎样的内在联系？ 学生探究：已知P（A+B）=，而P（A）= ，P（B）=，由 = + ，可以发现 P（A+B）= P（A）+ P（B）。 它告诉我们：如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和。 变换3、能否把这个结论推广到一般的情形？ 变换4、根据对立事件的意义，你能得出A+ 的概率吗？ 探究结论7、因 A+ 是一个必然事件，故它的概率为1，又由于 A与 互斥，故得 P（A）+ P（）=P（A+ ）=1 即对立事件的概率的和等于1。 强调：该结论可改写为P（）=1- P（A），这个公式给出了概率计算中采用“正难则反”的逆向思维解决有关问题的一个依据，自觉运用它来解题，有利于提高思维的灵活性

注重反思，让学生的思维“深”下去 例1、在20件产品中，有15件一级品，5件二级品，从中取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？至多有1件为二级品的概率又是多少呢？ [反思1]当问题所涉及的事件包含若干个事件时，要注意进行合理的分拆，如“至少有1件为二级品”分解为3个事件：A1表示恰有1件为二级品的事件，A2表示恰有2件为二级品的事件，A3表示3件全是二级品的事件。又如“至多有1件为二级品”分解为2个事件：恰有1件为二级品和3件均为一级品。 [反思2]在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率。前者是直接法，后者为间接法。特别是要计算“至少有一个发生”的概率时，常用间接法。

例2、抛掷一均匀正方体玩具（各面分别标有数1，2，3，4，5，6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P（A+B） 下面给出两种不同的解法： 解法1：∵P（A）=，P（B）=， ∴P（A+B）= P（A）+ P（B）=1。 解法2：A+B这一事件包括4种结果，即出现1，2，3和5， ∴P（A+B）=。 请判断解法1和解法2的正误。 引导学生分析，求解与反思。 [反思1] 概率的加法公式仅适用于互斥事件，即当事件A、B互斥时， P（A+B）= P（A）+ P（B），否则公式不能使用。

[巩固练习] 1、课本P135 练习；2、P136 习题⒒2 1、2 3、某城市有两种报纸：甲、乙供居民们订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”。判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。 （1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E。 4、在一个盒子内放有12个大小相同的小球，其中有5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中取一球。求红或黑或白的概率。

[课堂小结] 通过本节课的学习，需掌握如下知识： （1） 互斥事件，对立事件的概念； （2）要搞清两个重要公式P（A+B）=P（A）+ P（B） ， P（A）+ P（）=1的运用前提。 （3）       在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率。 [布置作业]P136 习题⒒2 3、4、5、6