第二篇 动 态 电 路 第五章 动态电路的时域分析 第六章 动态电路的复频域分析 第七章 动态电路的状态变量分析

第五章 动态电路的时域分析 5.1 动态元件 5.2 动态电路方程 5.3 动态电路的初始状态和变量初始值 5.4 一阶动态电路的零输入响应 第五章 动态电路的时域分析 5.1 动态元件 5.2 动态电路方程 5.3 动态电路的初始状态和变量初始值 5.4 一阶动态电路的零输入响应 5.5 一阶动态电路的零状态响应 5.6 一阶动态电路的全响应 5.7 二阶动态电路的响应 5.8 高阶电路的响应

上一篇讨论的内容主要局限于电阻电路。实际上，大量实际电路并不能只用电阻和受控源来构建它们的模型，还必须包含有电容元件和电感元件等。电容和电感元件都能够储存能量，称为储能元件(energy storage element)，其端口电压电流关系要用微分方程来描述，所以又称为动态元件(dynamic element)。 含有动态元件（即储能元件）的电路称为动态电路(dynamic circuit)。动态电路是用微分方程来描述的，所以对这种电路的分析要涉及对微分方程的求解 在动态电路分析中，激励和响应都表示为时间t的函数，采用微分方程求解电路和分析电路的方法，称时域分析方法。

5.1 动 态 元 件 5.1.1电容元件 定义:一个二端元件，如果在任一时刻t，它所储存的电荷q和它的端电压u之间的关系是由qu平面（或uq平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电容元件(capacitor)。这条曲线称库伏特性曲线。 一、线性非时变电容元件 电路符号及其特性曲线 或 1.特性方程为 C是与电荷和电压无关的电路参数。

2.伏安关系 电流i和电容电压u取一致参考方向 动态特性： 上式表明，t时刻的电容电流i取决于该时刻电容电压u随时间t的变化率，称为动态元件。 线性非时变电容元件中的u和i之间的关系也可用积分形式表示

或 S=1/C，称为倒电容(inverse capacitance) 单位为倒法[拉]（F1） 记忆特性： 上式表明，线性非时变电容元件在t时刻的电压值取决于从 –∞ 到t时刻的电流值。即电容电压u与电容元件的电流i历史有关;电容元件具有“记忆”电流的性质，是一种记忆元件(memory element)。 当t<0时，电流的积累可以用初始电容电压来反映。

电容电压的连续性： 当t0=0时，在t时刻有 在t+△t时刻有 如果在时间区间[t，t+∆t]内，电流i均为有限值，即 （M为有限常数） 那么当∆t→0时，就有∆u→0。表明只要电容电流是有界函数，电容电压就是连续函数，不会跳变。

非零初始电压电容元件的等效电路 具有初始电压的电容可以等效成无初始电压的电容与电压源的串联。 若干个没有初始储能的电容并联

若干个没有初始储能的电容串联 或

二、线性时变电容元件 线性时变电容元件： 如果电容元件的库伏特性曲线是随时间变化，通过原点的直线。 1.特性方程为 或 2.伏安关系

三、非线性电容元件 非线性电容元件 :电容元件如果其库伏特性不是线性。 1.特性方程为 符号 非线性电容也可按其库伏关系的性质: 荷控电容 压控电容 单调型电容 既非荷控又非压控电容

四、电容元件的能量 1.瞬时功率(instantaneous power) 若电容电流和电压取一致参考方向，当pC >0时，电容吸收功率；当pC <0时，电容发出功率。 在时间间隔[t0，t]内，电容元件吸收的能量为 若q(t0)=0,则 电容元件中储存的能量如图中阴影部分的面积。

如果电容元件的库伏特性曲线通过原点位于第一或第三象限，它所储存的能量总是正的，这种电容元件称为无源电容元件。 若为线性非时变电容元件，则有 上式表明，当电压一定时，电场能与电容C成正比，电容C的大小反映电容储存电场能的能力。电场能的大小只取决于电容端电压的瞬时值。与电压的建立过程无关；也与电容中的电流无关。

例5.1.1 如图 (a)所示电路中电容与电压源连接，已知电压源电压波形如图 (b)所示，试求电容电流及电容的储能。

则电容电流为： 电容电流随时间变化的波形曲线

则电容的储能为： 电容储能随时间变化的波形曲线

例5.1.2 如图(a)所示电路中电容与电流源连接，已知电流源电流波形如图(b)所示，试求电容电压及电容吸收的功率。假设u(0)=0V。

当0≤t<0.5s时 当0.5s≤t≤1s时 电容电压随时间变化的曲线如图中实线所示

电容吸收的功率为 当0≤t<0.5s时 当0.5s≤t≤1s时 电容吸收的功率随时间变化的曲线如图中虚线所示

5.1.2电感元件 定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的磁通(flux) 与流过它的电流i之间的关系是由-i平面（或i-平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电感元件(inductor)。这条曲线称韦安特性曲线。 一、线性非时变电感元件 1.特性方程 或 L是与磁通和电流无关的电路参数。

2.伏安关系 电流i和电压u取一致参考方向 动态特性： 上式表明，t时刻的电感电压i取决于该时刻电感电流i随时间t的变化率，称为动态元件。 线性非时变电感元件中的u和i之间的关系也可用积分形式表示 或 Г=L-1，称为倒电感(inverse inductance)

记忆特性： 线性非时变电感元件在t时刻的电流值取决于从 –∞ 到t时刻的电压值。即电感电流i与电感元件的使用历史有关，可通过电感电压在时刻t以前的全部历程来反映。电感元件具有“记忆”电压的性质，是一种记忆元件。 电感电流的连续性： 当t0=0时 如果在时间区间[t，t+∆t]内，u均为有限值，即 那么当∆t→0时，就有∆i→0。即只要电感电压是有界函数，电感电流就是连续函数，不会跳变。

非零初始电流电感元件的等效电路 具有初始电流的电感可以等效成无初始电流的电感与电流源的并联。 若干个没有初始储能的电感串联

若干个没有初始储能的电感并联 或

二、线性时变电感元件 线性电感元件的韦安特性曲线是随时间变化，通过原点的直线。 1.特性方程 或 2.伏安关系

三、非线性电感元件 电感元件如果其韦安特性不是线性的就称为非线性电感元件。 1.特性方程 符号 非线性电感也可按其韦安关系的性质: 磁控电感 流控电感 单调型电感 非流控的又非磁控

四、电感元件的能量 1.瞬时功率 电流和电压取一致参考方向 当pL>0时，电感吸收功率；当pL<0时，电感发出功率。 在[t0，t]内，电感元件吸收的能量为 若 (t0)=0，则 如果电感元件的韦安特性曲线通过原点位于第一或第三象限，这种电感元件称为无源电感元件。

线性非时变电感元件 上式表明，当电流一定时，电感元件中储存的磁场能与电感L成正比，电感L的大小反映了电感储能的能力；电感储能的大小只取决于电感电流的瞬时值，与电流的建立过程无关，也与电感中的电压无关。 （3）当pL=0时，wL为常数，电感元件储能保持不变，与外电路间无能量交换 （1）当pL>0时，wL增加，外电路供给电感能量； 若电流和电压取一致参考方向 （2）当pL<0时，wL减少，电感中的磁场能返回给外电路；

例5.1.3 在图所示电路中，回转器的输出端口接有一个电容元件C，试求回转器输入端口的电压-电流关系。 解：由输出回路可得： 代入回转器的输入输出关系式 可得： 其中 L=r2C 可看出：从回转器输入端口的电压电流关系看相当于一个电感为L=r2C的电感元件。

5.1.3 耦合电感元件 如果两个线圈或两个以上线圈中每个线圈所产生的磁通都与另一个线圈相交链，则称这些线圈有磁耦合(magnetic coupling)或者说具有互感(mutual induction) 电感元件1的磁通1及电感元件2的磁通2分别由两个电感元件中的电流i1和i2共同产生。 它们之间的关系可表示为

一、线性耦合电感元件 线性耦合电感，每一电感元件的磁通可以表示为自感磁通与互感磁通之代数和，且自感磁通、互感磁通均与电流之间呈现线性函数关系，即 式中，L1和L2分别为线圈1和线圈2的自感(self inductance)；M12、M21为线圈1和线圈2之间的互感(mutual inductance)。 可以证明M12=M21 以后将不加区别地用M表示耦合电感元件的互感

用矩阵形式表示为 自感L1和L2恒为正值，但是互感M既可为正又可为负。 （1）如果互感为正，自感磁通和互感磁通相互加强； （2）如果互感为负，互感磁通是对自感磁通的减弱。

由于互感M的正负，不仅和电感元件中的电流流向有关，而且和相耦合线圈的相对绕向、相对位置有关。在实际情况下，线圈的绕向通常是很难观察出来的，并且用来表示耦合电感元件的电路符号，也无法表示线圈的绕向。为了解决这个问题，在耦合电感每个线圈的端钮上用同名端加以标记。 同名端(corresponding terminals):当两个线圈的电流i1和i2同时流进或流出这两个端钮时，它们产生的磁通是互相增助。同名端一般用符号“·”或“*”作为标记。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 M>0 M<0

全耦合(perfectly coupled):当两个相耦合电感元件的磁通全部相互交链。 此时有 耦合系数(coefficient of coupling)k：为了反映互感耦合的程度。 0≤ k ≤1 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 （1）当k =1时，为全耦合； （2）当k接近1时，称为紧耦合 （3）当k值较小时，称为松耦合； （4）当k =0，即两电感元件的轴线相互垂直时，两线圈无磁耦合。

三个线圈组成的线性耦合电感元件 磁通与电流的关系： 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 矩阵形式表示为 或用符号表示为

式中，u11及u22称为自感电压；u12及u21称为互感电压。  称为磁通向量，i称为电流向量，L为一方阵，称为电感矩阵。位于矩阵主对角线上的元素Ljj为各个电感元件的自感， Lij其他元素则为元件之间的互感。 1. 线性耦合电感元件端口电压电流关系 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 端口电压、电流取一致参考方向时，有 式中，u11及u22称为自感电压；u12及u21称为互感电压。

式中，u=[u1，u2]T称为电压向量，i=[i1，i2]T称为电流向量 也可表示为 式中，u=[u1，u2]T称为电压向量，i=[i1，i2]T称为电流向量 受控电压源表示去耦的等效电路模型： 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 端口电压表示端口电流的耦合电感元件的矩阵方程为 式中，i为电流向量，i(0)为0时刻电流向量，u为电压向量

倒电感矩阵(inverse inductance matrix)： 式中，Г=L-1，称倒电感矩阵。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 受控电流源表示的去耦的等效电路模型

2. 线性耦合电感元件的串联和并联 （1）线性耦合电感元件的串联 顺接 反接 串联等效电感为： 顺接：互感M为正值； 反接：互感M为负值。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 串联等效电感为： 顺接：互感M为正值； 反接：互感M为负值。

（2）线性耦合电感元件的并联 设：i1(0)=i2(0)=0 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 并联等效倒电感为：

用等效电感表示耦合电感元件的并联 (a) (b) (c) 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 由：

注意：(a)中电流i1、i2从耦合电感的同名端流入，互感M取正值，图(b)中电流i1、i2从耦合电感的异名端流入，互感M取负值。 3. 线性耦合电感元件的T形去耦等效和形去耦等效 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 （1）线性耦合电感元件的T形去耦等效电路

上图端口电压电流关系为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

(a) (b) 注意：图中互感M的正负取决于两耦合元件的连接，与流经它们的电流方向无关。当图(a)中的公共端钮为同名端连接时，图(b)中的M 0；图(a)中的公共端钮为异名端连接时，图(b)中的M 0 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 （2）线性耦合电感元件的形去耦等效电路 设：i1(0)=i2(0)=0

图示端口电压电流关系为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

T形和形去耦等效电路的局限性在于两个耦合电感元件必须有公共端钮。 (a) (b) 注意：图中互倒电感12=21的正负取决于两耦合线圈的连接，与流经它们的电流方向无关。当图(a)中的公共端钮为同名端连接时，图(b)中的1221 0；图(a)中的公共端钮为异名端连接时，图(b)中的1221 0。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 T形和形去耦等效电路的局限性在于两个耦合电感元件必须有公共端钮。

当两个耦合电感元件的磁路中含有某种铁磁物质时，耦合电感元件的磁通和流经的电流之间为非线性关系。 二、非线性耦合电感元件 当两个耦合电感元件的磁路中含有某种铁磁物质时，耦合电感元件的磁通和流经的电流之间为非线性关系。 根据电磁感应定律可得： 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

若耦合电感的电流和电压取一致参考方向，当p>0时，耦合电感吸收功率；当p<0时，耦合电感发出功率。 三、耦合电感元件的能量 1. 瞬时功率 若耦合电感的电流和电压取一致参考方向，当p>0时，耦合电感吸收功率；当p<0时，耦合电感发出功率。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 在[t0，t]内，耦合电感元件吸收的能量为 设：i1(0)、i2(0)都为零

可得时刻t线性耦合电感元件所储存的能量为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

5.2 动态电路方程 电路中除电阻元件外，还包含有电容和电感等动态元件，这样的电路称为动态电路。由于动态元件的电压电流关系都是导数关系或积分关系，所以描述动态电路输入输出关系的方程通常为微分方程。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 如果电路的输入-输出方程是一阶微分方程，则称该电路为一阶电路(first order circuit)。如果输入-输出方程是n阶微分方程，则相应的电路称为n阶电路(nth order circuit)。据此，图5.2.1所示电路为一阶电路，而图5.2.2所示电路则为二阶电路(second order circuit)。

换路(commutation)：在动态电路中，将开关的接通和断开，线路的短接或开断，元件参数值的改变等，引起电路工作状态变动的情况。 5.3 动态电路的初始状态和变量初始值 换路(commutation)：在动态电路中，将开关的接通和断开，线路的短接或开断，元件参数值的改变等，引起电路工作状态变动的情况。 设t=t0- 表示换路前的瞬间，用t=t0+ 表示换路后的瞬间 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 t=t0- 时的值，称为原始值，在t=t0+ 时的值，称为初始值 动态电路在t=t0+ 时各独立电容电压uC(t0+)[或电荷q(t0+)]和各独立电感电流iL(t0+)[或磁通(t0+)]等初始值的集合称为电路的初始状态(initial state)。

换路定律(commutation law) 在t=t0- 时各独立电容电压uC(t0-)[或电荷q(t0-)]和各独立电感电流iL(t0-)[或磁通(t0-)]等原始值的集合称为电路的原始状态(original state) 在t=t0- 时，各独立电容电压和独立电感电流都为零，则称为零原始状态(zero original state)，简称零状态(zero state) 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 换路定律(commutation law) 取t0=0，即电路在t=0时发生换路， 当电容电流、电感电压为有限值时，则电容电压uC、电感电流iL具有连续性，即

初始值的确定：uC、iL的初始值可根据换路前t=t0-时的电路和换路定律求得。其他电路变量（如电容电流、电感电压、电阻电流和电压等）初始值，可根据换路后t=t0+时的电路，由uC、iL的初始值，基尔霍夫定律，元件电压电流关系，以及置换定理等来求得。 例5.3.1：图(a)所示电路在开关S闭合前已稳定，已知US=12V，R1=4k，R2=2k，试求开关闭合后的电容电压初始值uC(0+)，及支路电流初始值iC(0+)、i1(0+)、i2(0+) 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 (a)

解：换路前电路已处在稳定状态，直流电压源输入时电容等效为开路，可得 （1） t=0-时 根据换路定律 （2） 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 画出t=0+时的电路 （3） t=0+时 用uC(0+)=12V电压源置换电容元件，得到t=0+的线性电阻电路，可得

解：换路前电路已处在直流稳定状态，直流电压源输入时，电容等效为开路，电感等效为短路。 例5.3.2：图(b)所示电路在开关断开前已稳定，已知R1=1，R2=2，L=1H，C=0.2F，US=6V，试求开关断开后电容电压初始值uC(0+)，电感电流初始值iL(0+)，以及它们一阶导数的初始值。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 (b) 解：换路前电路已处在直流稳定状态，直流电压源输入时，电容等效为开路，电感等效为短路。

用电压为uC(0+)的电压源置换电容元件，用电流为iL(0+)的电流源置换电感元件，得到t=0+时的电路 根据换路定律 t=0+时的电路 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 用电压为uC(0+)的电压源置换电容元件，用电流为iL(0+)的电流源置换电感元件，得到t=0+时的电路

可得： 根据KVL有 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 解得

(a) t  0- 时的电路 (b) t  0+时的电路 5.4 一阶动态电路的零输入响应 电路中除电阻以外，只含有一个独立储能元件的电路，就是一阶电路。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 (a) t  0- 时的电路 (b) t  0+时的电路 对一个动态电路，仅由电路的原始状态引起的响应（此时电路的输入为零），称为电路的零输入响应(zero-input response)。

5.4.1 一阶RC电路的零输入响应 （1）根据换路后的电路，建立电路方程 根据KVL有 一阶常系数线性齐次微分方程 方程的通解为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 一阶常系数线性齐次微分方程 方程的通解为 特征方程为 特征根为

由初始条件确定积分常数 将t=0+，初始值uC(0+)=U0代入通解 零输入响应电容电压为 零输入响应回路电流为 或 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 零输入响应回路电流为 或

回路电流i在电容开始放电瞬间有一个正向跳变，从i(0-)=0跳变到i(0+)=U0/R。回路电流按同样的指数规律下降，直至放电结束。 从上面分析可看出：RC电路的零输入响应都是随时间衰减的指数函数。在电路放电过程中，电容电压uC从初始值U0开始，随时间按指数规律下降而趋于零。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 回路电流i在电容开始放电瞬间有一个正向跳变，从i(0-)=0跳变到i(0+)=U0/R。回路电流按同样的指数规律下降，直至放电结束。

具有时间量纲（欧·法=欧·库/伏=欧·安·秒/伏=秒） 时间常数(time constant) 反映衰减过程的快慢 具有时间量纲（欧·法=欧·库/伏=欧·安·秒/伏=秒） 在初始值U0已确定的情况下，电容C越大，电容中储存的电荷越多，放电所需要的时间也越长；电阻R越大，放电电流越小，放电所需要的时间也越长。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 表明时间常数τ是电容电压uC衰减到初始值36.8％所需的时间。

如果在任意时刻t=t1，uC(t1)位于电容电压波形的p点,则电容电压uC在该点的变化率为 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ uC(t)/ uC(0) 36.8% 13.5% 4.98% 1.83% 0.674% 0.248% 由表可以看出，RC放电电路,从t=0时开始，经过 4τ～5τ时间后，uC已衰减到初始值的1.83%～0.674%，工程技术上认为放电过程已基本结束。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 时间常数的几何意义： 如果在任意时刻t=t1，uC(t1)位于电容电压波形的p点,则电容电压uC在该点的变化率为

上式表明，时间常数τ等于电容电压uC波形上任一点的次切距。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 因此在已知响应波形的情况下，可以用图解方法来求取电路的时间常数。也即可通过实验来测定。 固有频率(natural frequency) ：有s  1/RC 1/τ，具有频率的量纲，以弧度每秒来度量，他仅取决于电路的结构和参数，体现了电路本身固有的性质，因此称为固有频率。对同一个一阶电路，电路中所有的响应具有相同的固有频率称s为RC电路的固有频率。

从能量的角度看，在整个放电过程中，电阻元件所消耗的能量为： 可看出它等于电容元件在t=0时储存的电场能量 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 例 5.4.1 ：高压设备检修时，一个40μF的电容器从高压电网上切除，切除瞬间电容两端的电压为4.5kV。切除后，电容经本身的漏电电阻RS放电。现测得RS＝175MΩ，试求电容电压下降到1kV所需要的时间。

解：设在t＝0时电容器从高压电网上切除，电容经RS放电的等效电路如图所示，可得： 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 当uC下降到1000V，则有 从计算结果可知，电容器与电源虽然已断开将近3个小时，但还保持高达1000V的电压。这样高的电压足以造成人身安全事故。因此，在检修具有大电容设备时，事先必须经过充分放电。

换路后电路中的响应就是一阶RL电路的零输入响应。 (a)t  0-时 (b)t  0+时 换路后电路中的响应就是一阶RL电路的零输入响应。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 根据KVL和电感、电阻元件的电压电流关系有电路的微分方程 特征方程为

同样，电路中电感电流（或电压）变量都是以同样的指数规律变化的，且完全取决于电感电流（或电压）的初始值和固有频率sR/L。 特征根为 微分方程的通解为 根据初始条件iL (0+) = I0 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 同样，电路中电感电流（或电压）变量都是以同样的指数规律变化的，且完全取决于电感电流（或电压）的初始值和固有频率sR/L。

L/R具有时间的量，纲增大（即增大L、或减小R），电流iL衰减减慢；反之，衰减加快。 从能量的角度看，iL流经电阻R的整个过程中消耗的能量为： 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 可看出它等于电感元件在t=0时储存的磁场能量

例 5. 4. 2：设图所示电路中，开关S在t=0时打开，开关打开前电路在直流电压源US作用下已稳定。若已知US=220V，L=0 例 5.4.2：设图所示电路中，开关S在t=0时打开，开关打开前电路在直流电压源US作用下已稳定。若已知US=220V，L=0.1H，R1=50k，R2=5，试求开关打开瞬间其两端的电压uK(0+)以及R1上的电压uR1。 解： 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 由换路后的电路可得微分方程：

可看出，开关S在打开的瞬间，其两端电压会高出电源电压约R1/R2倍，开关会承受一个很高的冲击电压，会引起强烈的电弧。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 t=0+时，开关两端的电压为 可看出，开关S在打开的瞬间，其两端电压会高出电源电压约R1/R2倍，开关会承受一个很高的冲击电压，会引起强烈的电弧。

动态电路在原始状态为零的情况下，仅由独立电源作为输入激励引起的响应，称零状态响应(zero-state response)。 5.5 一阶动态电路的零状态响应 动态电路在原始状态为零的情况下，仅由独立电源作为输入激励引起的响应，称零状态响应(zero-state response)。 5.5.1 一阶电路在直流电源激励下的零状态响应 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 (a)t  0-时 (b)t  0+时 一阶RC电路在直流电压源激励下的零状态响应

uCh——为电路方程对应的齐次微分方程的通解 根据换路后的电路可得： 一阶常系数线性非齐次微分方程 微分方程的通解为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 uCh——为电路方程对应的齐次微分方程的通解 uCp ——为非齐次微分方程的特解 齐次微分方程的通解与零输入相同

非齐次微分方程的特解uCp应满足电路方程，即 通常特解的形式与输入激励的形式有关。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 通解为： 根据初始值，确定积分常数

零状态响应电容电压为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 或：

波形表明，齐次解在换路后经过 4τ～5τ时间，可以认为已衰减结束，所以称为暂态（或瞬态）分量(transient component)。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 暂态分量的初始值及其以后的任何瞬时值，是和输入电源有关的。但在随时间变化的规律上讲，齐次解只取决于时间常数τ，而时间常数仅由电路结构和元件参数决定，与输入电源无关，因此也称其为自由分量。

特解是电路趋于稳定状态后的响应，称为稳态分量(steady state component)；或认为是输入电源强迫其电压达到规定值，所以也称为强制分量(forced component)。 零状态响应uC的瞬时值取决于电路的输入，即电压源电压U和电路的时间常数τ。一旦电路已经确定，对于任意时刻tt0， 为常数，瞬时值uC(t0)仅取决于输入电压U，且满足齐次性和可加性。这一性质对任意线性电路都是成立的，即线性电路的零状态响应是输入的线性函数。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

在充电过程中电阻消耗的总能量与电容最后所存储的能量是相等的。 从能量的角度看，电容电压其储能为 在充电过程中电阻消耗的总能量为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 在充电过程中电阻消耗的总能量与电容最后所存储的能量是相等的。 电压源在充电过程中提供的总能量为

解:图示电路为具有直流电压输入的RL电路，所求为零状态响应。 例 5.5.1 ：在图示的电路中，开关S一直闭合在位置a上。一旦电路达到稳态，开关立即闭合到位置b，假设开关闭合到位置b的时间发生在t=0，试求零状态响应i和uL。 解:图示电路为具有直流电压输入的RL电路，所求为零状态响应。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 根据换路定律可得初始值i(0+)= i(0-)=0 根据基尔霍夫定律，得电路方程

特征方程 特征根 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 方程的通解 稳态分量（方程特解） 暂态分量（方程齐次解）为

根据初始值i(0+)= i(0-)=0可得 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

在正弦信号作用下的的稳态分量uCp是一个与输入具有相同频率的正弦量。 5.5.2 一阶电路在正弦电源激励下的零状态响应 设正弦电流源为 换路后以电容电压uC为响应的电路方程为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 方程的通解 在正弦信号作用下的的稳态分量uCp是一个与输入具有相同频率的正弦量。

其一般表达式为 式中Um和 都是待定常数 将上式代入电路方程得 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

暂态分量uCh 根据uC(0+)= uC(0-)=0可得 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 正弦响应电容电压为

（1）如果换路时90，则电源接入瞬间，电容电压稳态分量的值为零，暂态分量的值也为零。这时电容电压响应中没有暂态分量，也就没有过渡过程。 上式表明，暂态分量的初值uCh(0+)Umcos与稳态分量的初值uCp(0+)Umcos大小相等，方向相反。由于稳态分量的初值又与输入电源的初相位有关，即与电源接入时间有关，所以稳态分量、暂态分量的初值都将随电源输入初相位的不同而不同。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 （1）如果换路时90，则电源接入瞬间，电容电压稳态分量的值为零，暂态分量的值也为零。这时电容电压响应中没有暂态分量，也就没有过渡过程。 （2）如果换路时0，则

如果电路的=RC远大于输入信号的周期，则从换路起，经过半个周期左右的时间电容电压为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 =180时 即：当电容电压的稳态分量经过极大值时换路，而电路的时间常数又大，则换路后电容电压的最大瞬时绝对值接近于稳态电压振幅的2倍。

电路在单位阶跃电源激励下的零状态响应称为单位阶跃响应(step response)。单位阶跃响应常用符号s(t)表示 5.5.3 一阶电路的阶跃响应 电路在单位阶跃电源激励下的零状态响应称为单位阶跃响应(step response)。单位阶跃响应常用符号s(t)表示 根据图示电路可得电路方程为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 根据uC(0+)= uC(0-)=0 单位阶跃响应uC为

如果iS (tt0)，在线性非时变电路中，激励延迟t0， (a)单位阶跃波形 (b)电容电压波形 (c)电容、电阻电流波形 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 如果iS (tt0)，在线性非时变电路中，激励延迟t0， 响应也延迟t0。此时对延迟单位阶跃(tt0)的电容电压响应为

电路的这种性质称为线性非时变电路的非时变特性，也称为延迟特性。 电容电流、电阻电流分别为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 电路的这种性质称为线性非时变电路的非时变特性，也称为延迟特性。

例5.5.2 ：在图(a)所示RL电路中，电压源输出为如图(b)所示的脉冲电压，开关S在t=0时由位置a闭合到位置b，试求零状态响应i。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 (a) 单位阶跃响应回路电流为 延迟单位阶跃(tt0)响应回路电流为 (b)

根据线性非时变电路的齐次性、可加性和非时变特性，可得 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 例5.5.3：在图(a)所示电路中，R=2，L1=1H，L2=5H，M=2H，uS=10(t)V，试求阶跃响应i0、u0、i1和 i2。 (a) 解：根据题意 有i0(0+)i0(0-)0 等效电感

(a) (b) 由图(b)可得电路方程为 特解为 齐次解为 根据i0(0+)i0(0-)0 可得K=5 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 特解为 齐次解为 根据i0(0+)i0(0-)0 可得K=5

根据KVL可得 由图(a)所示电路有 根据KCL，i0= i1+i2，则有 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 由于i2(0)=0，有

电路在单位冲激电源激励下的零状态响应称为单位冲激响应(impulse response)。单位冲激响应常用符号h(t)表示。 5.5.4 一阶电路的冲激响应 电路在单位冲激电源激励下的零状态响应称为单位冲激响应(impulse response)。单位冲激响应常用符号h(t)表示。 一、RC并联电路的冲激响应 单位冲激响应uC的电路方程为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 由于在t  0+时冲激函数δ(t)恒等于零，所以可把冲激响应理解为是起始于t=0+的零输入响应，而引起这个零输入响应的是t=0瞬间的冲激δ(t)在t=0+时建立的电路的初始状态uC(0+)。

对电路方程的两边从t= 0-到t=0+进行积分 求uC(0+): 对电路方程的两边从t= 0-到t=0+进行积分 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

当t ≥0+ 时，单位冲激(t)=0，电路成为由电容初始值uC(0+)=1/C引起的零输入响应。此时的电路方程为 方程的解为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

二、RL串联电路的冲激响应 单位冲激响应iL的电路方程为 求iL(0+) 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

由第一章式(1.4.24)、(1.4.25)可知，冲激函数是阶跃函数的导数，阶跃函数是冲激函数的积分 三、冲激响应与阶跃响应的关系 由第一章式(1.4.24)、(1.4.25)可知，冲激函数是阶跃函数的导数，阶跃函数是冲激函数的积分 一个线性电路的冲激响应与阶跃响应之间也存在类似的关系 或 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 证明见教材 所以在已知电路阶跃响应的情况下，可对其求导来获得冲激响应；在已知电路冲激响应的情况下，可对其积分来求得阶跃响应。

例 5.5.4 在图(a)电路中，uC(0-)=0，C=2F，R=1，电流源波形如图(b)所示，试求uC。 解: RC并联电路单位冲激响应为 (a) 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 根据线性非时变电路的齐次性、可加性和非时变特性，响应uC为 (b)

代入已知参数，并分段表示为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

线性非时变电路对输入为任意波形f(t)的零状态响应，总可借助于电路的冲激响应h(t)，采用卷积积分的方法求取。 5.5.5 对任意输入的零状态响应（卷积积分） 线性非时变电路对输入为任意波形f(t)的零状态响应，总可借助于电路的冲激响应h(t)，采用卷积积分的方法求取。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 于是对于每一个脉冲输入p(tk)，都可求得相应的零状态响应h(tk) 应用线性非时变电路的齐次性、可加性和非时变特性，可以得到脉冲序列fa(t)作用于电路的零状态响应ya (t)为

这个积分称为卷积积分(convolution integral)，简称卷积(convolution) 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 卷积积分可简写成 卷积积分满足交换律

例 5.5.5 ：在图(a)电路中，R=5，L=1H，电流源iS波形如图(b)所示，试用卷积求零状态响应iL。 解：先求出单位冲激响应电感电流h(t) (a) 单位阶跃响应电感电流s(t)为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 （1）0  t  1时，iS=I0t， (b)

（2）当t  1时，iS=0， 零状态响应iL的波形如图所示 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 卷积积分实质上是求函数f()h(t)在由0到t的定积分，只不过被积函数还与积分上限有关。因此卷积积分可以用图解方法来计算线性非时变电路的零状态响应。

例 5.5.6：某线性非时变电路在t=0时刻接入的输入波形iS如图(a)所示，电路的冲激响应h(t)如图(b)所示，试求零状态响应y(t)。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

动态电路在非零原始状态的情况下，由输入激励和原始状态共同引起的响应，称为全响应(complete response)。 5.6 一阶动态电路的全响应 动态电路在非零原始状态的情况下，由输入激励和原始状态共同引起的响应，称为全响应(complete response)。 5.6.1 一阶电路在阶跃电源激励下的全响应 假定电路原始状态uC(0-)=U0 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 RC并联电路的方程为 以下将重点讨论全响应与零输入响应和零状态响应的关系

（1）当iS=0时，仅由电路原始状态uC(0-)=U0引起的响应是零输入响应uCzi，其对应的电路方程为 （2）当uC(0-)=0，仅由阶跃电流源iS引起的响应是零状态响应uCzs，其对应的电路方程为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 相加，则有

根据微分方程解的唯一性充分条件，比较下面两方程 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 可得： 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 上述结论对所有线性动态电路都是成立的。

零输入响应为： 零状态响应为： 所以，全响应uC为： 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 全响应波形的分解

全响应 = 自由响应 + 强制响应 全响应 = 暂态响应 + 稳态响应 全响应与输入激励和初始值之间的关系都不满足齐次性和可加性。因此，一阶线性电路的全响应既不是输入的线性函数，也不是初始值的线性函数。 全响应也可分解为： 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 即一阶常系数线性非齐次微分方程的通解uC，也可以表示为齐次解uCh和特解uCp的合成。 全响应波形的合成 全响应 = 自由响应 + 强制响应 全响应 = 暂态响应 + 稳态响应

5.6.2 一阶电路的经典方法 动态电路响应的求取，可以通过列写电路微分方程并计算齐次解（暂态响应）和特解（稳态响应）的方法得到，这种方法称经典方法(classical method) 例 5.6.1：在图示电路中，uS1=40V，uS2=180V，R1=10，R2=30，R3=400k，R4=400k，C=0.5F，t=0时开关S换路，换路前电路已稳定。试求uC和iC。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 解：根据换路前电路 有uC(0-) 30V uC(0+)uC(0-)30 V

换路后电路，根据KVL有 根据KCL有 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 由特征方程0.2s+20，求得特征根 s 10

uC的暂态分量为 uC的稳态分量为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

例 5.6.2 如图(a)所示电路，称为积分电路。已知输入电压ui的波形如图(b)所示，且uC(0-)=0V，试求输出电压uo的波形。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 (a) 又由电容的电压电流关系 已知：uC(0+)=uC(0-)=0V

即输出电压为输入电压的积分，故称为积分电路 （1）当0+≤t≤T时 （2）当T< t≤2T时 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 (b) (c) 依此类推，可得出输出电压uo的波形如图(c)所示

例 5.6.3 ：如图(a)所示电路，称为微分电路。已知输入电压ui的波形如图(b)所示，为正弦波形，试求输出电压uo的波形。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 (a) 又由电容的电压电流关系 (b) 即输出电压为输入电压的微分，故称为微分电路

例5.6.2和例5.6.3介绍的积分电路和微分电路在自动控制系统中常用作调节环节，它们还广泛应用于波形的产生和变换以及仪器仪表之中。 已知：ui=Asint (b) 其波形如图(c)所示。 (c) 例5.6.2和例5.6.3介绍的积分电路和微分电路在自动控制系统中常用作调节环节，它们还广泛应用于波形的产生和变换以及仪器仪表之中。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

三要素法是跳过建立电路微分方程，直接由给定的一阶电路求三个要素，并列写出响应的数学表达式。 5.6.3 一阶电路的三要素法 三要素法是跳过建立电路微分方程，直接由给定的一阶电路求三个要素，并列写出响应的数学表达式。 经典方法表明，任意一个一阶电路的全响应y总可表示成暂态响应yt与稳态响应ys之和，即 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 暂态响应的形式总是 根据初始条件可得 稳态响应ys 与激励具有相同的形式

只要求得y(0+)、ys(t) [ys(0+)是t＝0+时ys(t)的值]和三个量 由 只要求得y(0+)、ys(t) [ys(0+)是t＝0+时ys(t)的值]和三个量 即可得到全响应y，这三个量称为确定响应y的三要素。 三要素中 是电路的时间常数，为=RC或者=L/R，其中R为从电容或电感元件两端看进去的等效电阻 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 当为直流或阶跃电源输入时，响应的稳态解是常量 有

例 5.6.4 ： 在图(a)所示电路中，电压源US=100V，R1=R2=30，R3=20，L=1H。开关S在t=0时闭合，闭合前电路处于稳定状态。试用三要素法求电路中的电流i1、i2和i3。 (a) (b)t=0- (c)t=0+ 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 解：由图(b)，求得 由图(C)，得

i1(0+)=2.67A (d) t=∞ (e)等效电阻电路 由图(d)， 可求得 根据分流关系，有 由图(e)，求时间常数。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 由图(d)， 可求得 根据分流关系，有 由图(e)，求时间常数。

根据三要素法可得电流i1、i3和i2分别为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

解：阶跃响应为零状态响应，有uC(0-)=0 例 5.6.5 在图所示运算放大器电路中，阶跃电压源uS=3(t)V，R1=10k，R2=20k，R3=20k，R4=50k，C=1F。试求阶跃响应uC和uo。 解：阶跃响应为零状态响应，有uC(0-)=0 uC(0+)=uC(0-)=0 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 根据“虚断”，流经理想运算放大器的电流为零。 运放反馈电路元件构成一个R4C电路，其时间常数 由于输入回路没有动态元件，有

由于uC(0+)=0，u1(0+)=2V  uo(0+)=2V。 根据“虚短”，由KVL可得 由于uC(0+)=0，u1(0+)=2V  uo(0+)=2V。 电路稳定后，电容等效为开路，运放电路为同相放大电路 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 根据三要素法公式

稳态响应uCs 是与输入uS2同频率正弦量，设为 例 5.6.6：在图示电路中，uS1=40V，uS2=Umcos(t+)=180cos(10t+75)V，R1=10，R2=30，R3=400k，R4=400k，C=0.5F，t=0时开关S换路，换路前电路已稳定。试用三要素法求uC和iC 解：由换路前电路，可得 uC(0-)= 30V 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 时间常数 稳态响应uCs 是与输入uS2同频率正弦量，设为

稳态响应uCs 必须满足电路方程，即 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

例5. 6. 7 图(a)所示电路，开关S在t=0时闭合，S闭合前电路处于稳定状态。已知iS=10A，C1=0. 3F，C2=0 例5.6.7 图(a)所示电路，开关S在t=0时闭合，S闭合前电路处于稳定状态。已知iS=10A，C1=0.3F，C2=0.2F，R1=(1/2)，R2=(1/3)，试求t  0 时的uC 和iC1，iC2。 解：由换路前电路，可得 uC1(0-)=5V，uC2 (0-)=0 V 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 (a) 所以 uC1(0-)≠uC2(0-) 换路后uC1(0+)=uC2(0+) 由于换路，强迫电容电压发生有限跳变 (b)t  0+ 由图(b)有uC2= uC15ε(t)

根据KCL求得电路节点方程 (b)t  0+ 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 uC1(0+)=uC2(0+)=3V。

t0+时的等效电路(c) ，可求得 uC()=2V，=RC=0.1S。 根据三要素法有 (c) 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

换路后，根据换路定律有uC(0+)= uC(0-)=U0 5.7 二阶动态电路的响应 用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。二阶电路一般含有两个独立储能元件。RLC串联电路和RLC并联电路是最简单的二阶电路。本节主要讨论RLC电路的响应。 5.7.1 二阶RLC电路的零输入响应 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 (a) t  0- (b) t  0+ 由图(a)可知 uC(0-)=U0， iL(0-)=0 换路后，根据换路定律有uC(0+)= uC(0-)=U0 iL(0+)= iL(0-)=0

由换路后电路，可得方程为 (b) t  0+ 为二阶常系数线性齐次微分方程 特征方程 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 令

其中K1和K2为待定常数，由初始条件来确定。 根据 和0的相对大小，s1和s2可以是两个不相等的负实根、两个相等的负实根、一对共轭复根和一对共轭虚根等四种情况。与此相对应，RLC并联电路的零输入响应有过阻尼(overdamped)，临界阻尼(critically damped)，欠阻尼(underdamped)和无阻尼(non-damped)等四种情况。下面分别讨论这四种情况。 过阻尼情况  0，即电路参数满足 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 特征根s1和s2是两个不相等的负实根 方程的通解为 其中K1和K2为待定常数，由初始条件来确定。

初始条件为iL(0+)=0， 过阻尼情况下的零输入响应电感电流为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 其它电路变量的零输入响应

其它电路变量的零输入响应 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

下面分析零输入响应电容电压uC和电感电流iL波形的变化规律。 （1）在t=0+时，uC(0+)=U0和iL(0+)=0，即为电路的初始状态。 （2）设在t=tm时，uC为零值，iL达最大值。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 ，当uC=0时正好对应于 ，满足iL达最大值的条件。 因为

所以t=2tm也正是电感电流iL波形的拐点位置 （3）在t=2tm时，uC达极值， 所以t=2tm也正是电感电流iL波形的拐点位置 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 （4）当t→时，电容电压和电感电流都趋于零。 过阻尼情况下，RLC并联电路的放电过程有三个阶段 (1) 0+  t  tm 阶段，电容向外发出功率，提供能量，电感和电阻吸收功率，吸收能量。

(2) tm  t  2tm 阶段电感向外发出功率，提供能量，电容和电阻吸收功率，吸收能量。 在整个放电过程中，电感和电容都只有一次充电过程，并没有出现反复的充电。如图所示，响应波形最多只有一次改变方向，穿过横轴。所以这种情况称为非振荡情况或过阻尼情况。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

特征根s1和s2是两个相等的负实根，s1=s2= ， 2.临界阻尼情况  =0，即电路参数满足 特征根s1和s2是两个相等的负实根，s1=s2= ， 方程的通解为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

由于 =0时正好处于振荡与非振荡两种情况之间，所以称为临界情况，或临界阻尼情况。这种情况下电容电压uC和电感电流iL波形与图(a)所示波形相似，也是非振荡的。 3.欠阻尼情况  0，即电路参数满足 特征根s1和s2为一对共轭复根，为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 方程的通解为

利用欧拉公式，上式可变换成 K  0，因此 = 90 由初始条件 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

欠阻尼情况下的零输入响应电容电压和电感电流都是振幅按指数规律衰减的正弦函数或余弦函数，即放电过程是一种周期性（振荡性）的放电，或欠阻尼放电。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

特征根s1和s2为一对共轭虚根，s1j0，s2  j0 4.无阻尼情况 =0，即电路参数满足R= 特征根s1和s2为一对共轭虚根，s1j0，s2  j0 方程的解为 由初始条件可得 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 电容电压和电感电流均为不衰减的正弦量。

（1）当电路方程的特征根位于s平面的负实轴上，电路的零输入响应必是衰减非周期性（非振荡性）类型的，或者说是过阻尼型的（其中包括临界阻尼型）。 从上面的分析可看出,四种不同情况与电路方程特征根s1和s2的取值有关。因为s1和s2取决于电路的结构和元件的参数，可以是负数、复数或纯虚数，所以它们在复数平面（亦称为s平面）上的位置是不同的,其相应的零输入响应也不同。 可以明确地作出以下的结论： 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 （1）当电路方程的特征根位于s平面的负实轴上，电路的零输入响应必是衰减非周期性（非振荡性）类型的，或者说是过阻尼型的（其中包括临界阻尼型）。

（2）当电路方程的特征根位于开左半s平面内，但不包括位于负实轴上，电路的零输入响应必是衰减周期性（振荡性）类型的，或者说是欠阻尼型的。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

（3）当电路方程的特征根位于s平面的虚轴上，电路的零输入响应必是无衰减周期性（振荡性）类型的，或者说是无阻尼型的。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 （4）当电路方程的特征根位于开右半s平面内，电路方程的解是不收敛的，响应波形是发散的。

以单位阶跃响应和单位冲激响应为例来分析二阶RLC电路的零状态响应。 根据KVL和支路电压电流关系,可得 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 二阶常系数线性非齐次微分方程 初始条件为: uC(0+)=uC(0-)=0 iL(0+)=iL(0-)=0

与RLC并联电路的情况一样，RLC串联电路的固有频率s1和s2也可以是两个不相等的负实数，两个相等的负实数，一对共轭复数和一对共轭虚数。 方程的解为 齐次解为 特征方程 特征根(固有频率) 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 与RLC并联电路的情况一样，RLC串联电路的固有频率s1和s2也可以是两个不相等的负实数，两个相等的负实数，一对共轭复数和一对共轭虚数。

单位阶跃激励下的稳态分量uCp=1 根据初始条件,有 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 电容电压为

下面仅讨论过阻尼和欠阻尼两种不同情况的阶跃响应。 RLC串联充电电路也可以区分为: 2.临界阻尼 (即 3.欠阻尼 4.无阻尼=0(即R=0) 1.过阻尼 电路参数满足 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 下面仅讨论过阻尼和欠阻尼两种不同情况的阶跃响应。 1.过阻尼 由电容电压,可求得:

使电容电压uC和电感电流iL永远不改变方向。电容元件在全部时间内一直在充电。 由于s1＜0、s2＜0及|s2|＞|s1| >0 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 使电容电压uC和电感电流iL永远不改变方向。电容元件在全部时间内一直在充电。

2.欠阻尼 或表示成极坐标形式 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 其中 = arctan( /d) 单位阶跃响应电容电压为

根据电容的电压电流关系 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

RLC并联电路的冲激响应，是指RLC并联电路对单位冲激电流激励的零状态响应。 1. 经典方法 (a) t  0- 由(a)图可得在t=0+时引起uC(0+)=1/C初始电压。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 因为电容电压是有限跳变，所以电感电流是连续量，iL(0+)= iL(0-)=0

与前面零输入响应分析相同，将初始电压U0改为1/C 由(b)可得 ，电路方程为 (b) t  0+ 与前面零输入响应分析相同，将初始电压U0改为1/C 即可得过阻尼情况下冲激响应 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 可得欠阻尼情况下冲激响应

前面的分析已得出RLC并联电路在过阻尼情况下的阶跃响应为 2. 阶跃响应求导方法 前面的分析已得出RLC并联电路在过阻尼情况下的阶跃响应为 则过阻尼情况下的冲激响应为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

RLC并联电路在欠阻尼情况下的阶跃响应为 则欠阻尼情况下的冲激响应为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 利用关系式cosd/0 和 sin/0，

输入激励为电流源iS=(t) uC(0-)=U0，iL(0-)=0。 5.7.3 二阶RLC电路的全响应 输入激励为电流源iS=(t) uC(0-)=U0，iL(0-)=0。 RLC并联电路方程为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 电路方程的通解为

根据初始条件，有 得全响应电感电流为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 零输入响应电感电流为

零状态响应电感电流为 例 5.7.1 在图(a)电路中，uS=200V，uS0=100V，R1=30，R2=10，L=100mH，C=1000F，t=0时开关S换路，换路前电路已稳定。试求换路后的电流iL。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 解：根据题意 求得电路原始状态为uC(0-)=100V， iL(0-)=uS /(R1+R2)=5A

对图(b)根据KVL，由外回路有 (b) t 0+ 对方程求导有 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 根据KVL，由内回路有

将电容电流iC代入上式 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 特征方程为 该特征根为重根，电路处于临界阻尼情况 电路方程的解 齐次解iLh

根据图(c)，求得t =0+ 时的电感电压为 (c) t=0+ 根据初始条件iL(0+)=5， t=时的稳态解 通解为 根据初始条件可得 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 通解为 根据初始条件可得

可解得K1=0，K2=1500。 全响应电流iL为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

二阶和二阶以上的电路称为高阶电路。一般情况下，高阶电路需要用一组联立的微分方程描述，经过变换，可得到只含单个电路变量的高阶微分方程。 5.8 高阶电路的响应 二阶和二阶以上的电路称为高阶电路。一般情况下，高阶电路需要用一组联立的微分方程描述，经过变换，可得到只含单个电路变量的高阶微分方程。 为了方便，这里对高阶电路响应的讨论，仅限于单输入单输出的线性非时变电路；独立电源的激励波形可以是直流、正弦量、阶跃函数、冲激函数或一个任意时间t的函数。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 对于单输入的n阶线性非时变电路

5.8.1 初始值的确定 1. 电容电压和电感电流初始值的确定： 5.8.1 初始值的确定 1. 电容电压和电感电流初始值的确定： 在没有冲激电流（或阶跃电压）强迫并接于电容的情况下，电容两端的电压uC（或电荷q）是连续量，不发生跳变；在没有冲激电压（或阶跃电流）强迫串接于电感的情况下，电感中的电流iL（或磁通）是连续量，不发生跳变。这时有 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 2.其它变量初始值的确定： 分别用电压值为uC(0+)的电压源置换电容支路，用电流值为iL(0+)的电流源置换电感支路，以得到t=0+ 时刻的电路，再根据基尔霍夫定律和支路电压电流关系决定t=0+时刻的其它电流、电压的初始值。

已知输入为单位阶跃w(t)=(t)，t=0-时电路处于零状态。试确定t=0+时的初始条件 当电路中有冲激电流（或阶跃电压）强迫并接于电容，以及冲激电压（或阶跃电流）强迫串接于电感时，uC和iL就要发生跳变。这时可借助电路方程等号两端奇异函数项系数平衡等方法做出判断，以确定t=0+ 时刻的初始条件。 例5.8.1 电路方程为 已知输入为单位阶跃w(t)=(t)，t=0-时电路处于零状态。试确定t=0+时的初始条件 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 解：将w(t)=(t)代入电路方程，有

由此可推出y不发生跳变有y(0+)= y(0-)=0。 由电路方程可以看出，在等式的右端b0(t)。从方程两边对应项平衡考虑，等式左端也应有对应的冲激函数项，且它只能出现在最高阶次项（即d2y/dt2）中。 由此可推出y不发生跳变有y(0+)= y(0-)=0。 对电路方程两边从0- 到0+ 积分有 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 因此，初始条件为

当w=0时的响应为零输入响应。于是电路方程成为n阶常系数线性齐次微分方程。 5.8.2 零输入响应 当w=0时的响应为零输入响应。于是电路方程成为n阶常系数线性齐次微分方程。 该方程的特征多项式是s的n次多项式 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 特征根sj（j=1，2，…，n）。如果所有的固有频率都不相等，则零输入响应yzi是指数项的函数，为 待定常数Kj由初始条件来确定

如果有些固有频率重合，则零输入响应yzi中将含有t的幂的表达式。例如s1是特征多项式的三重零点，其余特征根均不相等，则 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

如果电路方程中电路变量y的所有固有频率都不相等，则零状态响应yzs的表示形式为 5.8.3 零状态响应 如果电路方程中电路变量y的所有固有频率都不相等，则零状态响应yzs的表示形式为 式中待定常数Kj由n个初始条件 确定 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 若已知电路的冲激响应y(t)=h(t)，则零状态响应可以用卷积积分方法求取 如果w(t)在0或t时刻存在冲激，为考虑该冲激的作用，积分的上、下限应修改为0- 和t+ 。

输入为单位冲激w(t)=(t)，则电路的零状态响应yzs(t)=h(t)称冲激响应。 5.8.4 冲激响应 输入为单位冲激w(t)=(t)，则电路的零状态响应yzs(t)=h(t)称冲激响应。 就t  0而言，冲激响应恒等于零输入响应 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 上式中n个待定系数Kj可由n个初始条件加以确定，所以求取冲激响应的关键问题是如何求取初始条件。 下面主要讨论（1）平衡系数法，（2）0+条件法和（3）线性叠加法等三种求解冲激响应的方法。

例5.8.2 对于一个给定的电路，设描述输入w与输出y间关系的微分方程为 （1）平衡系数法 例5.8.2 对于一个给定的电路，设描述输入w与输出y间关系的微分方程为 试求电路的冲激响应h(t)。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 解：由方程求得变量y的特征根为

将w(t)=(t)和y(t)= h(t)代入方程 等号左边为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 等号右边为 使方程等号左右两边’(t)的系数以及(t)的系数对应相等，得到方程组为

解得 所以，冲激响应为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

例5.8.3 电路如图所示，已知R1=R2=2，L=(5/6)H，C=(1/5)F，试求冲激响应uC。 解： 电路KCL方程为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 KVL方程

特征根为 用平衡系数法求待定系数K1和K2 对上式uC求导 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 代入电路方程，有

使方程等号左右两边对应项系数相等，得到方程组为 解得 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 因此，冲激响应为

解： 将w(t)=(t)和y(t)= h(t)代入方程，有 （2） 0+条件法： 0+ 条件方法是通过不断地对电路方程两边从0- 到0+进行积分，用以确定t=0+时的初始条件，然后用求得的结果确定待定系数K。 例5.8.4 仍以例5.8.2的电路方程进行讨论。 解： 将w(t)=(t)和y(t)= h(t)代入方程，有 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 对于零状态响应，t=0- 时，冲激响应h(t)及其各阶导数的原始值均为零，即 已知 可得：

对方程两边从0-到t 进行积分 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 对上式再次从0-到t 积分，有 令t=0+

解得初始条件 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 解得 因此，冲激响应为

例5.8.5 电路如图所示，已知R1=1，R2=2，L=1H，C=1F，试求冲激响应iL。 解： 电路方程为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 特征根 方程通解为 对电路方程两边从0-到t进行积分

对上式再次从0- 到t积分，有 令t=0+ ，有 和 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 解得初始条件

解得 因此，冲激响应为 A 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

（3）线性叠加法：线性叠加方法是根据线性方程解的齐次性和可加性来求解冲激响应 例5.8.6：以例5.8.2的电路方程为例，应用线性叠加方法进行讨论。 解：首先求解方程 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 特征根s1= 1，s2= 3 对式两边从0-到0+进行积分可得

令t=0+ ，得方程组 解得 根据线性方程解的齐次性和可加性 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

例5.8.7 电路如图所示，已知R1=R2=2，L=(5/6)H，C=(1/5)F，试求冲激响应iL(t)。 解：电路方程为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 首先求解方程 对求解方程两边从0-到0+进行积分可得

特征根为 所以有 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 令t=0+ ，因为已知h(0+)=0，

根据线性方程解的齐次性和可加性，电路方程的解为 解得 因此 根据线性方程解的齐次性和可加性，电路方程的解为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。