第3章 静定结构 多跨梁及刚架基本要求 Chapter 3 Statically Determinate Structure 截面内力计算 多跨静定梁内力图 静定刚架内力图 三铰拱计算 静定平面桁架内力图 静定总论 多跨梁及刚架基本要求 掌握结构的支座反力的计算，结构的剪力和轴力计算的两种方法，内力图的形状特征和绘制内力图的叠加法。 熟练掌握绘制弯矩图各种技巧，能迅速绘制弯矩图。 理解恰当选取分离体和平衡方程计算静定结构内力的方法与技巧。会根据几何组成寻找求解途径。

§３-1 回顾和补充 ３-1-1 材料力学内容回顾 杆件内力分析要点： 内力正负号规定：  FQ  FN  M FQ FN M  

求内力的基本方法： 内力的叠加与分解： 截面法（截取隔离体；代之相应截面内力；利用平衡方程求解） 截开、代替、平衡 假设：材料满足线弹性、小变形。

Q=5kN/m QB q=5kN/m NB B MB 5m P1=50kN P1=50kN A P2=141.4kN P2=141.4kN m=125kN.m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 45° QB NB MB q=5kN/m P1=50kN P2=141.4kN m=125kN.m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 45° 截面一边所有外力沿轴切向投影代数和。 一边所有外力沿轴切向投影代数和。 截面一边所有外力对截面形心取矩之和。

5kN/m 1 1 5m 50kN 2 2 141kN 5m 125kN.m 5m 5m 例：求截面1、截面2的内力 N2=50 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 1 N2=50 －141×cos45o 1 5m =－50kN 50kN 2 2 Q2= －141×sin45°＝－100kN M2＝ 50×5 －125 －141×0.707×5 141kN 5m ＝－375kN.m + 45° 125kN.m M2＝375kN.m （左拉） 5m N1=141×0.707=100kN 5m Q1= 50 +5×5 －141×0.707 =－25kN M1=125 +141×0.707×10 －50×5 －5/2×5² =812.5kNm + (下拉）

荷载与内力之间的关系： Q Q+dQ N+dN N x M+dM M y 1 ） 微分关系 dx 微分关系给出了内力图的形状特征 qy qx ↓↓↓↓↓↓↓ Q Q+dQ N N+dN qx →→→→→ dx y x 1 ） 微分关系 M M+dM qy向下为正 微分关系给出了内力图的形状特征

Q Q+ΔQ N m 2） 增量关系 ΔN=－FX ΔQ=－Fy ΔM=m 增量关系说明了内力图的突变特征 Fx Fy N+ΔN M+ΔM

3） 积分关系 由微分关系可得 右端剪力等于左端剪力减去该段qy的合力； 右端弯矩等于左端弯矩加上该段剪力图的面积。

 内力图形状特征 ＋ ＋ － － Q图 M图 备注 q、Q、M q、Q、M q、Q、M q、Q、M 无何载区段 均布荷载区段 集中力作用处 集中力偶作用处 ↓↓↓↓↓↓ 发生突变 平行轴线 Q图 ＋ P 无变化 ＋ － － 出现尖点 尖点指向即P的指向 发生突变 二次抛物线 凸向即q指向 斜直线 m M图 两直线平行 备注 Q=0区段M图 平行于轴线 Q=0处，M 达到极值 集中力作用截面剪力无定义 集中力偶作用面弯矩无定义 q、Q、M q、Q、M q、Q、M q、Q、M 在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。 零、平、斜、抛 

3-1-2 结构力学与材料力学内力规定的异同 轴力和剪力的正负号规定与材料力学相同 内力符号脚标有其特定的意义。如MAB表明AB杆的A端弯矩 结构力学弯矩图画在受拉纤维一侧

3-1-3 区段叠加法（superposition method）做弯矩图 简支梁熟记弯矩图 q FP M

＝ 1）简支梁情况 ＋ 几点注意： 弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合，竖 标M °，如同M、M′一样垂 ↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓ q MA MB 几点注意： 弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合，竖 标M °，如同M、M′一样垂 直杆轴AB，而不是垂直虚线。 利用叠加法绘制弯矩图可以 少求一些控制截面的弯矩值， 少求甚至不求支座反力。而且 对以后利用图乘法求位移，也 提供了把复杂图形分解为简单图形的方法。 ＝ MA MB MA MB M' ＋ ↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓ q M° MA MB M' M M°

注意:合成内力图是竖标相加,不是图形的简单拼合。 FP M 做法： 先在梁端绘弯矩竖标 过竖标顶点连直虚线 以虚线为基础叠加相应简支梁弯矩图 注意:合成内力图是竖标相加,不是图形的简单拼合。

2）直杆情况 1、首先求出两杆端弯矩，连一虚线； 2、然后以该虚线为基 线，叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。 对于任意直杆段，不论 ↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ q 1、首先求出两杆端弯矩，连一虚线； 2、然后以该虚线为基 线，叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。 A B QA QB ↓ ↓ ↓↓ ↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓ NA NB MA MB YA° YB° MA MB ↓ ↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ q 对于任意直杆段，不论 其内力是静定的还是超静 定的；不论是等截面杆或 是变截面杆；不论该杆段 内各相邻截面间是连续的 还是定向联结还是铰联结 弯矩叠加法均适用。 MA MB M' M°

↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓

=50－20×2＝10kN 适用条件：AD段内无集中力 作用。 = － 10+(50+10)×2／2 =50kN.m B D C ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q=20kN/m P=20kN RA=70kN RB=10kN （a） m=40kN.m 20 50 10 40 30 ＋ － M图 (kN.m) Q图 (kN) （c） （b） =50－20×2＝10kN 适用条件：AD段内无集中力 作用。 = － 10+(50+10)×2／2 =50kN.m 适用条件：AD段内无集中力 偶作用。

（1）悬臂段分布荷载作用下 （1）集中荷载作用下 （2）跨中集中力偶作用下 （2）集中力偶作用下 （3）叠加得弯矩图 （3）叠加得弯矩图 3m 4kN 4kN·m 3m 8kN·m 2kN/m 2m （1）悬臂段分布荷载作用下 （1）集中荷载作用下 4kN·m 2kN·m 6kN·m （2）跨中集中力偶作用下 （2）集中力偶作用下 4kN·m 4kN·m 2kN·m 4kN·m （3）叠加得弯矩图 （3）叠加得弯矩图 4kN·m 6kN·m 4kN·m 4kN·m 2kN·m

分析步骤 确定控制点 分析各段内力图走势（利用微分关系） 求控制截面内力（利用积分关系） 绘控制截面间内力图（弯矩图、剪力图） q l/2 分析各段内力图走势（利用微分关系） FAy FBy 求控制截面内力（利用积分关系） q 绘控制截面间内力图（弯矩图、剪力图） M0 FOy FAy 确定弯矩最大点位置及最大值 M0

ql q A B D F E ql l/2 l ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/2 ql2/4 ql2/8 M图 ql ＋ qL － qL Q图

↓↓↓↓↓↓↓ 10kN/m 15kN 60kN.m 2m 55 30 30 30 30 30 30 30 20 30 30 30 30 30 30 5 m/2 m M 图 (kN.m)

4kN/m 8kN 由 QH=QC－qx=0 可得： 16kN.m x＝QC/q＝9/4＝2.25(m) MH＝MC+(CH段Q图的面积） ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 8kN 4kN/m A B C G E 由 QH=QC－qx=0 可得： x＝QC/q＝9/4＝2.25(m) MH＝MC+(CH段Q图的面积） ＝26+9×2.25÷2 ＝36.1（kN.m) 16kN.m D F RA=17kN RB=7kN RA=17kN RB=7kN RA=17kN RB=7kN RA=17kN RB=7kN RA=17kN RB=7kN 1m 1m 2m 2m 1m 1m 17 ＋ 9 H 16 － 7 Q图（kN） x 7 4 26 28 30 23 7 8 8 4 M图（kN.m） 36.1 CE段中点D的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 8 均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！！

力偶不影响剪力 10kN 12kN 22kN.m 18kN.m 8kN/m K 25kN 29kN 1m 4m 2m 不 可 简 称 K 截 面 剪 力 剪力等于零处弯矩为极值点 29 17 15 10   Q图(kN) x=17/8 18 11 28 32 17 20 M图(kN·m) 相切 斜率相等 46.0625

1m 2m 4m 40kN 160kN 80kN.m 40kN/m 310kN 130kN 130 30 190 120  Q图(kN)  Q图(kN) 斜率相等 340 130 210 280 160 M图(kN·m) 不相切

简支斜梁计算 q+q0 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q l l’

斜梁 a cos ) 2 ( Q x l q = - a sin ) 2 ( Q x l q N - = Y 2 ql = 2 qx x ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q YA Y A o 2 ql = YA 由整体平衡： YA ↓↓↓↓↓↓ x M N Q q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ l YA° 由分离体平衡可得： 2 qx x ql M - = =M° 2 qx x ql M Y A - = o a cos ) 2 ( o Q x l q = - a sin ) 2 ( o Q x l q N - = 斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同， 斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。

l 斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q MA MB MB ql2/8

§3-2 静定梁和静定钢架 一、静定梁 1、单跨梁(single-span beam) §3-2 静定梁和静定钢架 一、静定梁 1、单跨梁(single-span beam) 单跨梁在工程中应用很广，是组成结构的基本构件之一，是受力分析的基础。

单跨梁基本形式 简支梁(Simply-supported beam) 伸臂梁(Overhanging beam) 悬臂梁(Cantilever) 按两刚片规则与基础相连组成静定结构

单跨梁的反力计算 去掉梁与基础的联系，代之以约束反力，由平面一般力系的三个平衡方程确定反力。 

2、多跨静定梁(multi-span beam) 1.多跨静定梁的组成 层次图

2.构造特点 由若干单跨梁通过铰连接而成，并由若干支座与基础连接而组成的静定梁，是桥梁和屋盖系统中常用的一种结构形式。

3.组成顺序 能独立地维持其几何不变的部分---基本部分 需依附于基本部分才能维持其不变的部分---附属部分 ？ 基本部分 附属部分

基本部分及附属部分组成 将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分, 不能独立平衡 ABC，DEFG是基本部 H ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C D G H A B E F ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分, 不能独立平衡 ABC，DEFG是基本部 分，CD，GH是附属部分。 其上外力的称为附属部分， 附属部分是支承在基本部分上的，要分清构造层次图。

4.传力关系 组成顺序 基本部分 附属部分1 附属部分2 ¨ ¨ ¨ 传力顺序 5.计算原则 与传力顺序相同，先计算附属部分后计算基本部分

计算关键 6.计算方法 正确区分基本结构和附属结构 熟练掌握单跨静定梁的绘制方法 把多跨静定梁拆成一系列单跨静定梁，先计算附属部分；将附属部分的反力反向地加在基本部分上，作为基本部分上的外载，再计算基本部分。最后把各单跨静定梁的内力图连在一起即多跨静定梁的内力图。 计算关键 正确区分基本结构和附属结构 熟练掌握单跨静定梁的绘制方法

多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基本部 分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都受力。 多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力， 但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。 qa a 2a ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q qa qa qa 2qa qa 2qa qa 2qa qa 2qa qa/2 qa/2 qa/2 qa/2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q qa/2 qa/2 qa/2 qa qa qa qa -3qa/4 9qa/4 -3qa/4 9qa/4 -3qa/4 9qa/4

q qa qa 2qa q qa 3qa/4 9qa/4 qa/2 a a a 2a a a a qa qa qa/4 qa/2 qa/2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 3qa/4 9qa/4 qa/2 2qa a a a 2a a a a qa ＋ － qa qa/4 qa/2 qa/2 qa qa/2 7qa/4 Q图（kN） qa2 qa ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q qa2/2 qa2/2 qa2/2 qa2 M图（kN.m）

40k N 20k N/m 2m 1m 4m 80k N·m A B C D E F G H 50 40 40 20 40 40 M (kN·m)

画出图示梁的弯矩图、剪力图 8m 2m 3m 120kN 40kN/m K 120kN 60kN 40kN/m 235kN 145kN

M图(kN·m) 263 120 180 FQ图(kN) 145 60 175  

课堂练习（下课交） 3m 20kN 2kN/m 2m 4m 10kN 5kN/m 10kN 20kN·m 3m 2m 5m

多跨度梁形式 并列简支梁 多跨静定梁 为何采用 多跨静定梁这 种结构型式? 超静定连续梁

例 对图示静定梁，欲使跨间的最大正弯矩与支座B截面的负弯矩的绝对值相等，确定铰D的位置。 q C A D B q A D q C D B l x l - x A B C D A D q q B C D

AD 跨最大正弯距： B 处最大负弯距： BC 跨最大正弯距： 由以上三处的弯矩整理得：

优点与简支梁相比伸臂部分产生的负弯矩减小了梁内弯矩，使受力更均匀。 缺点是构造复杂，基本部分破坏会殃及附属部分

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 课堂练习 确定图示三跨连续梁C、D铰的位置，使边跨的跨中弯矩与支座处的弯矩的绝对值相等 x l A ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ G B C D E F q l/2

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ x l A ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ G B C D E F q l/2 MG MB ↓↓↓↓↓↓ q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql M B 12 2 = MG可按叠加法求得： 解得： ql qx x l q 12 2 ) ( = + - l x 6 3 - = 代入上式： 解得：

由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中 间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少了附 MB=ql2/12 A ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ G B C D E F q l/2 ql2/24 MG=ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MG=ql2/8 由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中 间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少了附 属部分的跨度。因此多跨静定梁较相应的多个简支梁弯矩分 布均匀，节省材料，但其构造要复杂一些！！

由简单刚架可组成复杂的多层多跨的复合静定刚架 二、静定刚架 简单刚架的类型 简支型 悬臂型 三铰型 由简单刚架可组成复杂的多层多跨的复合静定刚架

静定刚架内力计算及内力图绘制 (statically determinate frame) 几何可 变体系 桁架 刚架 一、刚架的特点 ①刚架的内部空间大，便于使用。 ②刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。 ③刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/8 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/8

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从受力角度看，刚结点承受和传递弯矩，因而弯矩是它的主要内力 刚架的受力特点 从变形角度看，刚结各杆不发生相对转动 从受力角度看，刚结点承受和传递弯矩，因而弯矩是它的主要内力 

刚架的反力计算 静定刚架计算原则上与计算静定梁相同。当刚架与基础按两刚片规则连接时，支座只有三个约束，易求； 当刚架与基础按三刚片规则连接时，支座将有四个约束，除考虑整体平衡外，尚须取局部建立一个补充方程； 当刚架按主从方式组成时，应循先附属部分，后基本部分的计算顺序。

刚架指定截面内力计算 与梁的指定截面内力计算方法相同（截面法）. 注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正） 注意结点处有不同截面（强调杆端内力） 注意正确选择隔离体（选外力较少部分） 注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩） 连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用,则两个杆端的弯矩值相等,方向相反

å 刚架的反力计算（要注意刚架的几何组成） å å å 如三铰结构是由三个单铰组成的，用整体、半边、整体的思路求其反力。 1、悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出。 2、三铰刚架的反力计算 如三铰结构是由三个单铰组成的，用整体、半边、整体的思路求其反力。 如三铰结构中有虚铰时，就要具体问题具体分析。不能使用这种方法。 整体平衡 ↓↓↓↓↓↓ a q 1.5a A B q=4kN/m a=3m =3kN 左半边平衡 4 å = × - 5 . 1 a X qa M A C 6 = ) ( 2 kN qa X A 整体平衡 C å = - + qa Y B A = 9 4 3 kN qa Y B å = 2 kN X B A 反力校核 YA YB XA XB 2 - + = å a Y X qa M B A C 2 3 9 5 . 4 × - + = =

å å a X aY M = + Y X = -2 qa aX aY M = - qa Y = 2 -qa X = q 三铰刚架的反 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q 三铰刚架的反 力计算方法二 （双截面法） O1 Y1 X1 O2 q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ X1 Y1 a X aY M O = + å 1 2 Y X = 1 -2 å qa aX aY M O = - 2 1 qa Y = 1 2 -qa X = 1

整体∑X=0，XA=－ql， 左半边∑Y=0， YA=－0 q A a B 右半边∑Y=0， YB=0 整体∑Y=0 ，YA=0 ↓↓↓↓↓ ↓ a A B C q l ql 整体∑X=0，XA=－ql， 左半边∑Y=0， YA=－0 YB MB YA XA XB YB A a ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q B XA YA 右半边∑Y=0， YB=0 整体∑Y=0 ，YA=0 整体：∑MA＝0 3qa×a/2－XB×a＝0，XB=1.5qa

主从刚架求反力：需要分析其几何组成顺序，确定基本部分和附属部分。 由附属部分ACD 4m 2m 2kN ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 4kN/m A B C D E F G H K å = × - X M A D 1 2 4 = kN X A 3 由整体 å = kN X K 1 å = kN Y M K G 2 30 XA XK YK YG 校核：

刚架内力图的绘制 弯矩图 剪力图 轴力图 取杆件作隔离体 取结点作隔离体 

QDC=－6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉） QDA=8kN NDA=0 MDC=8kN.m（左拉） QDB=8kN MDA QDC=－6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉） 8kN 1m 2m 4m A B C D QDB NDB MDB 8kN 6kN D B QDA=8kN NDA=0 MDC=8kN.m（左拉） 8kN 6kN QDB=8kN NDB=6kN MDB=16kN.m（右拉） 8kN 8kN.m －6kN 24kN.m ∑X = 8－8 = 0 8kN 6kN 16kN.m ∑Y = －6－（－6） = 0 ∑M = 24－8 － 16 = 0

作内力图 4m QDA=8kN QDC=－6kN QDB=8kN NDA=0 NDC=0 NDB=6kN MDA=8kN.m（左拉） ＋ 16 Q kN 8 24 M kN.m 6 ＋ N kN QDA=8kN NDA=0 MDA=8kN.m（左拉） QDC=－6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉） QDB=8kN NDB=6kN MDB=16kN.m（右拉）

①分段。②定形。③求值。④画图。 刚架内力图绘制要点： 1、整体平衡求反力如图 q 2、定形： 3、求值： NCA=qa/2， ↑↑↑↑↑↑↑ q A B C 2、定形： 3、求值： qa qa/2 NCA=qa/2， QCA=qa－qa=0， MCA=qa2/2（里拉） NCB=0， QCB=－qa/2， MCB=qa2/2（下拉）

qa2/2 q qa2/2 在刚结点上,各杆端弯矩和结点集中 力偶应满足结点的力矩平衡。尤其是两 N图 qa2/8 ↑↑↑↑↑↑↑↑ q A B C qa2/2 qa qa/2 在刚结点上,各杆端弯矩和结点集中 力偶应满足结点的力矩平衡。尤其是两 杆相交的刚结点，无结点集中力偶作用 时，两杆端弯矩应等值，同侧受拉。 N图 qa2/8 ＋ qa/2 M图 －qa/2 qa2/2 NCA=qa/2，QCA=qa－qa=0， MCA=qa2/2（里拉） NCB=0，QCB=－qa/2， MCB=qa2/2（下拉） 校核： － qa/2 qa/2 qa2/2 满足： ∑X＝0 ∑Y＝0 ∑M＝0 Q图 ＋ qa

例: 试绘制下图所示刚架的弯矩图。 O 20kN·m 30kN 20kN·m 30kN 40 E D C E D C A B A B 10 YA 10 YA XA XB RB D 20 40 40 E 40

作刚架Q、N图的另一种方法：首先作出M图；然后取杆件 为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取 结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。 qa2/2 q ↑↑↑↑↑↑↑↑ QCB QBC C B qa2/2 qa2/2 C B ∑MC＝qa2/2+ QBCa=0 QBC=QCB=－qa/2 a qa2/8 QCA ↑↑↑↑↑↑↑↑ QAC qa2/2 q A M图 ∑MC＝qa2/2+ qa2/2 －QACa=0 QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a =qa ∑MA＝0 Q CA=（qa2/2 － qa2/2 ）/a =0 qa a qa/2 NCB NCA ∑X＝0，NCB ＝ 0 ∑Y＝0，NCA＝qa/2　　

å å 1.5m 3m ∑MD=6－QCD×3.35＝0 QCD=1.79(kN)=QDC q=4kN/m 3.58 7.16 1.79 6 ↓↓↓↓↓↓ － 3.58 7.16 ＋ ＋ 1.79 6 C 1.5m 4.5 α D E 2 － ＋ 2 3m M图（kN.m） Q图（kN） B A 3kN 9kN 2kN ↓↓↓↓↓↓↓ QCE Q EC 4kN/m C E 3.35m 9 2 7.16 NEC 3m 3m 3 2 α 1.79 NDC 6 QDC Q CD D C 3.35m NCE 3.58 3.13 1.79 α α 0.45 － － 3.13 sin ) 79 . 1 58 3 ( cos 13 = + - å a N X CE ∑MC=6+3 × 4×1.5+3.35QEC＝0 QEC= －7.16kN ∑ME=6－ 3 × 4 ×1.5+3.35QCE＝0 QCE= 3.58kN － 3 － 9 45 . - = kN N CE ∑MD=6－QCD×3.35＝0 QCD=1.79(kN)=QDC 5.82 = å Y 校核 cos ) 58 . 3 79 1 ( sin 45 13 - + a 5 2 79 . 1 58 3 = × - N图（kN）

求图示联合刚 架的弯矩图。 9P a 解：1、求反力 2、求内部约束力 6P 18P 6P 18P 9P B C A YB XB YA XA 取ABC 同理可得右半部分的约束内力： 取BC 解①②得： B C A 6P 18P 9P YB XB YA XA =5P =4P =14P =2P 取ABC 8Pa 6P 9P 5P 4P 2P 16Pa 8Pa 2Pa 4Pa 2Pa

少求或不求反力绘弯矩图 弯矩图的绘制是本课的基本功，务必通过习题切实掌握。利用结构和荷载的特点简化计算。 利用荷载与弯矩图形状对应关系 利用悬臂、简支部分 利用刚结点平衡特性 利用铰结点和自由端弯矩特征 利用轴向力不引起弯矩特点 利用无剪力段弯矩为常数 利用对称性

1、悬臂刚架 可以不求反力，由自由端开始作内力图。 q ql² 2q 2q ql² q 6q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/2 l ↓↓↓↓↓ 2m ↓↓↓↓↓ q ql² 6q

2、简支型刚架弯矩图 q 简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出一个与杆件垂直的反力,然后由支座作起 ql D C ql q B ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出一个与杆件垂直的反力,然后由支座作起 ql2/2 ql2/2 D q A B C a ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ qa2/2 ql 注意:BC杆CD杆的 剪力等于零,弯矩图 于轴线平行 qa2/2 qa2/8 qa

A 3、三铰刚架弯矩图 C B ①整体 qa2/2 qa2 1 反力计算 MA= qa2+2qa2－2aYB=0 (1) ②右半边 1 反力计算 ①整体 MA= qa2+2qa2－2aYB=0 (1) ②右半边 MC=0.5qa2+2aXB －aYB=0 (2) 解方程(1).(2)可得 XB=0.5qa YB=1.5qa ③在由整体平衡 X=0 解得 XA=－0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C a qa qa2/2 a qa/2 B A XB XA a a YB YA 2 绘制弯矩图 注:三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由 支座作起！！

a A a a 画三铰刚架弯矩图 M M M/2 M/2 B A XB RA YB Mo=m－2a×XB=0, 得 XB=M/(2a) C M M/2 M/2 A B a A B YB XB RA a a Mo=m－2a×XB=0, 得 XB=M/(2a) 注: 1：三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两 铰连线，对o点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始作弯矩图。 2：集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后两条线平行。 3：三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！！

整体对O点建立平衡方程得 ∑MO=ql×1.5l+2lXA=0 得 XA=－3ql/4 三铰刚架弯矩图 O ql2/4 ql2/4 q C ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ l A B C q O ql2/4 ql2/4 整体对O点建立平衡方程得 ∑MO=ql×1.5l+2lXA=0 得 XA=－3ql/4 RB XA YA RB 三铰刚架弯矩图

4、主从结构 绘制弯矩图时，可以利用弯矩图 与荷载、支承及连结之间的对应关系， 不求或只求部分约束力。 q qa q qa a 2a qa2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q qa2 qa ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q qa2/2 A B H C D E F G qa2/2 qa2/2 qa2 M图（kN.m）

D ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E q=20kN/m 120 2m 120 C ↓↓↓↓↓↓↓↓ 90 80kN F 180 60 20kN 绘制图示刚 架的弯矩图 A B C D E F 20kN 120 120 仅绘M图,并不需要 求出全部反力. 90 80kN 180 120 60 180 先由AD ∑Y=0 得 YA=80kN 60 MEA=80×6－20×6²/2=120 62.5 M图 kM.m 再由整体 ∑X=0 得 XB=20kN 20kN 然后先由A.B支座开始 作弯矩图.

5、定向支座处、定向连接处：剪力等零，剪力等零杆段弯矩图平行轴线。注意这些特点可以简化支座反力计算和弯矩图绘制。 ↓↓↓↓↓ ↓ l A B C q ql ↓↓↓↓↓ ↓ l A B C q ql ql2/2 YB MB ql2 M XA YA ql XA=－ql， YA=－0

右半边∑Y=0 YB=0→YA=0 整体：∑MA＝0 3qa×a/2－XB×a＝0 XB=1.5qa a q a A a B a a a P ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 右半边∑Y=0 YB=0→YA=0 整体：∑MA＝0 3qa×a/2－XB×a＝0 XB=1.5qa a q 4.5qa2 5qa2 a A XA=4.5qa a YA=0 B M图 XB=1.5qa YB=0 a a a P 2P h a 2a Ph 2Ph 2Ph 2Ph Ph Ph Ph

求绘图示结构的弯矩图。 ql ql 2ql 2ql ql 0.9ql2 q 1.5ql2 ql 1.5ql2 ql2 0.6ql2 ↓↓↓↓↓↓ q 2ql l ql 2 ql 0.9ql2 2 ql 1.5ql2 1.5ql2 ql2 ↓↓↓↓↓↓ ql2 0.6ql2 0.9ql2 0.6ql2 ql2

6、对称性的利用 ⑴对称结构(symmetrical structure)： 几何形状、支撑和刚度都关于某轴对称的结构。但是，由于静定结构的内力与刚度无关，所以，只要静定结构的形状、支撑对称，就可利用对称性进行内力计算。

⑵荷载的对称性： 对称荷载(symmetrical load) ：绕对称轴对折后，对称轴 两边的荷载作用点重合、值相等、方向相同。所以，在大小 相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直反向布置、与对 称轴平行同向布置、与对称轴重合的荷载是对称荷载。 反对称荷载(antisymmetrical load) ：绕对称轴对折后， 对称轴两边的荷载作用点重合、值相等、方向相反。所以， 在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直同向布置 的荷载；与对称轴平行反向布置的荷载；垂直作用在对称 轴上的荷载；位于对称轴上的集中力偶是反对称荷载。

⑶与对称有关的重要结论 对称结构在对称荷载的作用下，反力、内力都成对称分 布，弯矩图、轴力图是对称的，剪力图是反对称的。作出对 称轴上的微元体受力图。由微元体的平衡条件可得到：对称 轴上的截面剪力为零；与对称轴重合的杆弯矩、剪力为零。 对称结构在反对称荷载的作用下，反力、内力都成反对 称分布，弯矩图、轴力图是反对称的，剪力图是对称的。作 出对称轴上的微元体受力图。由微元体的平衡条件可得到： 对称轴上的截面弯矩、轴力为零；与对称轴重合的杆轴力为零。

m h ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ l/2 q m ql2/8 ql2/8

绘制图示结构的弯矩图 o 12 24kN.m 6 12 4m 2m 12 6 X 对称结构在反对成荷载作用下，弯矩图呈反对称分布。 3kN 3kN 12 24kN.m 6 4m 2m 24kN.m 12 6 12 6 X=6

静定刚架的 M 图正误判别（依据 ) 利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减少错误，提高效率。 ① M图与荷载情况是否相符。 ② M图与结点性质、约束情况是否相符。 ③作用在结点上的各杆端弯矩及结点集 中力偶是否满足平衡条件。

× × × × × × ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q P A B C D E （a） ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q P A B C D E （b） A ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ （e） × A B C （f） × ×

A B C D m A B C D × m （h） m B A C （g） × ×

√ √ × × × × × × （5） （ ） ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓ （2） （3） （1） （ ） （ ） （ ） （6） （4） （ ） × √ √

√ √ ↓ ↓ ↓ （7） （ ） （8） m （9） （ ） （12） （ ） 题2-1图 （10） （ ） （11）（ ） ↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑ （12） （ ） 题2-1图 （10） （ ） ↓ （11）（ ） √

练习 已知结构和弯矩图，求荷载（下课交） 8 6 End

§3-3 三铰拱 Three-Hinged Arch 基本要求： 理解拱的受力特点及拱结构的优点和缺点。 掌握三铰拱的反力计算和内力计算及内力图的形状特征。 了解三铰拱内力图的绘制方法。 掌握三铰拱合理拱轴线的概念，及 几种常见荷载下的三铰拱的合理拱轴线。

三铰拱(three-hinges arch)的构成 拱顶 拱高 拱轴 起拱线 拱脚 拱跨

纵梁 立柱 拱肋 f 矢高 拱轴线 l 跨度 起拱线 拱趾 拱趾

40m 150m l 跨度

为了消除拱对支座的水平推力，可采用带拉杆的拱。如图。 水平推力对拱肋有力，对下部结构很不利。 为了消除拱对支座的水平推力，可采用带拉杆的拱。如图。 吊杆 拉杆 花篮螺丝 柱

§3-3-1 三铰拱(three-hinged arch)的特点 拱是在竖向荷载作用下能产生水平反力的结构，如图。 ↓↓↓↓↓↓ B A C f l/2 VA VB H 水平反力产生负弯矩，可以抵消一部分正弯矩。 与简支梁相比拱的优点是： 弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）； 应力沿截面高度分布较均匀； 节省材料，减轻自重，能跨越大跨度； 宜采用耐压不耐拉的材料 ，如砖石混凝土等； 有较大的可利用空间。 其缺点是：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的 材料用量； 拱具有曲线形状，施工不方便.

§3-3-2 三铰拱的内力计算 一、反力计算 对拱：∑MB=0 VA=∑MBP/l 对梁：∑MB=0 YA=∑MBP/l §3-3-2 三铰拱的内力计算 ↓↓↓↓↓↓ B A C f l/2 VA VB H 一、反力计算 a 对拱：∑MB=0 VA=∑MBP/l ↓↓↓↓↓↓ B A C l/2 YA YB a 对梁：∑MB=0 YA=∑MBP/l ∴　VA=YA （1） 同理 VB=YB （2） 其中 ∑MBP 是梁（拱）所有荷载对B点的矩 由 ∑MC=0 得 VA×l/2 － P×a－H×f=0 H=（VA×l／2－ P×a）／f 即 : 反力计算公式： VA=YA ； VB=YB； H=MC0/f 该组公式仅用于两底铰在同一水平线上且承受竖向荷载。 三铰拱的反力与跨度、矢高（即三铰的位置）有关， 而与拱 轴线的形状无关 ； 水平推力与矢高成反比。 =YA×l／2－P×a　是简支梁的C截面弯矩 在竖向荷载作用下，任何形式的三铰拱均有：

？ VA=YA VB=YB f f VB C a A B H l/2 VA VB C B a A H l/2 VA a A B C l/2 ↓↓↓↓↓↓ B A C f l/2 VA VB H a ↓↓↓↓↓↓ B A C f l/2 VA VB H a VA=YA VB=YB ？ ↓↓↓↓↓↓ B A C l/2 YA YB a

该组公式仅用于两底铰在同一水平线上, 且承受竖向荷载； 在拱的左半跨取正右半跨取负； 仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯达极； ↓↓↓↓↓↓ B A C f l/2 VA VB H 二、内力计算 P d x Q N M x y P d x y n t a H VA ↓↓↓↓↓↓ B A C l/2 YA YB a P YA P d x Q° M° 注： 该组公式仅用于两底铰在同一水平线上, 且承受竖向荷载； 在拱的左半跨取正右半跨取负； 仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯达极； M、Q、N图均不再为直线。 集中力作用处Q图将发生突变。 集中力偶作用处M图将发生突变。

D D D D 解: (1)求反力 (2)作相应简支梁的 M°图和Q°图 (3)截面几何参数 (4)将拱沿跨度八等分, 算出每个截面的M、 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 4kN 1kN/m 8m 4m ) ( 4 2 x l f - y = 解: (1)求反力 C D D D D D (2)作相应简支梁的 M°图和Q°图 A B 6kN 5kN 7kN 6kN 5kN 7kN 6kN 5kN 7kN 6kN 5kN 7kN 6kN 5kN 7kN ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 4kN 1kN/m (3)截面几何参数 5 7 1 Q°图（kN） ＋ － (4)将拱沿跨度八等分, 算出每个截面的M、 Q、N。 (5)以 x=12m的 D截面 为例， M°图（kN.m） 20 24

m 16 y 3 ) 12 ( 12× = - tg 5 . 8 12 - = j 5 . 26 - = j 447 . sin - = j D 7 1 5 Q°图（kN） ＋ － D M°图（kN.m） 20 24 1 xD=12m 5 m 16 y 3 ) 12 ( 12× = - tg 5 . 8 12 - = j H=6kN 5 . 26 - = j 447 . sin - = j 894 . cos = j m kN Hy M . 2 3 6 20 = × - j H Q D sin cos - = 左 kN 79 . 1 ) 447 ( 6 894 = - × H Q N D cos sin - = j 左 kN 81 . 5 894 6 ) 447 ( 1 - = × H Q D sin cos - = j 右 kN 79 . 1 ) 447 ( 6 894 5 - = × H Q N D cos sin - = j 右 kN 6 . 7 894 ) 447 ( 5 - = × 重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。

24 20 12 1.5 2 0.5 M图 (kN.m) 0.71 1.79 Hy M° 0.4 1.5 2 0.5 0.70 0.49 -0.40 -0.49 Q图 (kN) -1 -1.79 -9.19 M图 (kN.m) -6 -5.81 -7.6 -7.78 N图 (kN)

拱水平反力计算公式的应用推广 q ql2 C l q A B H ql2 l/2 C f=3l/4 B H A ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓

§3-3-3 三铰拱的合理轴线(optimal centre line of the arch) 在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩剪力等于零,只有轴力的拱轴线。 由 M（x）=M°(x)－Hy(x)=0 可得合理拱轴线方程为 y（x）=M°(x)／H 在荷载、跨度给定时，合理拱轴线 随 f 的不同而有多条,不是唯一的。 = A B l/2 f C l 　↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q ql/2 y x ) ( 2 x l qx M - = 8 2 ql M C = ) ( x M y = f C ) ( 4 2 x l f - = x 三铰拱在沿水平均 匀分布的竖向荷载 作用下，其合理拱 轴线为一抛物线。

例 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+γy q0+γf l/2 y x f A C B ( q(x) g y) q + 2 ) ( x q dx M d = g 2 H q dx y d = - g q x H Bsh Ach y - + = = q A g = ; , y x 在填土重量作用下，三铰拱 的合理拱轴线是一悬链线。 = ; , dx dy x = B ø ö ç è æ - = 1 x H ch q y g

End 求均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。 在均匀水压力作用下，三铰拱的合理拱轴线是圆弧线。 t q n N+dN r N ∵拱处于无弯矩状态，∴各截面上只有轴力。 即拱截面上的轴力N为常数。 End 故 由于N为常数，故r也为常数。 在均匀水压力作用下，三铰拱的合理拱轴线是圆弧线。

Statically determinate plane truss §3-4 静定平面桁架 Statically determinate plane truss 基本要求： 理解桁架的受力特点及按几何组成分类。了解几种梁式桁架的受力特点。 熟练运用结点法和截面法及其联合应用，计算桁架内力。 掌握对称条件的利用、零杆判定及组合结构的计算。 理解根据结构的几何组成确定计算方法。

§3-4-1 概述 从受弯方面来说工字形截面梁优于矩形截面梁。

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 1.结点都是光滑 的铰结点 2.各杆都是直杆且 通过铰 的中心: 3.荷载和支座反力 桁架基本假定: ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 1.结点都是光滑 的铰结点 2.各杆都是直杆且 通过铰 的中心: 3.荷载和支座反力 都作用在结点上. 计算简图 各杆只受轴力,称其为理想桁架。 上弦 斜杆 上下弦杆承 受梁中的弯矩, 竖杆 下弦 腹杆(竖杆和 斜杆)承受剪力。 由理想桁架计算得到内力是实际桁架的主内力. 结间 N

武汉长江大桥的主体桁架结构 钢筋混凝土屋架

美国芝加哥的约翰汉考可大楼 转换层桁架传力结构 锥形桁架筒承力结构 上海锦江饭店新楼 高层钢结构的发展，桁架也成为了建筑主体 结构，不再是桥梁和屋架。

桁架的分类: 按几何组成可分为以下三种 1、简单桁架 ——由基础或一个基本铰结三角形开始，依此增加二元体所组成的桁架

2、联合桁架——由简单桁架按 几何不变体系组成法则所组 成的桁架。

3、复杂桁架——不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加以分析，需用零荷载法等予以判别。 复杂桁架不仅分析计算麻烦，而且施工也不大方便。 工程上较少使用。

1、结点法 §3-4-2 结点法、截面法 取单结点为分离体， 其受力图为一平面汇交力系。 它有两个独 立的平衡方程。 §3-4-2 结点法、截面法 1、结点法 A 取单结点为分离体， 其受力图为一平面汇交力系。 它有两个独 立的平衡方程。 为避免解联立方程,应从未知力不超过两个的结点开始计算。 N Y X l A 对于简单桁架,可按去除二元体的顺序截取结点，逐次用结点法求出全部内力。 ly lx 斜杆轴力与其分力的关系

例题 求图示桁架中各杆内力 a.求支座反力 15kN 4m 3m FBx=120kN FAx=120kN FAy=45kN FAy=45kN C F G E D B 4m 3m FBx=120kN FAx=120kN FAy=45kN a.求支座反力 FAy=45kN FAx=120kN FBx=120kN （对于这种悬臂型结构可不必先求反力）

b.结点投影法求杆内力 15kN 4m 3m XNGE YNGE FNGF FNGE 15kN Y=0 YNGE=15 X=0 A C F G E D B 4m 3m XNGE YNGE FNGF FNGE G 15kN b.结点投影法求杆内力 Y=0 YNGE=15 X=0 FNGF=  XNGE=  20 同理按顺序截取结点（F、E、D、C、B、A）并计算杆内力

c. 杆内力标注 15kN A C F G E D B 4m 3m 25 75 -50 60 -120 -20 15 -45 20 15  60 45 40 30 - 结点分析时把所有杆内力均画成拉力（含已求得的压力）并代入方程，然后是拉力的代正值，是压力的代负值。结果为正说明该杆受拉，结果为负说明该杆受压，这样做不易出错。

取结点G，对E点取矩求FNGF；对F取矩计算FNGE d. 结点力矩法求杆内力 15kN A C F G E D B 4m 3m E F 取结点G，对E点取矩求FNGF；对F取矩计算FNGE FNGF FNGE G 15kN

依次考虑5、4、6、7的平衡求其它轴力，还余三个方程作校核用。 熟练之后可以直接在结构上进行，不必列平衡方程。如图所示。 3m×4=12m 4m 1 2 3 4 5 6 7 8 40kN 60kN 80kN -90 -90 例 试求桁架各杆内力 60 30 75 15 解： 1 、整体平衡求反力 ∑X=0 H=0 ∑ M8＝0 , V1=80kN ∑Y=0 , V8=100kN － ＋ ＋ － 80 40 50 40 20 25 100 100 80 125 60 60 75 75 H=0 V1=80kN 2、求内力 V8=100kN -60 -80 40 N35 X34 Y34 N34 取结点3 15 75 100 80 20 90 取结点1 ∑Y=0 ， Y13=－80， 由比例关系得 X13=－80× 3 /4 =－60kN N13 =－80× 5 /4 =－100kN ∑X=0 ， N12=60， 40kN 60kN N24 N23 取结点2 ∑Y=80+20－100=0， ∑X=90－75－15=0。 ∑X=0 ， N24=60， ∑Y=0 ， N23=40， Y13 N13 X13 1 N12 100 75 ∑Y=100－100=0， ∑X=75－75=0。 ∑Y=0 ， Y34=80－40=40， X34=40× 3 /4 =30，N13 =40× 5 /4=50 ∑X=0 ， N35= － 60 －X34= －90。 80kN 依次考虑5、4、6、7的平衡求其它轴力，还余三个方程作校核用。 熟练之后可以直接在结构上进行，不必列平衡方程。如图所示。

有些杆件利用其特殊位置可方便计算 L形结点 T形结点 结点单杆性质： 单杆内力由平衡方程直接得出，非单杆须建立联立方程求解； 结点无荷载时，单杆内力为零，称零杆； 如靠拆单杆的方式可将结构拆完，则此结构可用结点法求全部内力。

例题 试指出零杆 FP 意义：简化计算 FP

例题 试指出零杆 问题：能否去掉零杆? FP FP

关于零杆的判断 　　桁架中的零杆虽然不受力，但却是保持结构坚固性所必需的。因为桁架中的载荷往往是变化的。在一种载荷工况下的零杆，在另种载荷工况下就有可能承载。如果缺少了它，就不能保证桁架的坚固性。 分析桁架内力时，如首先确定其中的零杆，这对后续分析往往有利。

特殊结点的力学特性 β （注意：这些特性仅用于桁架结点） P N1=0 N2=P N2=N1 N3=0 N1 N1=0 N2=0 N4=N3

例：求图示结构各杆内力。 解：先找出零杆 由B点平衡可得 α ∑Y=P+NBAsinα=0 NBA=－P/sinα X=NBC+NBAcos D P E F G H 解：先找出零杆 由B点平衡可得 ∑Y=P+NBAsinα=0 NBA=－P/sinα X=NBC+NBAcos α=0 NBC α NBC =Pctg α NBA P

例：试指出零杆。

对称性的利用 一、对称荷载作用下内力呈对称分布。 对称轴上的K型结点无外力作用时， 其两斜杆轴力为零。 （注意：该特性仅用于桁架结点） 1 2 P D 一、对称荷载作用下内力呈对称分布。 对称轴上的K型结点无外力作用时， 其两斜杆轴力为零。 对称性要求： N1=N2 （注意：该特性仅用于桁架结点） 由D点的竖向平衡要求 N1=－N2 所以 N1=N2=0 二、反对称荷载作用下内力呈反对称分布。 与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零 1 杆1受力反对称 与对称轴重合的杆轴力为零。 N =0 N =0 P P 1 P 1 P P/2 P

↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ q 绘制图示对称结构的弯矩图。

2、截面法 取桁架中包含两个或 两个以上结点的部分为 分离体,其受力图为一平 面任意力系,可建立三个 独立的平衡方程。 例：求指定三杆的内力 1 6a h 2 3 P A C D P N1 N2 N3 D C h 2a a 取桁架中包含两个或 两个以上结点的部分为 分离体,其受力图为一平 面任意力系,可建立三个 独立的平衡方程。 例：求指定三杆的内力 解：取截面以左为分离体 由 ∑ MD=2aP+N1h=0 得 N1=－2Pa/h 由 ∑ MC=3aP－Pa－N3h=0 得 N3 =2Pa/h 由 ∑ Y=Y2+P－P=0 得 Y2=0 ∴ N2=0 截面法可用来求指定杆件的内力。 对两未知力交点取矩、沿与两平行未知力垂直的方向投影 列平衡方程，可使一个方程中只含一个未知力。

例: 【解】：先找出零杆， 将它们去掉 取 ⅠⅠ截面以左为分离体 ∑MD=3N1+P/2×6=0 得 N1=－P 2m 1m P/2 2m 4m C D 1 2 1m 2m 3 2m×6=12m 【解】：先找出零杆， 将它们去掉 N1 取 ⅠⅠ截面以左为分离体 X2 Y2 ∑MD=3N1+P/2×6=0 得 N1=－P N2 X3 Y3 ∑MC=2X3－P/2×2=0 得 X3=P/2 N3 ∴　N3=X3/4×4.12=0.52P ∑X=N1+X2+X3=0 ∴ X2=P/2 ∴N2=5X2/4=5P/8

求图示桁架指定杆轴力。 解：①整体平衡得： a l ② 1-1截面以上 b c ② 2-2截面以下 2P 2l x x x 3 Na 5P/3 2 ② 1-1截面以上 P/3 Nc 5P/3 c 5P/3 P/3 ② 2-2截面以下 x x x P/3 Na Nb Nc ③ 3-3截面以右

求桁架中指定杆件的轴力常用截面法，计算联合桁架，要先用截面法求出简单桁架间的联系杆件内力。 如图示结构取ⅠⅠ以内为分离体，对其中两个力的交点取矩可求出另一个力，在这里可得三力全为零。 N1 N2 N3 Ⅰ　Ⅰ 　或由里面的小三角形为附属部分，不受外力。其内力为零。

截面法中的特殊情况 当所作截面截断三根以上的杆件 时： 当所作截面截断 如除了杆1外，其余各杆均交于一点O 三根以上的杆件 时：如除了杆 1 外，其余各杆均 互相平，则由投 影方程可求出杆 1轴力。 如除了杆1外，其余各杆均交于一点O 则对O点列矩方程可求出杆1轴力。 N1 O 1 1

å d Y P M 3 2 = + 3 2 P Y - = Y N 2 5 = P 3 5 - = 3d A E B C C E P Ⅰ A Ya Xa B Na P d Y P M a A 3 2 = × + å 3 2 P Y a - = Y N a 2 5 = P 3 5 - =

【例题】 求图4-18(a)所示桁架中1、2杆的轴力。 Ⅰ P 2a am a 1 2 D C (a) A B 1.5P P N1 D 1.5P (b) Ⅱ P C N2 Y2 (c) 解：取ⅠⅠ截面以左如图4-18 (b) 取ⅡⅡ截面以下为分离体如图4-18 (c)

凡需同时应用结点法和截面法才能确定杆件内力的计算方法称时，称联合法combined method §3-4-3 结点法和截面法的联合应用 凡需同时应用结点法和截面法才能确定杆件内力的计算方法称时，称联合法combined method 1 2 3 4 FP 6a 2h

1 2 3 4 FP 6a 2h A B FAy FBy FP FN1 FN3 C mC=0  FN1 FAy

FP A B FAy FBy FP Y=0 FN3 f(FN2 , FN )=0 FN1 FN2 FN2 X=0 FN FN 4 FP 6a 2h A B FAy FBy FP Y=0 f(FN2 , FN )=0 FN2 FN FN3 FN1 FN2 FN X=0 g(FN2 , FN )=0 FAy

1 2 3 4 FP C D E b 弦杆 斜杆 竖杆 利用对称性取结点D 先求斜杆b，再利用结点E

练习：求FN1、 FN2 、 FN3 （下课交） 1 2 3 4a 2h FP 对称轴?

求图示桁架指定杆轴力。 解： ①找出零杆如图示； ②由D点 5m ③1-1以右 2×3m ④2-2以下 4×4m 或取C点为分离体 NCE A C D B P E ②由D点 1 ③1-1以右 2 ④2-2以下 F C P NCE P N1 或取C点为分离体 P N1 C

解法1 由D点水平投影平衡得： －N1=NGD （1） 取ⅠⅠ截面以左为分离体： 2P 2 1 a A B C D G E YA XA NGD N2 NGE (b) (c) (a) Ⅰ N1 解法1 由D点水平投影平衡得： －N1=NGD （1） 取ⅠⅠ截面以左为分离体： 解（1）（2）（3）得：

2P 2 1 P A B C D G E ２P (a) (b) 解法2 将荷载分成对称和反对称两组如图4-16（a）（b） 反对称情况下，N2=0，NGD=－NGE，由G点 由Ｄ点 对称情况下，N１=0，NGD=NGE，由Ｄ点 由G点

§3-4-5 几种梁式桁架的受力比较 1. 平行弦桁架 FP FP/2 6a h FP FP/2  

弦杆内力： 斜杆内力： 下斜杆受拉 上斜杆受压 竖杆内力：符号与斜杆内力符号相反 竖杆受压 竖杆受拉 分布规律： 1、弦杆内力由端点向中心递增 2、腹杆内力由端点向中心递减

M0 按抛物线递增，hi 的线性递增。由于hi 的增长比M0的增长快，所以弦内力由端点向中心递减 6a h FP 2。 三角形桁架 弦杆内力： M0 按抛物线递增，hi 的线性递增。由于hi 的增长比M0的增长快，所以弦内力由端点向中心递减 腹杆内力： 斜杆内力和竖杆内力由端点向中心递增； 斜杆内力符号和竖杆内力符号相反； 下斜杆受压，上斜杆受拉 分布规律： 与平行弦桁架内力分布相反，符号规律相同

腹杆内力为零，下弦杆内力相同。上弦杆受压，水平分量相等且等于下弦内力（因为合理拱轴） 3。抛物线形桁架 结点位于 6a h FP FP/2 弦杆内力： M0 按抛物线递增，hi 按抛物线递增 腹杆内力为零，下弦杆内力相同。上弦杆受压，水平分量相等且等于下弦内力（因为合理拱轴）

End 基于上述受力性能分析，在使用上  平行弦桁架内力分布不均，但构件规整，利于标准化，便于施工，宜用于跨度不大情况。  平行弦桁架内力分布不均，但构件规整，利于标准化，便于施工，宜用于跨度不大情况。  抛物线桁架内力分布均匀，腹杆轻，自重小，宜用于大跨结构，但抛物线弦杆施工复杂。  三角形桁架内力分布不均匀，支座处内力最大，端结点交锐角构造复杂，宜用于跨度小坡度大的屋盖。 End

§3-5 组合结构 零杆？ 1、组合结构的构成 桁架结点？ 组合结构是由链杆和受弯构件混合组成的结构。 结构的特点是一部分杆件相对于另一部分杆件来说，其刚度较大，属于梁式杆；一部分杆抗弯刚度较小，与桁架杆相似，这样的杆起着加强梁式杆的作用 FP 零杆？ 桁架结点？

注意分清各种杆件的受力性能 计算由几何组成分析入手 弄清结构的几何组成顺序，以便确定计算的先后次序； 链杆只受轴力，是二力杆； 受弯构件受弯、剪和轴力作用。 50kN 12m 8m 3m 计算由几何组成分析入手 弄清结构的几何组成顺序，以便确定计算的先后次序；

斜拉桥计算简图 加固工程上采用的结构形式：链杆加劲梁。 混凝土梁开列接近破坏时，下面用预应力拉杆进行加固。

高层建筑中，通过斜撑，加强结构的抗风能力。同时也 起到了跨间支撑作用。 y x z

①注意区分链杆（只受轴力）和梁式杆（受轴力、剪力和弯矩）； ②前面关于桁架结点的一些特性对有梁式杆的结点不再适用； 下撑式五角形屋架 角钢 钢筋混凝土 计算组合结构时应注意： ①注意区分链杆（只受轴力）和梁式杆（受轴力、剪力和弯矩）； ②前面关于桁架结点的一些特性对有梁式杆的结点不再适用； ③一般先计算反力和链杆的轴力，然后计算梁式杆的内力； ④取分离体时，尽量不截断梁式杆。

链杆是两端是铰、中间不 受力、也无连结的直杆。 对称结构受对称荷载作用 ① N1=N2=0 ② N1=－N2 ③ N1≠N2 梁式杆 A B C 2P/3 D P P 1 2 对称结构受对称荷载作用 NAB= × A ① N1=N2=0 ② N1=－N2 ③ N1≠N2 ④ N1=N2≠0 NCD=0 （ ） × C √

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 解：①求反力 ②求链杆的内力 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q=1kN/m 3m f1=0.5m f2=0.7m f =1.2m A D F C E 15 ③截面的剪力和轴力: Q=Ycosα－15sinα N= －Ysinα －15cosα 其中Y为截面以左所有竖向力的合力。 Sinα=0.084，cosα=0.996 + -3.5 3.5 6kN 15.4 6kN 15 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q=1kN/m A D F C 6kN NDE α 15 Q FC ) 3 5 . 2 ( - + = 084 . 15 996 × - 15 3.5 15.4 3.5 kN 74 . 1 = 15 2.5 N FC ) 3 5 . 2 ( - + = 996 . 15 084 × - － 15.13 14.97 15.17 14.92 N图(kN) kN 17 . 15 - = 0.75 M图(kN.m) 1.24 1.74 1.75 1.25 + － Q图(kN) ④作出 内力图

讨论:影响屋架内 力图的主要原因 有两个: ①高跨比f /l 高跨比越小轴力 NDE=MC0/ f 越大屋架轴力也 越大。 f =1.2m -6 -15 16.16 15 f1=0，f2=1.2m 4.5 D E C 讨论:影响屋架内 力图的主要原因 有两个: ①高跨比f /l 高跨比越小轴力 NDE=MC0/ f 越大屋架轴力也 越大。 f1=0.5m f2=0.7m f =1.2m A D F C E 0.75 -15.08 15 -3.5 15.4 f1=0.5m， ②f1与f2的关系 　当高度f 确定 后，内力状态随 f1与 f2的比例不 同而变。 4.5 15 -15.88 f =1.2m f1=1.2m，f2=0 D E C 　弦杆轴力变化 幅度不大，但上弦杆弯矩变化幅度很大。

§3-7 隔离体方法及其截取顺序的优选 3-7-1 隔离体的形式、约束力及独立平衡方程 静定结构仅通过平衡方程既可求出所有反应。解决方案都遵循如下原则： 1、计算顺序与结构组装顺序相反； 2、选取适当的隔离体(尽可能简化，一般求反力，按所求问题“切、取、代、平（也即截面法）”进行求解)； 3、取隔离体（结点或部分）考虑平衡，也即列静力平衡方程。

计算简图 截取隔 离体 取结点

两刚片型结构：切断刚片间的联系，取一隔离体分析。 (1) FP A C FCy FCx FNAB FP A B C

为避免解联立方程，选取的每个平衡方程应尽量只包含一个未知量；为避免继承错误，选取的平衡方程应尽量避免利用曾经的未知量。 (2) FP 1 2 3 FN3 FN1 FP FN2 为避免解联立方程，选取的每个平衡方程应尽量只包含一个未知量；为避免继承错误，选取的平衡方程应尽量避免利用曾经的未知量。

三刚片型结构：用双截面法切断刚片间的联系，分别取两个隔离体建立联立方程求解。 以双截面同时切到的约束作为首攻目标 

双截面法（I） FCy FCx FAy FAx FP A C A C B FP FP A C B FAy FAx FBy FBx

双截面法（II） A C B FP FCy FCx FAy FAx FP A C B C FBy FBx FCy FCx

受弯结构求做内力图的顺序 弯矩图 取杆件作隔离体 剪力图 取结点作隔离体 轴力图

例题 分析步骤： 1、几何组成分析； 2、计算约束反力； 3、计算控制截面弯矩； 4、做控制截面间的弯矩图; q l 3、计算控制截面弯矩； 4、做控制截面间的弯矩图; 5、取杆件作为隔离体求控制截面剪力，并做剪力图； 6、取结点作为隔离体求控制截面轴力，并做轴力图；

注意事项： 1、求约束力是为了计算内力，故只求有用的约束力； 2、利用控制截面把结构划分成若干个杆段，采用叠加法并注意弯矩和外力的微分关系分别做每段的弯矩图。弯矩图画在受拉纤维一侧； 3、剪力图和轴力图可以画在杆件的任意一侧，但必须标出正负； 4、取结点作隔离体，进而计算杆端轴力时，结点上未知力的个数以不超过2 个为原则； 5、本方法同时适用于超静定结构；

§3-7-3 零载法 依据：由解答的唯一性，无荷载作用的静定结构反力和内力应等于零。 前提：体系的计算自由度等于零 结论：无荷载作用不可能有非零反力和内力体系静定，否则体系可变（一般为瞬变）。 分析步骤： 求体系的计算自由度W ，应等于零 去掉零杆简化体系 设某内力为非零值x ，分析是否可能在满足全部平衡条件时存在非零值x ，以便确定体系可变性。

举例 无多余联 系几何不 变体系 找 零 杆 截 面 投 影 取 结 点

对于W=0的体系，如为几何不变体系，则无荷载就无内力； 如为几何可变体系，则无荷载时，它的某些内力可不为零。 研究几何不变性的方法： 几何法、静力法（零载法为其一种） 对于W=0的体系，如为几何不变体系，则无荷载就无内力； 如为几何可变体系，则无荷载时，它的某些内力可不为零。 解：W= 2×10 －20＝0 β X －Xcosβ 当X为任意值时，各结点都能平衡，结构有自内力体系为几何可变。 －Xsinβ －Xsinβ X X －Xcosβ

进一步得出各杆轴力全部为零，即不存在自内力，因此 该体系为几何不变体系。 解:W=12×2－24＝0,因此可以采用零载法。 X 2 - 45° -X/2 X X X 2 - X P P A X 2 - n P/3 P 取A点，∑n=0 X/2－X=0 － + 初参数X必为零。 P/3 解得：X= 进一步得出各杆轴力全部为零，即不存在自内力，因此 该体系为几何不变体系。