26.2用函数观点看一元二次方程

1、理解二次函数图像与x轴的交点的个数的情况 学习目标 1、理解二次函数图像与x轴的交点的个数的情况 2.理解二次函数图像与一元二次方程的根的关系 3.会用一元二次方程解决二次函数图象与x轴的交点问题

二次函数 定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。 图象：是一条抛物线。 图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。（2）有对称轴。（3）有顶点（最低点或最高点）。 o x y o x y

二次函数y=ax2的图象与二次函数y=ax2+k的图象的关系 y=2x2+2 二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2的图象向上（或向下）平移得到： 当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移k的绝对值个单位，得y=ax2+k 当k＜0时，抛物线y=ax2向下平移k的绝对值个单位，得y=ax2+k y=2x2 y=2x2-2

二次函数y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h) 2的图象的关系 二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图象向左（或向右）平移得到： 当h＞0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位，得y=a(x-h) 2 当h＜0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位，得y=a(x-h) 2

二次函数y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h) 2+k的图象的关系 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,在向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得到.

二次函数y=ax2+bx+c的性质 当a﹥0时：抛物线开口向上。 对称轴是x=- ,顶点坐标是 （- ， ) 当a﹥0时,在对称轴的左侧，即当x＜- 时，y随x的增大而减小； 4a 4ac-b2 b 2a b 2a b 2a b 2a 在对称轴的右侧，即当x ﹥ - 时， y随x的增大而增大。简记左减右增。抛物线有最低点，当x=- 时， y最小值= o x y b 2a 4a 4ac-b2

在对称轴的左侧，即当x ＜- 时，y随x的增大而增大； 当a ＜ 0时：抛物线开口向下。 对称轴是x=- ,顶点坐标是(- ， ) 在对称轴的左侧，即当x ＜- 时，y随x的增大而增大； b 2a 4a 4ac-b2 b 2a b 2a 在对称轴的右侧，即当 x ﹥ - 时， y随x的增大而减小。简记左增右减。抛物线有最高点， 当x=- 时， y最大值= o x y b 2a b 2a 4a 4ac-b2

引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题。 如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等． 　　如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等． 　　利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。 　　本节课，我将和同学们共同研究解决这些问题的方法，探寻其中的奥秘。

活动1 复习. 1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由 确定。 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 b2- 4ac ＞ 0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 = 0 没有实数根 ＜ 0 2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么 50-20t2= ，如果h=20，那50-20t2= ， 如果h=0，那50-20t2= 。如果要想求t的值，那么我 们可以求 的解。 15 20 方程

活动2 问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系:h= 20 t – 5 t2 考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m ? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m ? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m ? 若能,需要多少时间? (4)球从 飞出到落地 要用多少时间 ? 20= 20 t – 5 t2 20.5= 20 t – 5 t2 15= 20 t – 5 t2 0= 20 t – 5 t2 h=0 h t

你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？ 解：（1）解方程15=20t-5t2 即： t2-4t+3=0 t1=1,t2=3 ∴当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。 （2）解方程20=20t-5t2 即： t2-4t+4=0 t1=t2=2 ∴当球飞行2s时，它的高度为20m。 （3）解方程20.5=20t-5t2 即： t2-4t+4.1=0 因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解， ∴球的飞行高度达不到20.5m。 那么为什么只在一个时间求得高度为20m呢？ 你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？ 从上面我们看出， 对于二次函数h= 20 t – 5 t2中，已知h的值，求时间t？其实就是把函数值h换成常数，求一元二次方程的解。 那么为什么两个时间球的高度为零呢？ （4）解方程0=20t-5t2 即： t2-4t=0 t1=0,t2=4 ∴球的飞行0s和4s时，它的高度为0m。即 飞出到落地用了4s 。

自由讨论 为一个常数 （定值） 那么从上面，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?

想一想，这一个旋转喷水头，水流落地覆盖的最大面积为多少呢？ 练习一： 如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求水流的落地点D到A的距离是多少？ 分析：根据图象可知，水流的落地点D的纵坐标为0，横坐标即为落地点D到A的距离。 即：y=0 。 解：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0， 解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去) 答：水流的落地点D到A的距离是5m。

问题2 边观察边思考 1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1的图象如图所示。 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 答：2个，1个，0个 分析

. 2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点,则b2-4ac的情况如何。 Y X O b2 – 4ac ＜0 b2 – 4ac =0

二次函数与一元二次方程的关系 （1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时，函数值为0，因此x=x0就是方程y=ax2+bx+c的一个根

二次函数与一元二次方程 2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 情况如何？（b2-4ac如何） （1）有两个交点 （2）有一个交点 （方程有两个不相等的实数根） （2）有一个交点 b2 – 4ac= 0 （方程有两个相等的实数根） （3）没有交点 b2 – 4ac< 0 （方程没有实数根） 思考：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则 b2-4ac . ≥0

1 (1,0) (2,0) 练习:看谁算的又快又准。 1.不与x轴相交的抛物线是( ) D A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3 C y= - x2 – 2x D y=-2(x+1)2 - 3 D 2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ 个交点. 1 1 16 3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿. (0,2) 4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿,与x轴交于点＿＿＿ ＿. (1,0) (2,0)

K≠0 b2-4ac≥0 5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=＿＿＿ -3.3 6.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则 k的取值范围（ ） B

例：已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1 (1)求证：无论m为何值，函数y的图像与x轴总有交点，并指出当m为何值时，只有一个交点。 （2）当m为何值时，函数y的图像经过原点。 （3）指出（2）的图像中，使y＜0时， x的取值范围及使y＞0时， x的取值范围

例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线 ，其中y（m）是球的飞行高度,x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m． （1）请写出抛物线的开口方向、 顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行 的最大水平距离． （3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．

解：（1） 抛物线 开口向下，顶点为 ，对称轴为 （2）令 ，得： 解得： ， ∴球飞行的最大水平距离是8m． （3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m 抛物线的对称轴为 ，顶点为 设此时对应的抛物线解析式为 又 ∵点 在此抛物线上， ∴

练习 C A

●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 讨 桌，然后告诉老师？ 论 二次函数与一元二次方程的关系 两个交点 b2-4ac>0 交 这节课应有以下内容： 当二次函数y=ax2+bx+c中y的值确定，求x的值时，二次函数就变为一元二次方程。即当y取定值时，二次函数就为一元二次方程。 二次函数与一元二次方程的关系 交 点 b2-4ac>0 b2-4ac<0 b2-4ac=0 两个交点 没有交点 一个交点 二次函数与x轴的交点 二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解

走近中考 2.抛物线 与轴只有一个公共点，则m的值为 ． 8 1.已知函数 的图象如图所示，那么关于 的方程 的根的情况是（ ） D 1.已知函数 的图象如图所示，那么关于 的方程 的根的情况是（ ） D A．无实数根 B．有两个相等实根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根 2.抛物线 与轴只有一个公共点，则m的值为 ． 8

3.如图，抛物线 的对称轴是直线 且经过点（3，0），则 的值为( ) A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 A 3.如图，抛物线 的对称轴是直线 且经过点（3，0），则 的值为( ) A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 A 4.二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程 的两个根 （2）写出不等式 的解集． （3）写出y随x的增大而减小的自变量的取值范围． （4）若方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围． 2 3

5.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线 （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。 的一部分，如图

解（1） = ∵ ∴函数的最大值是 答：演员弹跳的最大高度是 米 （2）当x＝4时， ＝3.4＝BC，所以这次表演成功。

作业 课本：p23页 复习巩固 第1题 拓展探索 第6题 选做题：如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 y＝－x2＋3.5运行，然后准确落人篮框内。已知篮框的 中心离地面的距离为3.05米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面 的高度为2.25米，请问他距离篮框中 心的水平距离是多少?

二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 升华提高 弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系 如果抛物线 y=ax +bx+c 与x轴有公共点(x ,o),那么x=x 就是方程 ax +bx+c=0的一个根. 2 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 有两个交点 有两个相异的实数根 有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0 数形结合思想 分类讨论思想 体会两种思想：

下课! 结束寄语 时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个“变数”. 用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍. 再 见