第三章重要公式與定理之復習 1. 收斂到 f( x )。

定義: 如果函數 f 滿足 f (- x) = f (x) , 則此函數 4. 定理 : 偶函數與奇函數滿足下列基本性質 : (1) . 兩個偶函數相加所得的和為偶函數。 (2) . 兩個奇函數相加所得的和為奇函數。 (3) . 一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與 非偶函數。 (4) . 兩個偶函數相乘所得的積為偶函數。 (5) . 兩個奇函數相乘所得的積為偶函數。

(6) . 一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數。 (7) . 如果 f 是奇函數 , 則 (8) . 如果 f 是偶函數 , 則 5. 定理 (1) . 一個偶函數 f(x) 的 Fourier 級數是一個 Fourier cosine 級數 ; 也就是說 , 它沒有包含型態為 的項。亦即 (2) . 一個奇函數 f(x) 的 Fourier 級數是一個 Fourier sine 級數 , 也就是說 ,它沒有包含型態為

6. 定理 : 若 f 與 在區間 裡為分段連續函數 , 則 f 在此區間內可以被展開成一個 Fourier cosine 級數 或成為一個 Fourier sine 級數 此處我們有

7. 定義: 如果函數 f( x )被定義在所有實數 x 裡 , 而且存 在一個正數 T 滿足 f( x + T )=f( x ) , 則此函數 f( x ) 被稱為是一個週期為 T 的週期函數 。 8. 定理: 倘若正數 T 為函數 f (x) 的週期且 m 為任一整 數 , 則函數 f( x ) 滿足 9. 定理: 如果函數 f (x) 的週期為 , 則函數 f( x ) 的 Fourier 級數為 此處

此處如果 則有 10. 定理 : 如果函數 f( t ) 的週期函數為 T , T 為一個正 數 , 則函數 f( t ) 的 Fourier 級數為 此處如果 則有

或者如果 則有 11. 定理 ： 偶函數與奇函數的 Fourier 級數 或者如果 則有 11. 定理 ： 偶函數與奇函數的 Fourier 級數 (1) . 週期為 T 之偶函數 f( x ) 的 Fourier 級數為一個 　　　 Fourier cosine 級數 　　　　此處 而且

(2) . 週期為 T 之奇函數 f( x ) 的 Fourier 級數為一個 　　 Fourier sine 級數

12. 定義: 半幅展開式 如果視函數 f( x ) 在 之間為半幅 ( 或 半週期) , 若由 0 反向延伸至 , 使得 到 為一週期 , 則

1. 若延伸部分的圖形與函數 f ( t ) 的圖形在 內對稱於垂直軸 t=0 , 則此延伸以後的週期函數必為偶函數 , 此時 f (t) 可以被展開成為一個 Fourier cosine 級數各項 , 我們稱為半幅餘弦展開式。 若延伸部分的圖形與函數 f ( t ) 的圖形在 內對稱於原點 ( 0 , 0 ) , 則此延伸以後的週期函數必為奇函數 , 此時 f ( t ) 可以被展開成一個 Fourier sine 級數各項 , 我們稱為半幅正弦展開式。

第四章 偏微分方程式 4.1 常係數偏微分方程式 定義 4.1.1 一個 n 階的偏微分方程式可表示為 第四章 偏微分方程式 4.1 常係數偏微分方程式 定義 4.1.1 一個 n 階的偏微分方程式可表示為 此處 u 為一個包含 m 個自變數的函數 , 且 為 u 對 與 的偏導數 , 其中 i=1,2, … … , m , j=1,2,… … , m ■

定義 4.1.2 一個包函數 u 的偏微分方程式被稱為是線性的 , 如果這個方程式的函數 u 以及 u 之導數的次數至多只有一次 。 ■ 定義 4.1.3 一個偏微分方程式如果不是線性的 , 則此方程式被稱為是一個非線性偏微分方程式 。 ■

例 4.1.1 試指出下列各偏微分方程式的名稱 :

解: (1) 一階一次線性偏微分方程式。 (2) 一階二次非線性偏微分方程式。 (3) 二階一次非線性偏微分方程式。 (4) 一階一次非線性偏微分方程式。 (5) 二階一次非線性偏微分方程式。 一階一次線性偏微分方程式。 (7) 二階一次非線性偏微分方程式。 (8) 二階一次線性偏微分方程式。 (9) 二階一次線性偏微分方程式。 (10) 二階一次線性偏微分方程式。 ■

定義 4.1.4 一個偏微分方程式通常是在其自變數的定義域 D 中被考慮;如果存在一個函數 u 也是在此 D 中被考慮 , 使得 u 與 u 的導數同時滿足此微分方程式 , 則我們說 u 為此微分方程式的解。 ■ 定義 4.1.5 一個偏微分方程式的通解包含此方程式的每個其他解。 ■

定理 4.1.1 如果 u 是自變數 x 與 y 的函數 , 則一階偏微分方程式 的通解為 此處 g 是一個 y 的任意函數。 □

例 4.1.2 試求二階方程式 　　　的通解。 解 : ■

定義 4.1.6 　以 x 與 y 為自變數的一階線性微分方程式 　的一般型式為 　此係數 a , b , c 與 d 是 x y 平面上某些 　定義域內函數。我們假設函數 a , b , c 與 d 是連續的 , 而且他們在 D 內的一階偏導數也是 　連續的 , 同時 a , b 不能同時為 0 。 ■

定義 4.1.7 　 以 x 與 y 為自變數的二階線性偏微分 　方程式為型式 　係數 A , B , C , D , E , F 與 G 是 x y 平面上某些定義域內的函數。當這些函數都是 　常數時 , 則我們就稱這方程式為常係數二階線 　性偏微分方程式。 ■

定義 4.1.8 常係數二階偏微分方程式的分類 我們首先考慮常係數之二階線性偏微分方程式 的特徵方程式 之解的判別式, 若把他予以分類 :

則因為方程式的型態不因座標變換而改變 , 因此我們可以用線性轉換的方法把偏微分方程式依照上面判別式分別對應化簡成為三個標準型:

習 題 試指出下列各偏微分方程式的名稱 : 試證明下列函數是方程式 的解 , 對於一些 c 值:

三. 試把下列各偏微分方程式予以分類 :

4.2 常係數二階偏微分方程式 A. 波動方程式( 雙曲線 ) 考慮一個長 的彈性弦 ，例如是琴弦或電線等 , 被至於做垂直平面的震動。假如 ( x , t ) 表示弦上一點在時間 t 時的瞬間垂直位移。如果所有的阻尼效果，例如是空氣阻力等都被忽略不計， 而且假設運動頻率不是很大，則 u( x , t ) 在區間 裡將滿足偏微分方程式。在這種情況， 常數 ，此處 H 是上弦張力的水平分量 ， 而 ρ 是單位弦長的質量。 我們將用變數分離法來解邊界問題。

運動方程式 起始條件 與邊界條件 解 : 我們首先設解為 之形式 , 則 代入方程式 ( 4.2.1 ) 得到

由於上式等號左邊為 t 的函數而右邊為 x 的函數 , 因此存在一個與 t , x 無關之常數 k 滿足

當 k > 0 時 , 則方程式 ( 4.2.2 ) 為 由於方程式 ( 4.2.3a ) 的解為

而方程式 ( 4.2.3b ) 的解為 因此得到方程式 ( 4.2.1 ) 的解為 此處 A , B , C , D 為任意常數。 把邊界條件代入得到

因為 A=B=0 將造成 u (x , t)=0 , 因此我們有 亦即得到 但是上面二式將有 C=D=0 , 也就市造成 u ( x , t )=0 , 因此 k > 0 是不可能的。

當 k = 0 時 , 則方程式 ( 4.2.2 ) 為 於是得到方程式 ( 4.2.1 ) 的解為 此處 A , B , C , D 為任意常數。 把邊界條件代入得到 此時與 1. 的情形一樣得 C=D=0 或 A=B=0 , 也就是造成 u( x , t )=0 , 因此 k = 0 也就是不可能的 。

3. 當 時 , 令 而且 λ>0 , 則方程式(4.2.2)為 由於方程式 ( 4.2.4a ) 的解為 , 同理，方程式 ( 4.2.4b ) 的解為

因此得到方程式 ( 4.2.1 ) 的解為 此處 A , B , C , D 為任意常數。 由邊界條件得

此時由於 A cosλt+B sinλt≠0 ,因此我們有 C=0 與 。 顯然 D=0 將造成 u( x , t )=0 的解。故必定有 D≠0 ,亦即 也就是 於是我們可以將方程式 ( 4.2.1 ) 的解為 對於所有 n=1,2,3,……。

亦我們得到的線性組合的解 必定滿足邊界條件以及起始條件 在區間 裡。

換句話說 , 我們可以在區間 裡把函數 f( x ) 與 g( x ) 展開成 Fourier sine 級數。根據 3.2 節的定理 3.2.3 , 我們有 因此 , 這個邊界值問題的解為

此處

B. 熱傳導方程式(拋物形) 考慮一個表面是絕緣而長度為 的金屬細棒 , 令 u( x , t ) 表示時間 t 實細棒上某點 x 的溫度 ; 對於 , 假設 u( x , t ) 滿足偏微分方程式 (4.1.3) 常數 的值由細棒組成材料所決定 , 我們稱它為細棒的溫度擴散。

解 : 現在我們將用變數分離法來解邊界值的問題 : 起始條件 邊界條件 我們首先假設其解為

之形式 , 則 代入方程式 ( 4. 2 . 5 ) 得到 顯然存在一常數 k > 0 滿足 結果得到

由於方程式 ( 4.2.6a ) 的解為 而方程式 ( 4.2.6b ) 的的解為 因此得到方程式 ( 4.2.5 ) 的解為 此處 A , B , C 為任常數 由邊界條件得

此時由於 而且 C=0 將造成 u( x , t )=0 , 因此我們有 A=0 與 , 顯然B≠0 , 故有 於是我們可以將方程式 ( 4.2.5 ) 的解為 對於所有 n=1 , 2 , 3,……。

亦即我們得到線性組合的解 必定滿足邊界條件以及起始條件 對於區間 裡。 根據 4.2 節的定理 4.2.3 我們有

因此,這個邊界值問題的解為

Laplace 方程式或方位式(橢圓形) 此類型邊界值問題可以根據已知的邊界條件而與以區分為 Dirichlet 與 Neumann 兩種問題。 Dirichlet 問題 : 凡是求 Laplace 方程式的 解被置於已知邊界值之上的 問題，我們稱為是一個 Dirichlet 問題。 Neumann 問題 : 凡是求 Laplace 方程式 之解的法向導數被置於已知 邊界值之上的問題，我們稱 為是一個 Dirichlet 問題。

例 4.2.1 Dirichlet 問題 試求在矩形 0 < x < a , 0 < y < b 裡滿足 Laplace 方程式 以及滿足邊界條件 的函數 u ( x , y )

解: 令 代入 方程式 ( 4.2.7 ) , 得到 或 上式中由於等號的左邊僅是 y 的函數而且等號的右邊僅是 x 的函數 , 因此存在一個常數λ>0 滿足

結果得到 由於方程式 ( 4.2.8a ) 的解為 方程式 ( 4.2.8b ) 的解由 3.1 節得知

由此可得到 Laplace 方程式的解為 此處 A , B , C , D 為任意常數。 由邊界條件得

將造成 u (x,y)=0 , 因此我們有 A=C=0 與 。顯然 B≠0 與 D≠0 , 故有 於是我們可以將 Laplace 方程式的解為

亦即我們得到線性組合解 必須滿足邊界條件 對於 0 < y < b 裡。 根據 5.2 節的定理 5.2.3 裡 , 我們有

因此 , 這個邊界值問題的解為 此處 ■

一階偏微分方程式 例 4.2.3 試解邊界值問題 解: 令 , 則我們有 上式中由於等號的左邊為 x 的函數而等號 的右邊為 y 的函數 , 因此存在一個常數 k , 滿足

結果得到 方程式 ( 4.2.9a ) 與 ( 4.2.9b ) 的解為 由此得到通解

此處 C=AB 均為任意常數 由邊界條件 我們有 C=1 , k= -3 , 亦即 2. 由邊界條件

我們有 C=3 , k=4 , 亦即 由上面 1. 2. 得知特解為 ■

習 題 一. 試解下列邊界問題 :

二 試解下列邊界值問題 :

三. 試解下列邊界值問題 : 四. 試解下列邊界值問題 :

4.3 偏微分方程式的 Laplace 變換解 例 4.3.1 試解

則(1)式變為 上式可視為一階常微分方程式 , 我們可得其通解為 ∵ ∴

我們得到解為 ■

例 4.3.2 試解 解: ∵ ∴令 , 則(1)式變為

上式可視為一階非奇次常微分方程式 , 我們可用參數變換法得其通解為 即我們得到解為 ■

例 6.3.3 試解 解: ∵

∴令

上式可視為二階常係數奇次微分方程式 , 我們可得其通解為 ∵ 且

即 我們得到解為 ■

習題 一. 試用 Laplace 變換法解下列各題: 二. 試用Laplace 變換法解下列各題

　　　第四章重要公式與定理之復習