专题13:矩形、菱形和正方形

考点 课标要求 难度 特殊平行四边形的性质 1．探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直． 2．正方形具有矩形和菱形的一切性质 中等及中等以上

考点 课标要求 难度 特殊平行四边形的判定 探索并证明矩形、菱形、正方形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 中等及中等以上

题型预测 特殊平行四边形的中考热点，其题型可能填空、选择和解答题，也可能在压轴题中出现，每份试卷至少2题关于特殊平行四边形的内容，可能简单，也可能复杂．

90° 相等

相等 垂直 平分 两条对角线

都相等 等于90° 相等 垂直 平分 四

1．（2013湖北宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（ ） 考点1 矩形（考查频率：★★☆☆☆） 命题方向：（1）矩形有关的计算问题（特别是对角线夹角为60°的矩形）； （2）矩形的判定． 1．（2013湖北宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2013四川资阳）在矩形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝___________． C 5

证明：（1）∵点O为AB的中点，OE＝OD, ∴四边形AEBD是平行四边形 ∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC 3．（2013辽宁铁岭）如图△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩 形AEBD是正方形，并说明理由. 证明：（1）∵点O为AB的中点，OE＝OD, ∴四边形AEBD是平行四边形 ∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC ∴四边形AEBD是矩形 （2）当△ABC是等腰直角三角形时，矩形AEBD是正方形. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAD ＝∠CAD＝∠DBA＝45° ∴BD＝AD. 由（1）知四边形AEBD是矩形， ∴四边形AEBD是正方形.

4．（2013江苏扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（ ） 5．（2013四川巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是（ ） A．24 B．16 C．4 D．2 B C

6． B 7．

考点3 正方形（考查频率：★★★★☆） 命题方向：（1）以填空或者选择的形式考查正方形的判定；（2）正方形的边角关系；（3）正方形的对称性解决的问题． 8．（2013贵州省六盘水）在平面中，下列命题为真命题的是（ ）． A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形 9．（2013山东威海）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ ）． A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF A D

C C

C B

14．（2013山东德州）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上 14．（2013山东德州）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋ .其中正确的序号是 .（把你认为正确的都填上） 考点4 折叠问题（考查频率：★☆☆☆☆） 命题方向：（1）矩形纸片的折叠问题； 15．（2013四川南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（ ） A．12 B．24 C．12 D．16 ①②④ D

考点5 最短距离问题（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：正方形的线段之和最小问题； 16．（2013年黔南州）如图，正方形ABCD的边长是2，以正方形ABCD的边AB为边，在正方形内作等边三角形ABE，P为对角线AC上的一点，则PD＋PE的最小值为_________ 17．（2013浙江舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为 ． 2

20 考点6 规律探究问题（考查频率：★★☆☆☆） 命题方向：一组特殊平行四边形寻找周长、面积或坐标之间的关系． 17．（2013浙江衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…….则四边形A2B2C2D2的周长是 ；四边形 A2013B2013C2013D2013的周长是 . 20

例1：（2013湖南娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图1所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P. （1）求证：AM＝AN； （2）当旋转角α＝30°时，四边 形ABPF是什么样的特殊四边形？ 并说明理由. 【解题思路】（1）证明AM＝AN，只需证明其所在的△ABM与△AFN全等；（2）探究四边形ABPF的形状，须抓住旋转角为30°，结合直角三角形中的60°、30°、90°进行思考，不难发现两组对边平行，可证其为平行四边形，再由（1）结论证出其为菱形.

（1）∵∠α＋∠EAC＝90°， ∠NAF＋∠EAC＝90°． ∴∠α＝∠NAF． 又∵∠B＝∠F，AB＝AF． ∴△ABM≌△AFN ∴AM＝AN （2）四边形ABPF是菱形. 理由：∵∠α＝30°，∠EAF＝90° ∴∠BAF＝120°． 又∵∠B＝∠F＝60° ∴∠B＋∠BAF＝60°＋120°＝180°， ∠F＋∠BAF＝60°＋120°＝180° ∴AF∥BC，AB∥EF ∴四边形ABPF是平行四边形 又∵AM＝AN ∴平行四边形ABPF是菱形.

从这一定义可以看出，菱形是一个特殊的平行四边形，理解菱形的定义，我们可从菱形的共性和特性两个方面来理解． 【必知点】1．菱形性质的理解： 从这一定义可以看出，菱形是一个特殊的平行四边形，理解菱形的定义，我们可从菱形的共性和特性两个方面来理解． 共性：菱形是一个特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分等． 菱形的特性主要体现在两个方面：①邻边相等；②对角线互相垂直． 菱形的性质 2．菱形判定的理解 如果把一组邻边相等和对角线互相垂直看作菱形的特征，菱形的判断方法可以理解为“平行四边形＋菱形特征＝菱形”，也就是说，要证明一个四边形是菱形，可先证明这个四边形是一个平行四边形，然后再添加一个菱形的特征．   性质 菱形 四个角 对角相等 四条边 对边平行,四条边相等 对角线 对角线互相垂直平分 对称性 既是轴对称又是中心对称图形 面积 0.5ab（其中a、b表示两条对角线的长）

例2：（2013四川宜宾）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°， BD 为AC边的中线，过点 C作 CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连结BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG 的周长为 . 20 【解题思路】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF＝x，则AF＝13－x，AC＝2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．

【必知点】顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是平行四边形；顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是菱形；顺次连结菱形四边中点所得的四边形一定是矩形；顺次连结正方形四边中点所得的四边形还是正方形.

例3：（2013四川雅安）如图，正方形 ABCD中，点E、F 分别在 BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC 交 EF于G，下列结论：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE＋DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确结论有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 C 【解题思路】①通过证明△ABE≌△ADF即可证明BE＝DF;②通过证明△ABE≌△ADF可得∠BAE＝∠DAF，即可证出∠DAF＝15º；③由∠BAE＝∠DAF，∠BAC＝∠DAC可得：∠EAG＝∠FAG，然后根据等腰三角形三线合一定理可得：AC垂直平分EF；④把△ADF绕点A逆时针旋转90º至△ABF’的位置，（或延长EB至F’，使BF’＝DF’，连接AF’）通过证明∠F’AE＝30º可得：EF’≠AE，即BE＋DF≠EF⑤过点E作EN⊥AF，垂足为N，欲证S△CEF＝2S△ABE，需证S△AF’E＝S△CEF∵AF’＝EF，∴可证EN＝CG即可.

例1：已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是（ ）

例2：下列说法中正确的是（ ） A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 【解题思路】A是不对的，A项提供的条件首先不能证明它是平行四边形；B对于直角梯形也成立，所以是错误的；C所说的是菱形，所以也不对；D正确，对角线互相平分可证明这个四边形是平行四边形，又一个角是直角，根据矩形的定义可知是矩形． 【易错点睛】B项很具迷惑性，提供的两个条件都是证明矩形所必须的，只不过少了一个条件．

例3：如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE＝________． 【解题思路】由于△ABE为等边三角形，则AE＝BE，AD＝ BC，∠DAE＝∠CBE，则△ADE≌△CBE，则∠DAE＝∠CBE＝ 30°，又AD＝AE，则∠DEA＝75°，则∠DCE＝15°． 【易错点睛】本题出看起来无从下手，因为题目中没有给出一个度数，但却要求出角的度数。但发现，正方形、等边三角形本身就是带有角的度数的，所以可以根据它们求出此角的度数，本题易错的地方是找不到解决问题的途径．