第二章 平面運動 2-1 位置向量和位移 2-2 向量的合成分解 2-3 速度和速率 2-4 平均加速度和瞬時加速度 2-5 拋體運動 2-6 等速率圓周運動

2-1 位置向量和位移 (1/4) 怎樣描述物體在平面上的運動? [說明]： 質點在 A 點的位置可以其位置座標 (x,y) 表示。 O r q A(x,y) [說明]： 質點在 A 點的位置可以其位置座標 (x,y) 表示。 圖中的 OA 射線，是描述質點的位置向量r。 其中，r的大小|r|= x2+y2，方向則和x軸 夾q角，tanq=y/x。

2-1 位置向量和位移 (2/4) 物體在平面上的位移 [說明]： 質點從 A 點的位置移動到B點的位置時，質點的 x y O B rA A rB Dr [說明]： 質點從 A 點的位置移動到B點的位置時，質點的 位移即是兩位置向量的變化量：Dr = rB - rA

2-1 位置向量和位移 (3/4) x y O B rA A rB C rC [說明]： 質點從 A 點的位置經過B點移動到C點的位置時，其位移 AC (紅線)= rC – rA = (rB – rA ) + (rC – rB) (綠線) 。

2-1 位置向量和位移 (4/4) [說明]： 質點從 A 點移動到D點的路徑可能有許多種，但其 x y O B A C D [說明]： 質點從 A 點移動到D點的路徑可能有許多種，但其 位移皆為 AD (紅線) 。若質點由A 點到D點再回到 A點，則位移為0。 例題2-1

2-2-1 向量的合成 (1/5) 兩向量的相加方法： [說明]： [註]：多個向量相加，以多邊形法 (三角形法)較方便。 (1)平行四邊形法 (2)三角形法 B C A A C B [說明]： (1)向量的相加滿足「交換律」：A+B=B+A (2)向量的相加滿足「結合律」：(A+B)+C=A+(B+C) [註]：多個向量相加，以多邊形法 (三角形法)較方便。

2-2-2 純數和向量的乘積 (2/5) 純數與向量相乘： [說明]： 向量沒有減法運算，但可用加法運算代替。 A A -A 3A A-B=A+(-B) A+(-B) B A A -B

向量的分解 2-2-3 向量的分解和單位向量 (3/5) 一個向量可以分解成 個分量，分解的 無限多 方式有 種。 一個向量可以分解成 個分量，分解的 方式有 種。 無限多 A A1 A2 A3 A Ax Ay A A1 A2 [註]：在處理物理問題中，常常將向量 分解為互相垂直的兩個分量。

向量與單位向量 2-2-3 向量的分解和單位向量 (4/5) [說明]： 若 A 可分解成互相垂直的兩個分量：4 i 及3 j， y A 3 j j q x i 4 i [說明]： 若 A 可分解成互相垂直的兩個分量：4 i 及3 j， 則 A=4 i + 3 j。其中，i 、 j 稱為單位向量。 |A|= 42+32 =5 量值： tanq= =0.75 方向： 4 3

向量運算與單位向量 [說明]： 2-2-3 向量的分解和單位向量 (5/5) y y A2 A1 y2 A2 - A1 (y2-y1) j + y1 A1 A2 A2 x x O O x1 x2 (x2-x1) i [說明]： A2+ A1 =(x2 i +y2 j )+(x1 i +y1 j )=(x2+x1) i +(y2+y1) j A2 - A1 =(x2 i +y2 j ) - (x1 i +y1 j )=(x2 - x1) i +(y2 - y1) j

2-3 速度和速率 (1/2) v D r D r 位置向量的平均時變率 v= 平均速度： 。 Dt d r 位置向量的瞬時時變率 v= y P(x1,y1) v Q(x2,y2) D r r1 r2 O x 位置向量的平均時變率 v= D r Dt 平均速度： 。 位置向量的瞬時時變率 v= d r d t 瞬時速度： 。 [問題]：如上圖，瞬時速度的方向是在 軌跡的切線方向，那平均速度 的方向是向哪兒?

2-3 速度和速率 (2/2) v D r 速率的定義： 。 單位時間內所經的路徑長 [問題]：如上圖，瞬時速率與瞬時速度的 y P(x1,y1) v Q(x2,y2) D r r1 r2 O x 速率的定義： 。 單位時間內所經的路徑長 [問題]：如上圖，瞬時速率與瞬時速度的 大小是否相等?平均速率與平均 速度的大小是否相等? 例題2-2

2-4 平均加速度和瞬時加速度 加速度的定義： 。 單位時間內物體的速度變化量 平均加速度 a= Dt Dv 瞬時加速度 a= 加速度的定義： 。 單位時間內物體的速度變化量 平均加速度 a= Dt Dv y O r2 P r1 Q x v1 v2 瞬時加速度 a= dt d v [註]：若無特別說明，一般所指的速度、 加速度均指瞬時速度、瞬時加速度。 例題2-3

2-5 拋體運動 (1/8) 相對運動 [問題1]：若帆船等速前進，則桅頂小球掉落時， 岸邊的人看到小球的軌跡為何? [問題2]：承上題，船上的人看到小球的軌跡為何?

2-5 拋體運動 (2/8) 運動的獨立性 物體在平面上的運動，可看成沿兩個正交方向 的兩個各自獨立互不影響的直線運動， 這稱為『運動的獨立性』。

2-5 拋體運動 (3/8) 水平拋射 等速度 自 由 落 體 方向重力mg的作用，作等加速度運動。 可視為水平方向的等速度運動與 vo 等速度 自 由 落 體 g H (1)特徵：物體的初速vo在水平方向，受到在垂直 方向重力mg的作用，作等加速度運動。 (2)狀態分析：根據運動的獨立性，物體的運動 可視為水平方向的等速度運動與 自由落體運動的合成。

2-5 拋體運動 (4/8) 水平拋射 等速度 自 由 落 體 vo (3)物理量： g (a)加速度： H a=g j (b)速度： v=vo i + gt j 2 (c)位移： s=vot i + gt2 j 1 i j

2-5 拋體運動 (5/8) 水平拋射 等速度 自 由 落 體 vo 2H g (4)飛行時間： T= g H (5)水平射程： 2H R=voT=vo g 2H i (6)軌跡方程式： y= x2 g 2vo2 j 例題2-4

2-5 拋體運動 (6/8) 斜向拋射 方向重力mg的作用，作等加速度運動。 (2)狀態分析：根據運動的獨立性，物體的運動可 vy=0 斜向拋射 vox vox j vy vox vy i voy vox vox vy (1)特徵：物體的初速vo和水平夾角qo，受到在垂直 方向重力mg的作用，作等加速度運動。 (2)狀態分析：根據運動的獨立性，物體的運動可 視為初速vocoso在水平方向的等速度運動和 初速vosino的鉛直上拋運動的合成。

2-5 拋體運動 (7/8) 斜向拋射 vy=0 vox vox j vy vox vy i voy vox vox (3)物理量： vy (a)加速度： a=g j (b)速度： v=vocosqo i +(vosinqo -gt ) j 2 (c)位移： s=vocosqot i +(vosinqot - gt2) j 1

2-5 拋體運動 (8/8) 斜向拋射 vy=0 vox vox j vy vox vy i voy vox vox vy (4)飛行時間： T= g 2vocosqo (5)水平射程： R=vocosqoT= g vo2sin(2qo) (6)最大高度： H= 2g vo2sin2qo 例題2-5 g (7)軌跡方程式： y=xtanqo - x2 2vo2cos2qo

2-6 等速率圓周運動 (1/4) 週期運動 物體經過特定時間後會回到原處的運動。 在週期運動中，物體經過一次 完整路徑所需的時間，稱為週期 (1)週期： 在週期運動中，物體經過一次 完整路徑所需的時間，稱為週期 ，以T表示，其單位為秒(s)。 (2)頻率： 物體在單位時間內繞轉路徑的次數稱為「頻率」，以f表示，其單位為赫(Hz)、秒-1(s -1)。 [註]：頻率與週期互為導數。

2-6 等速率圓周運動 (2/4) 等速率圓周運動 (1)角速度： 物體在每單位時間內對圓心所轉過的角度，稱為角速度，以w表示，單位為弧度/秒(rad/s)。 w= = =2pf Dq Dt 2p T

2-6 等速率圓周運動 (3/4) 等速率圓周運動 物體在一個週期內移動了一個 圓周長，所以速率 v= = =rw Ds Dt 2pr T (2)速率： 物體在一個週期內移動了一個 圓周長，所以速率 v= = =rw Ds Dt 2pr T [問題1]：何謂等速率圓周運動? [問題2]：如圖所示，在等速率圓周運動 中，物體的速度方向為何?

2-6 等速率圓周運動 (4/4) 等速率圓周運動 a= = =vw Dv Dt vDq v2 r = =rw2 4p2r T2 = (3)向心加速度： B a= = =vw Dv Dt vDq r v1 v1 Dq O A v2 r = r =rw2 Dv 4p2r T2 = [說明]： Dq 向心加速度只改變速度方向， 不改變速度大小，其方向恆 指向圓心。 例題2-6

例題2-1 在右圖中，坐標軸上每一單位長度為1 m，一質點 從坐標為 (4 , 0) 的A點沿一曲線移動至坐標為 (- 4 ,6) 的B點，試求出所經歷的位移。

某人開汽車，先向東行駛了5.0 km後，改向北又 行駛了5.0 km，全程的行駛時間共為10分鐘，試求 例題2-2 某人開汽車，先向東行駛了5.0 km後，改向北又 行駛了5.0 km，全程的行駛時間共為10分鐘，試求 汽車的 (1)平均速度；(2)平均速率。 東 O (Dx) i Dr q B 西 南 北 A (Dy) j

例題2-3 一小球以等速率2.0 m/s繞圓周轉動，每10秒繞 一圈。試求： 間隔內的平均加速度。 平均加速度。 (1) 小球從圖2-21所示的A點，繞90o至B點的時間 間隔內的平均加速度。 (2) 小球從A點，僅繞1o至A‘點的時間間隔內的 平均加速度。

例題2-4 一架救援飛機沿水平方向，以432 km/h的等速度 飛行接近目標。若飛機的高度為980 m，則該飛機 應在距離目標上空多遠處投下救濟包裹？

例題2-5 某人從高度為36 m的樓頂 上，以速度10 m/s及仰角 所示。試求(設g＝10 m/s2） 落到地面？ 為何？ 53o斜向拋出一石頭，如圖 所示。試求(設g＝10 m/s2） (1) 物體從拋出後多少時間 落到地面？ (2) 物體落地時的速度大小 為何？ (3) 水平射程為何？

例題2-6 地球在赤道面上的半徑為6378 公里，自轉一周的時間 (稱為 一個恆星日)，等於86164秒。 如右圖所示，在赤道上的物體 皆繞著地球自轉軸作等速率 圓周運動，則其角速度、速度 、和向心加速度各為何？