九年一貫課程數學學習領域 暫行綱要之演變 九年一貫七大領域的課程綱要，只剩下數學領域的綱要尚未公佈。

９０年１月：暫行綱要版 九年一貫國中、小編寫數學課本的依據。 除了國小六年級、國中三年級之外，都已經使用依據暫行綱要版編寫的課本。

９１年１０月３１日： 改編之未公告版 為了配合九年一貫課程綱要正式公布，針對９０年１月暫行綱要版做修改。

９２年４月３０日： 修訂草案初版 部份學者專家認為九年一貫數學課程造成學生數學能力低落，其中以演算能力降低的問題最為顯注，有鑑於此，９２年２月１５日， 教育部組成「數學領域綱要修訂小組」，期能於九十四年度自國小一年級及國中一年級開始同時逐年級實施。

國小一年級及國中一年級開始同時逐年實施，因此會導至連續六年的國中、小課程銜接問題，現在大家就應該開始思考如何面對這個問題。

數學符號或加減乘除運算是怎樣被發展出來的？ 為什麼要背九九乘法表？ 為什麼不要背99 ×99乘法表？

為什麼「５＋３＝８」? 5+3不等於8,難道答案是9嗎? 你看！這裡有5個蘋果,那裡有3個蘋果,合起來數數看,是不是有8個蘋果,5個蘋果和3個蘋果合起來共有8個蘋果,所以5+3=8 。

應該先引入 5+3=8， 然後再向學童說明其義意。 先有解決問題的活動， 再使用 5+3=8 紀錄解題活動。

一定要記成5+3=8嗎 ？ 5 ］→ 8 5，3☉→8 3 學童先發展出自己能掌握的記法，再連結文化傳統的記法。

與成人溝通國小數學的教與學是很辛苦的，因為成人對國小數學問題過份的熟悉，因而喪失了反省能力，無法思考為什麼可以這樣快速的算出答案。

幫助成人理解學童為什麼不會算數學，為什麼常使用笨的方法算數學，最好的方法是改變符號表徵，將問題改寫為成人不熟悉的符號情境，面對不熟悉的解題工具或情境，成人才能反省，學童在解題時可能發生那些困難，要如何幫助學童解決這些困難。

沒有位值概念的數詞序列 a,b,c,d,e,f,g,…. (數到z之後怎麼辦） 如果你想將問題簡單化，不理會位值概念，將注意力放在如何引入加減乘除這些算式，請使用上面這套數詞序列解題。當然,你也可以使用有位值概念的數詞序列解題。

ax, aa, ab, ac, ad, ae, af bx, ba, bb, bc, bd, be, bf ….. 有位值概念的數詞序列(七進位) a, b, c, d, e, f ax, aa, ab, ac, ad, ae, af bx, ba, bb, bc, bd, be, bf ….. axx,axa,axb,axc,axd,axe, axf, aax, aaa,aab, ….,fff,….

請區分下面幾個概念 解題活動 vs 記錄活動 解題過程記錄 vs 摘要記錄 解題記錄 vs 解題工具

請使用英文字母｛ㄟ，ㄅㄧ，ㄒㄧ，ㄉㄧ，....｝的讀法來替代印度－阿拉伯數字國語「ㄧ，ㄦˋ，ㄙㄢ，ㄙˋ，....」的讀法 請使用「ａ、ｂ、ｃ、ｄ..」的符號替代印度－阿拉伯數字 「１、２、３、４..」的記法。 選擇有或沒有位值概念的數詞序列

甲有ｆ個蘋果，乙有ｄ個蘋果， 兩個人合起來共有多少個蘋果？ 不會加法,能夠解決加法問題嗎? 算算看,答案是多少? 　j個蘋果 ac個蘋果

不會加法，也能夠解決加法問題，透過２次做數活動，１次點數活動，就能夠算出答案。 ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ａ ｂ ｃ ｄ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ｇｈ ｉ ｊ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ax aa ab ac

解題活動：解決問題，算出答案。 不會加法，也能夠解決加法問題，透過２次做數活動，１次點數活動，就能夠算出答案。 用加法「ｆ＋ｄ」能算出答案嗎？有那些能力才能用加法算出答案？

記錄活動：描述解題者怎樣算出答案，以便與他人溝通。 算出答案（共有ｊ個）以後，學童有記錄解題活動的需求嗎？ 為什麼成人要求學童使用算式 「ｆ＋ｄ＝ｊ」記錄解題活動？

解題過程記錄：強調能將解題的細部過程記錄下來，讓別人知道解題者是怎樣一步一步算出答案。 「○○○○○○ ○○○○ 共ｊ個」是解題過程記錄。

摘要記錄：看不到解題者的細步解題過程，但是強調記錄了題目是什麼，答案是什麼，如何使用一個特殊符號，將解題活動摘要地記錄下來。 「ｆ＋ｄ＝ｊ」是摘要記錄,強調將題目中的兩個數字直接運算,可以最快速的算出答案。

解題過程記錄和摘要記錄， 那種記錄較容易溝通解題活動？ 那種記錄學童可能自行發展？ 為什麼成人喜歡摘要記錄？ 為什麼要發明摘要記錄？

請區分解題活動與記錄活動！ 請區分解題過程記錄與摘要記錄！

除了透過兩次做數及一次點數活動外,能夠更快速的算出加法問題的答案嗎？ 提升原來解題策略的效率。 發展出另一套解題工具。

將兩次做數及一次點數活動省略成一次做數活動及一次點數活動。 透過手指頭掌控加數,可以再省略成一次點數活動。 a b c d ○ ○ ○ ○ f g h I j ax aa ab ac 將兩次做數及一次點數活動省略成一次做數活動及一次點數活動。 透過手指頭掌控加數,可以再省略成一次點數活動。

當學童尚未熟記英文字母加法時，只能利用點數當做工具解決問題，並在解題成功後，使用加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」摘要記錄解題活動，此時加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」只是單純的記錄，學童不是使用加法來解決問題。

當學童透過經常記錄，記憶了某些加法算式，當再遇到數量相同的加法問題時，就可以利用記憶中的加法算式替代點數來解決問題，此時，加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」的角色，開始由單純的記錄轉換為解題的工具。

如果學童利用加法算出答案，加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」具有雙重角色，是解題的工具，也是解題的記錄。 成人眼中的加法算式,是解題的工具,也是解題的紀錄。

甲每天吃ｃ個蘋果,ｅ天共吃幾個蘋果？ 請算出答案。 共o個蘋果 共ba個蘋果

用乘法 c x e 能算出答案嗎？ 　　　　　　　　　　　用加法「c＋c＋c＋c＋c」能算出答案嗎？　　　　　　　　　　　　用做數及點數，能算出答案嗎？ 何時才能使用加法或乘法當做工具來解決問題？ 人們為什麼要發明加法及乘法？

記錄活動：描述解題者怎樣算出答案，以便與他人溝通。 ○○○　○○○　○○○ ○○○ 　○○○，共有ｏ個蘋果。　 如果使用點數當做工具解題,圖像是過程記錄。　 　　　　

學童使用多個加法算式來紀錄 加法算式可能是單純的過程紀錄 加法算式可能又是解題的工具， 又是解題的記錄。 c + c =f f + c =i i + c =l l + c =o　 可以更快速的算出答案嗎？

可以提升加法的解題策略,例如發展出加法算則，讓加的速度變快。 可以製作 c 的加法表,透過查表解決問題。 可以發展出新的解題工具,例如透過乘法解決問題。

需要使用一個算式,摘要地將加法算式「c＋c＝f，f＋c＝ｉ，ｉ＋c＝l，ｌ＋c＝ｏ」記錄下來嗎？ 為什麼要用乘法算式 e ×ｃ＝ｏ 摘要的把加法算式記錄下來？ 如何幫學童用乘法算式 e ×ｃ＝ｏ 摘要的把加法算式記錄下來？

日常生活中經常遇到相同數字相加的情形，例如1枝鉛筆賣5元，7枝鉛筆賣多少錢？ 因此將單價及數量直接運算得到答案，能提升解決問題的效率。 1+2+3+4+….+100也很有趣，但是日常生活中並不常用到，因此放在國中引入。

這裡所指的摘要記錄，是由過程記錄中抽象出來的新記錄，而不是兩組記錄透過繁簡比較，其中比較摘要的那一組記錄。 剛開始，加法、乘法等算式是解題的摘要記錄，背起來，算式可以轉變成解題的工具，當數量變大，算式變多且不好背，人們發展出加法或乘法運算（算則）。

需要背「英文字母乘法表」嗎？　何時開始記，何時必須熟記？　　成人可以提供那些幫助？ 引入乘法算式(摘要記錄)以後，就應該幫助學童背乘法表。 有必要三天就熟記乘法表嗎？

分佈練習: 將要記憶或熟練的東西,分散在較長的時間來練習。 我們以前是怎樣背乘法表？ 需要強迫學童這樣背乘法表嗎？

如果你是課本的編寫者，你會假設學童已經會背乘法表嗎？ 你會安排一些幫助熟記乘法表的活動嗎？ 如果班上學生的先備經驗，和編者的假設不一致時，你如何處理？

3+3=6 3x2=6 6+3=9 3x3=9 9+3=12 3x4=12 12+3=15 3x5=15 15+3=18 3x6=18 18+3=21 3x7=21 21+3=24 3x8=24 24+3=27 3x9=27

3x9=27 3x7=21, 3x8=24, 3x9=27 3x7=21 是解題的工具,也是解題的紀錄。

3x2=6 3x3=9 3+3+3+3+3+3+3 3x4=12 =3×7=21 3x5=15 3x6=18 33x7=21 你喜歡那一種記法？為什麼？

3x8=( ) 3x12=( ) 9x4=( ) 13x4=( ) 47x60=2820 47x59=( ) 47x62=( )

如何引入數學符號或算式？　　 數學課程都分三階段引入數學符號或算式，但是，不同課程對三階段所投入的教學時間不儘相同。　

解題活動類型（簡易數學模型） 在國小階段，我們算了很多的加法問題，為什麼這些情境不同的問題，都可以使用加法運算來解決問題？ 這些使用加法解題的問題有那些共同特徵？

成人常提示，當題目中有關鍵字「共」的時候，就可以使用加法來解決問題。 成人為什麼要提示關鍵字？　　　提示關鍵字的目的是什麼？　　　 統計學的觀點 解題活動類型的觀點

有兩個已知個數的集合，這兩個集合沒有共同的元素，當要確定這兩個集合的個 數合起來是多少個時，就可以使用加法來替代點數解決問題。 加法問題有那些共同的特徵？ 有兩個已知個數的集合，這兩個集合沒有共同的元素，當要確定這兩個集合的個　數合起來是多少個時，就可以使用加法來替代點數解決問題。 數學上給加法的定義： Ａ∩Ｂ＝Φ，ｎ（Ａ）＝ａ，　　　　　ｎ（Ｂ）＝ｂ，ａ＋ｂ＝ｎ（Ａ∪Ｂ）。

第一階段： 引入數學符號或算式之前。 教學的重點是： 理解題意。 有成功解題的經驗。 逐漸形成解題活動類型。

第二階段： 引入數學符號或算式。 教學的重點是： 形成解題活動類型。 掌握算式（摘要記錄）或算式填充題（問題記錄）的意義。

第三階段： 引入數學符號或算式以後。 教學的重點是： 將算式轉變成解題的工具。 提升解題效率。 引入算則。

６４年課程，第一階段輕輕帶過，將多數教學時間放在第三階段。 ８２年課程，第一階段投入較多的時間，相對之下，第三階段投入時間比較少。 九年一貫課程，與８２年課程比較，減少第一階段的時間，增加第三階段的時間。

一枝鉛筆賣３元，４枝鉛筆共賣多少元？ 解題過程記錄（第一階段） 3＋3＝6，6＋3＝9，9＋9＝12 摘要記錄（第二階段） 3 ×4＝12 (不是解題工具） 3 ×4＝12（第三階段） 乘法算式是解題工具，也是解題記錄。

一瓶水２４公升，3/4 瓶水有多少公升？ 題意是整數乘以分數的問題，不會整數乘以分數也能夠解決問題。 只要瞭解3/4瓶的意義，就可以使用整數的乘除法當做工具解決問題，並用算式「２４÷４＝６， ６×３＝１８」記錄解題活動 （第一階段）。

需要引入整數乘以分數的摘要記錄 「２４×3/4＝１８」嗎？ 這類問題不是經常出現，只要能夠成功解題即可，不需要將「整數乘以分數」發展成解題的工具。 如果這類問題經常出現，才需要引入摘要記錄「２４×3/4＝１８ 」（第二階段）

引入摘要記錄 24×3/4＝18 以後,　可以透過經常使用或約分及擴分策略，將記錄轉換成有效率的解題工具（第三階段）。 將問題中的兩個數字直接運算，是最有效率的解題策略。

１百萬元存在銀行，年利率5％，１０年後本利和（複利）多少元？ 會乘法就能夠解決問題。 可以透過「100萬 x 1.1 x 1.1…. 算出答案（第一階段）。

需要發展出更有效率的解題工具　 或較簡單的記法嗎？ 需要引入指數的記法嗎？ 1.1×1.1×1.1 x….1.1 ＝1.1（十次方） 需要提升解題策略或發展出新的解題工具嗎?

對客戶而言，很久才算一次本利和，沒有發展指數記法的需求,也沒有將指數發展成解題工具的需求。 對銀行行員而言，面對不同的利率、存款年數，以及大量的客戶，自然會發展出指數的記法，以及編寫出指數表協助解決問題。

指數問題容易背誦嗎？　　　　　指數問題容易運算嗎？　　　　　日常生活中經常使用指數嗎？ 因為指數不易記憶,也不好運算,　因此編寫指數表方便查閱。

64年課程, 82年課程, 九年一貫課程, 94年要實施的課程的探討與展望: 與國小數學課程編排有關的問題：

引入加、減、乘、除等運算時， 應該「只學習唯一算則」？　 或「先接受學童法，等待認知發展成熟後才引入算則」？ 學童法：學童自己發展出來的解題策略。 算則：某年代、某地區，大多數人所使用最有效率的解題策略。

當計算器具使用不方便且不普遍時 將學童訓練成會走路的計算機, 算的又快,又準,又狠。 當計算器具使用方便且普遍時 遇到大數字時使用計算器具,但是當沒有計算器具時,也能夠慢慢的算出答案。

算則引入的方式 學童能掌握計算流程的意義,並能類推到大數字的計算,但是無法說清楚為什麼可以這樣算出答案。 學童能理解計算的意義,清楚的說出為什麼可以這樣算出答案,並能類推到大數字的計算。

學童至少能掌握一種計算的方法(學童法),至於算則,能掌握計算流程的意義,並能類推到大數字的計算就可以了。 應該提供學童理解算則的機會, 如果無法理解,也不必強求。

引入記錄格式時，應該「直接要求成人使用最精簡的紀錄格式」？ 　或「先要求較詳細的紀錄，等待學童掌握細部解題活動後，才接受較摘要的紀錄」 ？

1 38 38 467 467 +25 +25 x 3 x 3 63 13 1401 21 + 5 18 63 + 12 1401 47x69=( )

引入數學概念或工具時，應該 「直接定義數學符號或直接引入公式，再說明其意義」？ 或「先有相關的解題活動後，再引入數學符號，或幫助學童自己發現公式」？

「建立數學概念與工具」，「應用數學概念或工具解決問題」都很重要，國小數學課程教學時數有限，時數的比例應如何分配？

「數學學習態度」與「數學學習成就」都很重要，國小數學課程如何幫助學童建立「數學學習態度」？可以提供多少比例的時間？

剛開始要解決一個新數學問題時,我常不知道怎麼辦 因為 甲生:還沒教過（是） 乙生：我美題都會（不是） 先選（是）（不是）（不確定）

我喜歡數學　　　　　　　　　　　　　　因為 甲生:數學在日常生活中可以用到（是） 乙生：數學很簡單（是）

我喜歡困難的數學問題　　　　　因為 甲生:可以挑戰比較困難的題目（是） 乙生：困難的數學提我不會算　（不是） 　　　　　　　　　　

問題真的很困難,我就放棄　　　　因為 甲生:越逃避就越困難（不是） 乙生：困難的題目我會的就不會放　　　　棄（不確定）　　　　　　　　　　　　

數學在生活中是有用的　　　　　因為 甲生:例如買東西時是用的到的（是） 乙生：要算＋-×÷比較方便（是）

我比較喜歡自己做數學　　　　（比較不喜歡和同學一起做）　　因為 甲生:比較安靜（是） 乙生：我喜歡自己一個人做　　（不是）

我以前比較喜歡數學　　　　　（現在比較不喜歡）　　　　　　因為 甲生:以前的題目比較簡單（是） 乙生：我喜歡數學（不是）

我比較喜歡每一次作業都是同一種類型,不喜歡很多種類型混雜在一起　　　　　　　　　　　　　　因為 甲生:很可能會搞混（是） 乙生：我喜歡各種算式（不是）

我的數學表現良好　　　　　　　因為 甲生:有些題目比較難（不確定） 乙生：老師出的數學題我每題都寫（不確定）

國小階段有需要引入計算機嗎？何時引入較恰當？ 學童不理解算則的意義，但是能模仿成人依序算出答案，和按計算器解題有何不同？

與數學教學態度或學習態度有關的問題。

你瞭解學童數與計算概念、幾何概念、代數概念、統計概念等的認知發展嗎？ 就數與計算教材為例，你只熟悉部份的教材（例如三、四年級），還是熟悉一系列的教材（例如一至九年級）？

會算國小數學問題，就一定能勝任國小數學的教學嗎？ 為什麼經過教師與家長六年（或九年）努力教學後，一半以上的學童放棄數學？ 你幫助學童學習數學的方式，是害了他，或是對他有幫助？

數學一定要教過才會嗎？ 如果數學一定要家長或老師教過才會，有多少比例的學生會青出於藍？如果多數學生無法青出於藍而勝於藍，臺灣學生的數學能力，會一代比一代強嗎？ 如果學生只是用力地模仿成人的解題活動，而無法掌握數學的意義，數學成績好的學生是數學能力強？還是體察上意（老師、家長）的能力強？

國際性的數學比賽，臺灣的學生常名列前茅，除了數學競賽以外，臺灣學生是年齡愈大，成積愈好，還是年齡愈大，成積愈差？

臺灣的學生，是數學成績很好，還是數學能力很好？是很會考試（做過的難題才會），還是數學概念很清楚（沒看過的題型也會）？ 數學成績很好，但是數學能力不好、數學概念不清楚，這種事情怎麼可能會發生？

國小階段，「數學成就很好，但是數學學習態度有偏差」，與「數學成就普通，但是養成良好的數學學習態度」，那一種學童以後的數學成就會比較好？

當你詢問學童問題時，你提供多少等待回答的時間，如果我們經常常要求學童３、５秒就要回答問題，又罵學童不會思考，合理嗎？

成人較能掌握國小數學，常涉入教學，並提供一些有效率，但學童不瞭解的解題怪招（只知其然，而不知其所以然的公式或口訣）；熟記這些，學童可能會得到數學成績，但是，是否同時得到放棄數學的種子（小贏而大輸）？

以前學過的數學，你還記得多少？給你足夠的時間思考，你能回想起多少？ 九年一貫課程強調終身學習，就數學而言，你會終身學習嗎？ 求學階段，多數人花在數學學習上的時間最多，為什麼討厭數學的人也最多？