第二篇　光学 第十五章　光的衍射

第十三章 光的衍射 内容结构 首先介绍将衍射问题转化为干涉问题的惠更斯—菲涅尔原 理与菲涅尔半波带方法； 第十三章　光的衍射 内容结构 首先介绍将衍射问题转化为干涉问题的惠更斯—菲涅尔原 　理与菲涅尔半波带方法； 然后讲解用半波带方法确定衍射条纹出现的位置条件，用 　波的叠加原理确定衍射条纹的光强度计算公式； 最后讨论常见的衍射光栅及其基本原理。 本章的基本问题 　衍射条纹出现的位置条件 　衍射条纹的光强计算公式

§13-1 光的衍射现象 惠更斯－菲涅耳原理 一 有关光的衍射现象的基本概念 1.光的衍射现象 §13-1 光的衍射现象　惠更斯－菲涅耳原理 一　有关光的衍射现象的基本概念 1.光的衍射现象 光在传播过程中遇到障碍物时，将偏离直线方向传播，并产生 光强的重新分布的现象，称为光的衍射现象 2.光衍射现象的分类 菲涅耳衍射：障碍物距光源或观察屏为有限远时的衍射现象 　称为菲涅耳衍射。 夫琅和费衍射：障碍物距光源或观察屏为无限远时的衍射现 　象称为夫琅和费衍射。

二　衍射理论——惠更斯－菲涅耳原理 1.惠更斯－菲涅耳原理 　媒质中波传播到的各点都可以看作为发射子波的波源， 　其后任一时刻的波阵面由各子波的包迹决定 　波阵面上各点发出的子波在空间相遇时会产生干涉

§12-2 单缝夫琅和费衍射 一　单缝夫琅和费衍射的实验装置图

二　单缝夫琅和费衍射成象的特点 (1).相同衍射角的衍射光线在焦平面上汇聚为一点(一条线) (2).光程差决定明(暗)条纹位置 (3).衍射条纹由子波发出的有相同衍射角的光线叠加结果决定 三　单缝夫琅和费衍射条纹位置的计算 1.菲涅耳半波带方法 　相邻两半波带在 　P点有近似相等的 　振幅(光强) 　相位差相差

2. 明暗条纹的位置 暗条纹 明条纹 m=0的明条纹称为中央明条纹 3.光的强度分布 当条纹级别(m值)增大， 　光强减小 绝大部分光的能量都集 　中于0级明条纹中

4.条纹宽度 角宽度：条纹对透镜L2光心所张的角度，称为角宽度。 　　明条纹的角宽度等于相邻两暗条纹中心间距离对L2光心 所张的角度，暗条纹的角宽度等于相邻明条纹中心间距离对 L2光心所张的角宽度。 中央亮条纹宽度：两个第一级暗条纹中心间的距离对L2光心 　　所张的角度 由 中央亮纹的角位置满足

考虑到一般情况中衍射角度很小 于是 半角宽度为 设透镜的焦距为f，则中央亮条纹的线宽度为 中央亮条纹的宽度为其 他亮条纹宽度的两倍 讨论 1.缝宽对衍射条纹的影响

　　当a增大时，中央明条纹的线宽度减小，表明第一级暗条 纹(因而各级条纹)在向中央收缩，衍射现象变得不明显。当 a>>时，各级条纹收缩到中央明条纹中，衍射现象变得无法 分辨，此时，光线通过缝的传播体现为直线传播 2.波长对衍射现象的影响 　　当缝宽保持不变时，中央明条纹的宽度因波长的不同而 不同，用白光作衍射实验时，将出现彩色衍射条纹。 3.k级条纹的线宽度 　　k级明(暗)条纹的角宽度，应等于m+1级暗(明)条纹中心 与m-1级暗(明)条纹中心之间的距离对透镜光心所张的角度 考虑到一般情况中衍射角度很小

角宽度为 线宽度为 例：已知　　　　Å，a=0.1mm，f=40cm 求：(1).中央明条纹的线宽度 　　(2).第一级明条纹中心的位置 解：(1).由 可得 (2).第一级明条纹出现的条件为 同时

因此 例：入射光为可见光，a=0.6mm，f=40cm，屏上距离中心 　O点x=1.4mm处P点恰为一明条纹 求：(1).该入射光波的波长 　(2).P点条纹的级次 　(3).从P点看，对该光波而言，狭缝处被分为多少个半波带 解：由单缝衍射的明条纹公式 由于a<<f，很小 于是

§12-3 光栅衍射 在可见光范围内，当m=3 时， Å 此时，单缝处被 分为7个半波带 当 m=4时， Å 此时，单缝处被分为9个半波带 §12-3 光栅衍射 一　光栅的相关概念 光栅：大量等宽的平行狭缝等距离地排列而形成的光学器件 光栅常数：一个透光缝宽度a与一个相邻的不透光宽度b之和 　　d=a+b，称为光栅常数。 光栅的种类 透射光栅：利用透射光衍射的光栅，称为透射光栅。 反射光栅：利用反射光衍射的光栅，称为反射光栅。

二　光栅衍射成象特点 光栅衍射成象是单缝衍射和多缝干涉合成的结果 各缝相同衍射角的光线在成象屏上汇聚于同一点 三　光栅衍射理论——衍射光谱的光强及光谱位置 1.衍射光谱的光强计算 计算光栅衍射光谱强度的方法：认为光栅衍射光谱的强度 由相距为d的多条狭缝光线的干涉与每一条宽度为a的狭缝 的光线在空间某点的衍射光的强度叠加的结果。 (1).N条相距为d的狭缝光线的干涉 显然地，这N条光线是同振幅、同频率、相位依次相差的 相干光。它们在P点的合成的合振幅为

式中Ai为每一缝在P点的振幅，为相邻两束光在P点的相位差 而 令 于是 N条缝的光线在P点的合振动的光强为 (2).单缝光线在P点衍射光的强度

其中，I0是每一条缝单独在屏中心(=0)时的光强 (3).光栅衍射光强计算公式 式中 称为单缝衍射因子 称为多光束干涉因子 2.衍射光线的空间位置计算

衍射光线明暗条纹的位置仍由N条狭缝光线的干涉与每一条缝 的衍射两个因素决定 (1).干涉因子对谱线位置的影响 因 讨论：A.由干涉因子决定的主极大位置 当 或 由罗必塔法则 ，有 且 B.由干涉因子决定的光强极小值位置(暗纹位置)

当 同时 时；或当　 且 时，有 　　即此时，P点光谱的光强取得极小值，对应谱线为暗条 纹。N愈大，相同衍射角区域出现暗条纹数目愈多，条纹愈细 　　由取得暗线的条件可知，在两条主极大谱线间，有N-1条 暗谱线。 C.次极大谱线 当 时，有

　　即谱线光强介于主极大和极小值之间。由数学中的洛 尔定理并考虑取得极小值谱线的条件，显然，在两条暗谱 线之间，应当有一条谱线的光强取得极大值，但这条谱线 光强不是主极大谱线的位置称 之为次极大谱线。 　　两条暗线之间有一条次极大谱线，两条主极大谱线之 间有N-2条次极大谱线。 (2).衍射因子对谱线位置的影响 由单缝衍射光强公式 讨论 A.衍射因子对谱线的调制作用

　　屏上任意一点光谱的光强值，不仅由干涉因子决定， 同时受衍射因子的作用。衍射因子的作用体现为对干涉因 子光强的缩小倍数的作用，常常称之为调制作用。 B.衍射因子调制引起的缺级现象 　　当干涉因子取得主极大，同时衍射因子为0时，屏幕P点 谱线的光强为0，并不出现主极大对应的亮线，此时，该主极 大谱线不出现，称之为缺级现象 缺级条件：由主极大条件 衍射因子为0条件

两式相除，得到缺级条件 式中，m为主极大谱线的级次。m’为单缝衍射暗条纹的级 次。缺级情况由a,d决定 小结 1.当满足条件 干涉因子决定了光栅的主极大 谱线位置 主极大光栅谱线的光强为

2.当满足条件 干涉因子决定了光栅的极小谱线位置 极小光栅谱线的光强为 在两条主极大谱线间，有N-1条暗谱线 3.当满足条件 干涉因子决定了光栅的次极大谱线位置，两条暗线之 间有一条次极大谱线，两条主极大谱线之间有N-2条次 极大谱线 4.当满足条件 会出现缺级现象

5.光栅衍射光谱特点：在黑暗背景上出现明亮细窄亮条纹； 　N愈大，谱线愈细愈亮；谱线明暗程度受衍射因子的调制 例：已知　　　　Å，先后垂直入射到 　(1).500条/厘米的光栅 　(2).10000条/厘米的光栅上。 求：分别经过每一光栅后第一级与第二级明条纹的衍射角 解：设第一级、第二级明条纹的衍射角分别为1、2，由光 栅方程： 　　　　　　有： (1).对500条/厘米的光栅

(2).对10000条/厘米的光栅 (不存在) 光栅单位长度中缝数愈少，条纹角间距愈小，愈不容易分辨 例：已知　　　　Å，垂直入射一光栅上，测得第二级主极大 　的衍射角为300，且第三级是缺级 求：(1).光栅常数 　　(2).a的最小宽度 　　(3).a,d确定后，屏幕上可能呈现的全部主极大的级次 解：(1). 由光栅方程 可得

(2)由缺级条件 可得 可得最小a值为 (3). 由光栅方程 可得 当 时， 即，如果不出现缺级情况，屏幕上将出现 这样7条主极大条纹。

即这些主极大条纹缺级，实际出现主极大条纹有 由缺级条件 可得 四　光栅光谱 光栅光谱：不同波长的光线经光栅衍射后按波长由短到长依次 　　由中央谱线向外排开而形成不同颜色的谱线 光栅光谱仪：用来观察光栅光谱的仪器称为光栅光谱仪 五　光栅的分辨本领 1.光栅衍射中光线能够分辨的瑞利判据 波长为的谱线，如果与它的m级主极大最临近的光强极小位 置刚好与波长为　　　　谱线的第m级主极大中心位置重 合，则称这两条谱线是可分辨的。

2. 光栅分辨本领R的定义 3.光栅分辨本领的计算 A.波长为的谱线对应的 　暗纹位置 由 可得 B.波长为　　　 谱线第m 　级主极大中心位置

由 　　　　　　　可得 　 联立解上述两个方程有 讨论：光栅的分辨本领与谱线的级次、光栅总缝数有关 例：钠黄光的　　　　Å，钠双线波长差＝6Å，用每毫米 　500条的光栅观察该线。 问：(1).光线以300角倾斜入射光栅时，谱线的最高级次是多 　　　少？并与垂直入射情况相比较 (2).如在第三级次恰能分辨出钠双线，光栅缝数必须为多少？

解：倾斜入射与垂直入射主要有两个区别，一是光程差不同， 　一是光的强度不同。本题不涉及计算光的强度，因而只需考 　虑光程差的区别 (1).相邻缝同一衍射角光线的光程差为 用它代替光栅方程中的相应光程差得到倾斜入射的光栅方程 可能出现的最高级次的条件为 于是 可能出现的最高级次为mmax=5

讨论：A.垂直入射时，由光栅方程 以及出现最高级次的条件 mmax<3.4 ，因此，mmax=3 可见，倾斜入射可以看到更高级次的谱线 B.如果取虚线所示衍射光线，则光栅方程成为 出现最高级次谱线的条件为 (2).由分辨本领计算公式

§12-4 光学成像仪器的分辨率 可得：N=327条，因此，光栅缝数至少为327条 一 圆孔衍射的艾里斑半角宽度 §12-4 光学成像仪器的分辨率 一　圆孔衍射的艾里斑半角宽度 圆孔衍射形成的中央亮斑称为艾里斑 艾里斑的半角宽度经计算为 式中D为小孔的直径 二　光学成像仪的分辨率 1.光学成像仪成像能够分辨的 　瑞利判据

　　对远处两个强度相等且不相干的点光源，若其中一个 点光源的衍射图象的中央极大刚好与另一点光源衍射图象 的第一极小相重合，则这两个点光源刚好能被分辨。 显然，非相干光源能够被分辨的条件用角宽度可以表述为 2.光学成像仪的分辨率 定义：光学成像仪的分辨率为

例：正常人瞳孔直径为2.5mm，鹰的瞳孔直径为6.2mm， 　　　　　　Å 求：人与鹰同在距地面h=3000m高度能分辨地面上物体的 　　最小距离是多少？ 解：由 于是，对人 Lmin=0.81m 　　　对鹰　　Lmin=0.33m