第9章 数学形态学及其应用 内容提要: 9.1 概述 9.2 二值形态学 9.1.1 数学形态学的发展简史及基本思想 第9章 数学形态学及其应用 内容提要: 9.1 概述 9.1.1 数学形态学的发展简史及基本思想 9.1.2 几个基本概念 9.2 二值形态学 9.2.1 二值腐蚀 9.2.2 二值膨胀 9.2.3 二值开运算 9.2.4 二值闭运算

9.3 灰值形态学 9.4 彩色形态学（选学） 9.3.1~9.3.4 灰度腐蚀、膨胀、开运算、闭运算 9.3.5 灰值形态学梯度 9.3 灰值形态学 9.3.1~9.3.4 灰度腐蚀、膨胀、开运算、闭运算 9.3.5 灰值形态学梯度 9.3.6 高帽变换和低帽变换 9.3.7 开－闭运算和闭－开运算 9.4 彩色形态学（选学） 9.4.1 彩色形态学的基本方法 9.4.2 基于数学形态学的彩色图像滤波

9.1 概述 9.1.1 数学形态学的发展简史及基本思想 可回溯到19世纪Euler、20世纪Minkowski等人的研究。 9.1 概述 9.1.1 数学形态学的发展简史及基本思想 可回溯到19世纪Euler、20世纪Minkowski等人的研究。 1964年法国的Matheron和Serra在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。 1968年在巴黎矿业学院创建了数学形态学研究中心。 Matheron于1975年出版的《Random Sets and Integral Geometry》一书论述了随机集合论、积分几何论和拓扑逻辑论，为数学形态学奠定了坚实的理论基础。

1982年Serra的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的重要里程碑。 1985年以后，一些相关领域的国际会议开始把数学形态学列为学术讨论专题，或专门举行研讨会。 1990年起，SPIE每年举办一次“Image Algebra and Morphological Image Processing”会议。 1986年《计算机视觉与图形图像处理杂志》(GVGIP)出版了数学形态学专刊 1989年和1994年《 Journal of Signal Processing》出版了形态学在信号处理中的应用研究专辑。

数学形态学是研究空间结构的形状、框架的学科 以积分几何、集合代数及拓扑论为理论基础，此外还涉及随机集论、近世代数和图论等一系列数学分支。 数学形态学的理论虽然很复杂，被称为“惊人的数学”，但它的基本思想却是简单而完美的。 数学形态学的基于集合的观点是极其重要的。

数学形态学的基于集合的观点 （1）运算由集合运算（如并、交、补等）来定义； （2）所有的图像都必须以合理的方式转换为集合。 形态学算子的性能主要以几何方式进行刻画，更适合视觉信息的处理和分析。 基本思想： 利用结构元素作为“探针”在图像中不断移动，在此过程中收集图像的信息、分析图像各部分间的相互关系，从而了解图像的结构特征。

图9.1 数学形态学的方法

结构元素的选择十分重要 根据探测研究图像的不同结构特点，结构元素可携带形态、大小、灰度、色度等信息。 不同点的集合形成具有不同性质的结构元素。由于不同的结构元素可以用来检测图像不同侧面的特征，因此设计符合人的视觉特性的结构元素是分析图像的重要步骤。 最基本的形态学运算有：膨胀,腐蚀，开，闭。 用这些算子及其组合来进行图像形状和结构的分析及处理，可以解决 抑制噪声、特征提取、边缘检测、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建等方面的问题。

数学形态学进行图像处理有其独有的特性： （1）反映的是一幅图像中像素点间的逻辑关系，而不是简单的数值关系。 （2）是一种非线性的图像处理方法，并且具有不可逆性。 （3）可以并行实现。 （4）可以用来描述和定义图像的各种集合参数和特征。

9.1.2 几个基本概念 1.击中与击不中 设有两幅图像A和B，如果A∩B≠Ф（空集），那么称B击中（hit）A，记为B↑A，；否则，如果A∩B=Ф，称B击不中（miss）A。 2.平移和反射 设A是一幅数字图像，a是A的元素；b是一个点，那么定义A被b平移后的结果为 A＋b＝{a＋b| a∈A} （9.1） 即整个图像沿着向量b的方向平行移动。 一幅数字图像A关于原点的反射定义为 AV＝{a| -a∈A} （9.2）

3. 结构元素 结构元素与被处理的目标图像中抽取何种信息密切相关。 在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计一种“结构元素”。在图像中不断移动结构元素，就可以考察图像之间各部分的关系。 根据不同的图像分析目的，常用的结构元素有方形、扁平形、圆形等。 在多尺度形态学分析中，结构元素的大小可以变化，但结构元素的尺寸一般地要明显小于目标图像的尺寸。

9.2 二值形态学 二值图像是数字图像的重要子集，指灰度值只取两种值的图像。 二值形态学处理算法都是以膨胀,腐蚀这两种最基本的运算为基础的。 9.2 二值形态学 二值图像是数字图像的重要子集，指灰度值只取两种值的图像。 两个灰度值可取为0（相应的点构成背景）和1（相应的点构成景物）。 二值形态学处理算法都是以膨胀,腐蚀这两种最基本的运算为基础的。 一般设集合A为图像集合，集合B为结构元素，数学形态学运算是用B对A进行操作。

集合A（输入图像）被集合B（结构元素）腐蚀: A B (9.3) 9.2.1 二值腐蚀 集合A（输入图像）被集合B（结构元素）腐蚀: A B (9.3) 图9.2 腐蚀示意图

9.2.2 二值膨胀 腐蚀运算的对偶运算，通过对补集的腐蚀来定义。 以AC表示集合A的补集， 表示B关于坐标原点的反射。 9.2.2 二值膨胀 腐蚀运算的对偶运算，通过对补集的腐蚀来定义。 以AC表示集合A的补集， 表示B关于坐标原点的反射。 集合A被集合B膨胀表示为：

图9.3 膨胀示意图

腐蚀和膨胀操作的直观解释 腐蚀是对图像内部作滤波处理，而膨胀是利用结构元素对图像补集进行填充，因而它是对图像外部作滤波处理。 腐蚀具有收缩图像的作用，膨胀具有扩大图像的作用。

9.2.3 二值开运算 两种二次运算起着非常重要的作用 从结构元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何形式。 开运算 9.2.3 二值开运算 两种二次运算起着非常重要的作用 开运算 闭运算（开运算的对偶运算） 。 从结构元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何形式。

开运算的定义 假设A仍为输入图像，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号A○B表示，其定义为： 或 可以通过计算所有可以填入图像内部的结构元素平移的并集求得。 当结构元素B扫过整个图像集合内部，A○B就是使结构元素B的任何像素不越出图像A边界的图像A像素点的集合。

图9.4 利用圆盘作开运算

9.2.4 二值闭运算 闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀后作腐蚀。 或 开、闭运算也互为对偶运算 开运算具有磨光图像外边界的作用 9.2.4 二值闭运算 闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀后作腐蚀。 或 开、闭运算也互为对偶运算 开运算具有磨光图像外边界的作用 闭运算具有磨光图像内边界的作用

图9.5 利用圆盘作闭运算

9.3 灰值形态学 在灰度图像形态处理中，输入和输出的图像都是灰度级形式的 输入和输出像素值是在最低灰度值到最高灰度值之间。

9.3.1 灰值腐蚀 形态学源于填充的概念 二值形态学中，集合的交、并运算起到关键作用 可利用填充、极大/极小概念直接定义灰值运算。 灰值形态学处理的对象是图像信号波形的拓扑特性，结构元素也是一个信号。 二值形态学中，集合的交、并运算起到关键作用 在灰值形态学中这两种运算对应与极大和极小运算。 可利用填充、极大/极小概念直接定义灰值运算。

用结构元素g对输入图像f (x, y)进行灰值腐蚀记为 用一维函数对其进行简化，定义为 由于结构元素必须在信号的下方，故空间平移结构元素的定义域必为信号定义域的子集，否则腐蚀在该点没有定义。 结构元素从信号的下面对信号产生滤波作用，这与结构元素从内部对二值图像滤波的情况是相似的。

图9.6 灰值腐蚀运算

9.3.2 灰值膨胀 灰值膨胀可用灰值腐蚀的对偶运算来定义。 采用求极大值的方法，即在位于信号下方的条件下，求上推结构所能达到的最大值。 9.3.2 灰值膨胀 灰值膨胀可用灰值腐蚀的对偶运算来定义。 采用求极大值的方法，即在位于信号下方的条件下，求上推结构所能达到的最大值。 利用结构元素的反射，求将信号限制在结构元素的定义域内时，上推结构元素使其超过信号时的最小值来定义。

用结构元素g对输入图像f(x, y)进行灰值膨胀 (f⊕g)(s, t)=max{f(s-x, t-y)+g(x, y)|s-x, t-y ∈Df, x+y∈Dg} 用一维函数对其进行简化，定义为 (f⊕g)(s)=max{f(s-x)+g(x)| s-x ∈Df, x∈Dg} 步骤： 对结构元素g的定义域Dg 中的每一个点x将信号f平移x，然后，再对每次平移信号的值加上g(x)，这样对于结构元素定义域中的每个点都得到一个信号，对所有这些信号逐点取其最大值，便可得到膨胀结果。

图9.7 灰值膨胀运算 (a)灰值膨胀过程 (b)灰值膨胀结果

9.3.3 灰值开运算 灰值开和灰值闭运算是腐蚀和膨胀的组合运算。 这两种运算也为对偶运算，并且都可用填充概念来说明。 9.3.3 灰值开运算 灰值开和灰值闭运算是腐蚀和膨胀的组合运算。 先作腐蚀再作膨胀的迭代运算： 这两种运算也为对偶运算，并且都可用填充概念来说明。

图9.8 灰值开运算

9.3.4 灰值闭运算 根据对偶性定义，灰值闭运算定义为： f●g = (f⊕g)g (9.14) 灰值闭运算具有扩展性 9.3.4 灰值闭运算 根据对偶性定义，灰值闭运算定义为： f●g = (f⊕g)g (9.14) 灰值闭运算具有扩展性 滤波结果总位于原始图像的上方。它从图像的上方磨光图像灰值表面向下突出的尖峰（即波谷）。

图9.9 灰值闭运算

图9.10 细胞组织图像的灰值形态运算

9.3.5 灰值形态学梯度 利用扁平结构元素g对f作腐蚀和膨胀可得到f的局部极大和极小值，与数字差分定义的梯度相应。 形态学梯度的定义为： 9.3.5 灰值形态学梯度 利用扁平结构元素g对f作腐蚀和膨胀可得到f的局部极大和极小值，与数字差分定义的梯度相应。 形态学梯度的定义为： 为了更好地获得边缘检测的效果，可以将形态学梯度与阈值结合起来使用。

图9.11 核磁共振图像的形态学梯度

9.3.6 高帽变换和低帽变换 通过这两种变换可以得到灰度图像中一些重要的标记点。 为了使上述效果更明显，对变换后的图像也可以作阈值处理。 9.3.6 高帽变换和低帽变换 通过这两种变换可以得到灰度图像中一些重要的标记点。 在较亮的背景中求暗的像素点或在较暗的背景中求亮的像素点；检测受到噪声污染图像中的边缘等。 为了使上述效果更明显，对变换后的图像也可以作阈值处理。

高帽变换 从一幅原始图像 f 中减去对其作开运算后得到图像WHT(f)，其定义为： WHT(f) = f — (f○g) (9.16) 高帽变换是一种波峰检测器 它在较暗的背景中求亮的像素点很有效。

低帽变换 与高帽变换相对偶的算子，定义为： BHT(f) = (f●g) —f (9.17) 低帽变换是一种波谷检测器 适合于在较亮的背景中求暗的像素点。

图9.12 利用Top-Hat和Bot-hat变换检测图像峰值和谷值

9.3.7 开－闭运算和闭－开运算 形态开、闭运算作为最基本的形态滤波运算。 9.3.7 开－闭运算和闭－开运算 形态开、闭运算作为最基本的形态滤波运算。 在实际的图像处理中，仅仅采用形态开和闭的滤波效果往往不能令人满意。 在基本的形态开、闭运算的基础上设计出形态开－闭和形态闭－开组合滤波器，发挥其更好的滤波性能。

开－闭运算和闭－开运算互为对偶操作 形态开闭－运算能够滤除图像中形状小于结构元素的亮噪声。 形态闭－开运算可以滤除图像中形状小于结构元素的暗噪声。 开－闭运算： f□g= f○g●g (9.18) 闭－开运算： f■g = f●g○g (9.19)