第三章 晶格振动 主要目的： 搞清材料热性能有关的物理概念，学习分析问题的方法。 对象： 晶体大量原子的热振动及在晶体中的传播（格波）等。

方法： 易 难 一维 三维（推广） 经典 量子（修正） 间断 连续 间断（依原子间距和波长的比较而定） 易 难 一维 三维（推广） 经典 量子（修正） 间断 连续 间断（依原子间距和波长的比较而定） 利用已熟知的连续波波动方程及其解的结论

§3 .1 一维单原子晶格的振动 一、物理模型 （参见FD课件）

二．选坐标系 三．分析受力 选第0个原子的平衡位置为坐标原点，第n个原子平衡时为 X0n＝na,它的位移记为Un， Un：第n个原子的绝对位移 向右为正，向左为负 δ ＝ Un＋1－ Un 原子间的相对位移 三．分析受力 近似： 近邻作用近似：仅考虑最近邻原子间的相互作用； 简谐近似：

当温度不太高时，原子间的相对位移δ较小，互作用势能在平衡点a处泰勒展开式中可只取到二阶项。 记a+δ=R ,则： (3-1) （类似于 E＝－▽W 为单位正电荷的受力） 二原子间的互作用力为

在平衡位置a处，势能为极小值，其一阶导数为0, 其二阶导数大于零(并以β表示)，β> 0 。 (3-2) 即在近邻近似和简谐近似条件下，原子间的相互作用力与相对位移成正比，满足胡克定律。 这时原子间的相互作用力称为弹性力或简谐力，β称为弹性系数，或恢复力系数。

四．列方程 此时可以把一维单原子链等效为用弹性系数为β的弹簧把质量为m的小球连结起来的长链。 在近邻近似条件下，第n个原子分别受到第（n-1）个原子及第（n+1）个原子的作用力， 设二力系数β相同，则可表示为 fn-1= －β（Un - Un-1） fn+1= －β（ Un - Un+1）

解释：由于坐标轴向右为正方向，f, Un 均向右为正。 考虑到方向性，以上二式均 Un在前。 由牛顿定律，第n个原子的运动方程为 (3-4)

即第n个原子的加速度不仅与Un有关，且与 Un-1,Un+1有关，这意味着原子运动之间的耦合,由于对每一个原子都有一个类似的方程，n共可取N个值，故该式为N个方程的方程组，可有N个解，而此时晶体的总自由度也为N。

五．解方程 na x a Δx Δx 为小量 Un(t)=U(na,t) U(x,t) Un+1(t)=U(na+a,t) U(x+Δx,t) 25

把这些关系式代入式（3－4），得 令 v02= a2β/m, 则上式成为 (3-6) 这是熟知的波动方程，v0 是波速度。

有特解：U(x,t)＝Aei( q x－ω t ) (3-7) 从物理上讲，“连续”―― ――波长λ>>原子间距; 如果 λ～a，――――不连续。 必须直接求解方程（3－4）。 设试探解：Un(t)=Aei( q n a －ω t ) (3-8) 对应于连续情况下的解式（3－7），这里仅以na代替X，这也是一个简谐行波，称它为一个格波。 一个格波是晶体中全体原子都参与的一种简单的集体运动形式。

六．定解条件―――玻恩－卡曼 （Born-Karman）周期性边界条件 目标：求出q=? 因： 晶体的固有热学性质（例如：热容量）应由晶体的大多数原子的状态所决定； 边界上的原子数要比内部原子数少很多； 近邻近似。 这样，就可以以方便为原则来选择边界条件，而基本上不影响晶体的固有性质。

玻恩－卡曼设计了一种特殊的边界条件：假设在有限晶体之外有无限多个和这个有限晶体完全相同的假象晶体，它们和实际晶体彼此毫无缝隙地衔接在一起，组成一个无限的晶体。这样就保证了 有限晶体的平移对称性。 这实际上是一个循环条件，下图给出了它的一维示意图。把有限晶体首尾相接，从而就保证了从晶体内任一点出发平移Na后必将返回原处，实际上也就避开了表面的特殊性。

…… · · · · · …… 0 N 2N 3N   可等效视为： （N，0）, （N+1，1）…… • •

eiq N a=1 （3－10） 于是一维晶格振动的边界条件就可写成 Un＝Un+N （3－9） 把式（3－9）代入式（3－8），可得到 ei(q n a－ω t) = ei[ (n+N) a q－ωt] eiq N a=1 ∴ qNa = 2πm（m=0,±1，±2．．．） 得 （3－10）

结论： 1. 格波的波矢q不连续; 2. q点的分布均匀, 相邻q点的间距为 2π ／(Νa); 3. λ＝2π／q =Na/ m

七、讨论 由（3－8）表示的格波是简谐行波，又称为简正格波，简正模式。格波相速度vp（等相位面移动的速度） （一）格波 由（3－8）表示的格波是简谐行波，又称为简正格波，简正模式。格波相速度vp（等相位面移动的速度） 设t1时刻，n1a处振动为某一确定的相位，该相位面到t2 时刻传到n2a处，则 q n1a －ωt1 = q n2a －ωt2 q(n2－n1)a=ω(t2－t1) 设 n2a － n1a = Δx , t２－t1 =Δt 则 vp =Δx /Δt =(n2a－n1a) /(t2－t1) = ω／q

也可以用ω～q 之间的关系来表征色散关系。 若ω～q 间为线性关系，则vp为常数，即各种频率的波在该媒质中传播时不发生色散，否则发生色散。 说明： 波速v0, 相速vp, 群速（能速） vg=dω／dq 在很多情况下可不同，在均匀各向同性介质中三者相同。 （二）色散关系 本来色散关系是指vp～ω间的关系， 因 vp = ω／q 也可以用ω～q 之间的关系来表征色散关系。 若ω～q 间为线性关系，则vp为常数，即各种频率的波在该媒质中传播时不发生色散，否则发生色散。

把式（3－8）代入式（3－4）并用尤拉公式整理得到 （3－11）式 （3-11） ωm称为截止频率。

上式又可改写为 所以，ω不是q的线性函数， 或说vp是q的函数 称为有色散。

当a＜＜λ时，即相应于当λ→∞的情况， 则q= 2π／λ，q→0 sin (qα/２)≈(qa/2 ) （三）长波近似 当a＜＜λ时，即相应于当λ→∞的情况， 则q= 2π／λ，q→0 sin (qα/２)≈(qa/2 ) 由上式 vp=ω/q = ± v0 ------------无色散   这正是连续媒质中弹性波的色散关系。 25

（四）q的取值 式（3－11） ω 是q的周期函数，周期为 (2π/a), 即 m为整数 （3－14）

ω相同时，由式（3－8）可知波矢q和q+(2π/a)所描述的原子位移情况完全相同。 这一点在从波形上也易于理解， 例如 q＝（π/2a）和q’=q+(2π/a)=(5π/2a) 分别对应波长为 λ＝（2π/q）＝4a 和 λ’＝(2π/q’)=(4/5)a

两种波长的格波描述一维不连续原子 的同一种运动

(3-15) 它们所描述的原子位移情况完全相同。 这说明若对波矢的取值范围不加限制，则描述同一种晶格振动的格波波矢并不唯一确定。为此通常把它限制在一个周期范围内（即一个倒格子元胞范围内）取： (3-15) 这正是一维晶格的第一布里渊区。格波频率ω是波矢q的周期函数，周期为（2π/a），正好为一维原子链的最短倒格矢，（3-14）式可写为 ω(q)= ω(q+Gh) （3－16） 其中Gh为倒格矢。倒格子平移对称性

说明： 由式（3－11） 还可知： ω(q)= ω（－q）－―倒格子反演对称性 关于色散关系的倒格子平移对称性和反演对称性的这两个结论对三维晶格也是适用的。 说明： 1. q和－q对应相同的ω，但q和－q代表了不同的格波，与唯一性不矛盾。 2. q的不唯一性是由晶体的不连续性所致。

（五）格波数（模式数） (3-18) 这里N是原子总数，对于单式格子也就是初基 原胞的总数。 对一维单原子链而言即为在第一布里渊区中波矢q的取值数。在q空间，q点均匀分布，相邻q点间的“距离”为（2π/Na），而q的取值范围是第一布里渊区，它的大小为（2π/a）,所以允许的q取值总数为 (3-18) 这里N是原子总数，对于单式格子也就是初基 原胞的总数。

普遍结论： 允许的q值总数 等于组成晶体的初基原胞数 在一维单原子链情况下，每个q值对应一个ω,一组（ω，q）对应一个格波，故共有N个格波。这N个格波的频率ω与波矢q的关系由一条色散曲线所概括，所以这N个格波构成一支格波。 一维单原子链只有一支格波。

（六）通解 意义： 晶格中每一个原子（确定的n）参与了N个独立的简谐振动，任何一原子的实际运动是这N个格波所描述的简谐振动的线性叠加。