第三章 晶格振动与晶体的热学性质 静止晶格模型(晶体点阵模型) —— 认为周期性排列原子在格点上固定不动 X 光衍射发生的条件 晶体的结合能 能带论 由电子运动所决定的晶体物理性质 得到较好的描述 原子 电子：质量轻，运动速度快 原子核(离子实): 质量重，运动速度慢 考虑电子运动时可不考虑原子核的运动(原子核固定在它的瞬时位置) ——绝热近似 (体系的哈密顿量随时间变化非常缓慢，薛定谔方程的解可由瞬时哈密顿量的定态本征函数来近似，且一个时刻的本征函数可连续过渡到另一时刻的本征函数)

静态晶格模型的缺陷： 不能解释比热、热膨胀等 平衡性质 不能解释电导、热导等输 运性质等 不能解释多种辐射与晶体 相互作用的过程 模型与温度无关，无热膨胀 电导率将“无限大” 绝缘体是“绝热体”，“绝声体” 中子与晶体的相互作用 原子在平衡位置附近做微振动  晶格振动 经典理论：只有在绝对零度，原子才是静止的 量子理论：即使在绝对零度，根据测不准原理，静止模型 也不成立，有所谓的“零点振动”

采取何种方法处理晶体中原子的振动？ 经典理论，原子动能： (能量均分定理) 量子理论，原子动能： 波动性弱，经典理论 波动性强，量子理论 当粒子的波长与粒子间的平均距离 a 可以比拟时，就会显示量子效应。 λ= a  临界温度： 晶体中原子间距：2~3Ǻ，原子质量：10-27kg 电子质量：10-30kg

晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过杜隆－珀替(Dulong-Petit) 定律： 认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现 —— 杜隆－珀替经验规律的解释 (经典理论) 一摩尔固体有NA个原子，有3NA个振动自由度，按能量均分定律，每个自由度平均热能为kBT，摩尔热容量 3NAkB＝3R —— 实验表明在较低温度下，热容量随着温度的降低而下降, 且温度趋近0K时趋近于0 20世纪初Einstein利用Plank量子假说解释 (量子理论)

1912年，Debye热容理论(格波理论)已经可以很好地解释热容量，但后来更为精确的测量却表明了Debye模型不足 1935年，Blakman在玻恩(Born, 1954年Nobel物理学奖获得者)和冯卡门(Von-Karman)于1912年发表的晶体点阵振动的论文(首次使用了周期性边界条件)的基础上，发展了现代晶格动力学理论。 后来，黄昆先生在晶格振动研究上取得突出成就，特别是1954年和Born共同写作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作。

晶格振动 —— 研究固体宏观性质和微观过程的重 要基础 —— 晶体的热学性质、电学性质、光学 性质、超导电性、磁性、结构相变 有密切关系 研究方法： 易 —— 难 利用已熟知的连续波波动方程及其解的结论 连续 —— 间断 —— 连续 (依原子间距和波长的比较而定) 一维 —— 三维（推广） 经典 —— 量子（修正）

§3.1 简谐近似和简正坐标 研究对象 —— 由N个质量为m的原子组成的晶体 第n个原子的平衡位置： 原子的位置： 偏离平衡位置的位移矢量： 3个方向上的分量 N个原子的位移矢量共有3N个分量：

N个原子体系的势能函数： 在平衡位置按泰勒级数展开： 取 (固定在平衡位置的静止晶格的势能) 平衡位置 不计高阶项 系统的势能函数： —— 简谐近似

系统的势能函数 系统的动能函数 系统的哈密顿量 —— 直接应用上式去求解系统的问题，由于存在坐标的 交叉项而变得非常困难。 —— 多自由度力学体系的小振动问题，可根据分析力学 的方法求解运动方程

引入简正坐标： —— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来 假设存在线性变换 正交条件

同样，利用线性变换 可将势能： 化为： —— 以 为元素的矩阵的 本征值 —— 与之对应的本征矢量为以 为元素的矢量

【具体证明过程】 令 令

由线性代数可得，以 为元素的矩阵B对应的本征值 和本征矢量 ，满足一下关系式： 利用正交条件

系统的哈密顿量： 系统的拉格朗日函数： 正则动量： 正则方程 —— 3N个独立无关的方程 —— 简正坐标描述3N个独 立的简谐振动

简正坐标方程解: 利用线性变换 只考察某一个Qi的振动对原子位移的贡献： 其中： 简正振动 —— 晶体中所有原子都参与的振动，且振动频率 相同(都为 )

振动模 —— 简正坐标所代表的所有原子共同参与的共同振动 (对应一个振动模) 3N个 3N个 (对应3N种振动模) 晶体中存在多个振动模，则原子的位移为： (原子位移分量) (简正坐标位置、振动模)

经典力学哈密顿量 正则动量 量子力学哈密顿量 正则动量算符 系统薛定谔方程 简正坐标Qi描述独立的简谐振动

任意一个简正坐标 —— 谐振子方程 能量本征值 —— 声子 本征态函数 — 厄密多项式 系统总的能量本征值 系统总的本征态函数

—— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 (格波) 原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 (格波) —— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密 顿量之和 —— 这些相互独立的振动模式所取的能量值是分立的 —— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又能量分立 的振动模式 (简正模) —— 这些简谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综

静止晶格模型 晶格振动 耦合振子 3N个独立的简谐振子 (振动模、简振模) 声子 (振动模的能量量子) 3N种声子 (3N个频率) 许多实验现象无法理解 晶格振动 简谐近似 耦合振子 简正坐标 3N个独立的简谐振子 (振动模、简振模) 量子化 声子 (振动模的能量量子) 3N种声子 (3N个频率)

§3.2 一维单原子链 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波研究的步骤 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程 一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a 第n个原子离开平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1个原子间的相对位移 第n个原子和第n＋1个原子间的距离

平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能 —— 平衡条件 —— 常数 简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力：

原子的运动方程 —— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力 第n个原子的运动方程 f + —— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同

原子的运动方程也可从简谐势能得到 简谐势能 第n个原子的受力 (注意：求和号中任一原子序号将出现两次) 第n个原子的运动方程