第2章 磁场 电磁感应 2.1 磁感应强度 安培环路定理 2.2 磁场力 磁介质 2.3 电磁感应 2.4 简单磁路

本章的主要内容是，磁感应强度，磁场的基本定理，洛伦兹力，磁介质，法拉第电磁感应定律，自感，互感和磁场的能量。 人们逐渐认识到磁现象起源于电荷的运动，是在1820年奥斯特发现电流的磁效应后的事情。在运动电荷的周围不仅产生电场，还会产生磁场，虽然磁场和电场的性质、规律不同，但在研究方法上却有许多类似之处。 受电流磁效应的启发，一些科学家开始探索、研究能否利用磁效应产生电流。法拉第经过十年的艰苦努力于1831年发现，当穿过闭合线圈的磁通量发生变化时，线圈中会产生电流，这种现象称为电磁感应。揭示了电与磁相互联系和转变的电磁感应现象的发现，极大地推动了电磁理论的发展，也为人类大规模地利用电能开辟了广阔的道路。 本章的主要内容是，磁感应强度，磁场的基本定理，洛伦兹力，磁介质，法拉第电磁感应定律，自感，互感和磁场的能量。

2.1 磁感应强度 安培环路定理 2.1.1 磁感应强度 在研究电场时，我们曾根据检验电荷q在电场中受力的性质，引入了电场强度来描述电场的性质。类似的，我们用运动电荷在磁场中受力来定义磁感应强度 以描述磁场的性质。 作为检验用的运动电荷产生的磁场应足够弱，以免影响被检验的磁场的分布。 实验表明，运动电荷在磁场中受到的磁力与该电荷的电量及其运动的速度（大小和方向）有关，具体规律为 1、当运动电荷的速度方向与该点的磁场方向平行时，运动电荷不受磁力作用，即f=0；

3、运动电荷所受磁力的方向垂直于运动电荷的速度方向和该点磁 场方向所确定的平面。磁力的方向还与运动电荷的正、负有关，如图2.1所示。 2、当运动电荷的速度方向与该点的磁场方向不平行时，运动电荷将受磁力作用，当二者方向互相垂直（夹角为 ）时，运动电荷所受磁力最大，即 ，且 3、运动电荷所受磁力的方向垂直于运动电荷的速度方向和该点磁 场方向所确定的平面。磁力的方向还与运动电荷的正、负有关，如图2.1所示。

根据上述实验规律，我们将磁感应强度 定义为 1、 的方向 正电荷通过磁场中某点受力为零时其运动方向(亦即放置在该点小磁针静止时N极的指向）规定为该点磁感应强度 的方向。 2、 的大小 运动正电荷所受的最大磁力 与运动电荷的电量 和速率的乘积的比值 仅由磁场本身的性质决定，把该 比值作为磁感应强度 的大小，即 (2.1) 在国际单位制中，磁感应强度的单位名称是特[斯拉]，符号为T。 如果某磁场中各点的磁感应强度 恒定（大小和方向都相同）， 我们把这种磁场称为匀强磁场，否则为非匀强磁场，表2.1给出了一些物体附近磁感应强度的大小。

2.1.2 电流的磁场 磁场是由电流产生的，即使永磁体的磁场也是由构成它的带电粒子的运动所形成的电流激发的，那么磁场与激发它的电流之间的关系如何呢？1820年，毕奥和萨线伐尔通过实验得到了载流导线周围磁场与电流的定量关系，即 毕奥-萨线尔定律 (2.2a)

的方向为 的方向，即 三个 变量的方向符合右手螺旋法则（见图2.2）。 将(2.2a)式写成矢量形式为 上式中， 为比例系数， 为真空磁导率， 其值为 的方向垂直于 和 所确定的平面，当 右手弯曲，四指从 方向沿小于 角转向 时，伸直的大拇指所指 的方向为 的方向，即 、 三个 、 变量的方向符合右手螺旋法则（见图2.2）。 将(2.2a)式写成矢量形式为 （2.2b）

毕奥-萨伐尔定律表述电流周围磁感应强度的基本公式（类似于点电荷的场强公式）。由于磁感应强度 也遵从叠加 原理，因此任一形状的载流导线在空间某一点Ｐ的磁感应强度 ，等于各电流元 在该点所产生的磁感应强度 的矢量和， 即 （2.3） 根据上式可求得与无限长通有电流I的直导线距离为a处一点的磁感强度大小为 （2.4）

由（2.3）式也可求得半径为R通有电流I的圆形线圈的圆心处的磁感强度大小为 （2.4）

正如用电场线描述电场那样，也可以用磁感线来形象地描述磁场。在磁场中画出一系列曲线，使其上任一点的切线方向都与该点的磁感应强度 2.1.3 磁感线 正如用电场线描述电场那样，也可以用磁感线来形象地描述磁场。在磁场中画出一系列曲线，使其上任一点的切线方向都与该点的磁感应强度 的方向一致。这些曲线称为磁感 线。图2.2表示出几种不同形状的电流周围磁感 线的分布。

图2.2

磁感线的特点有：（1）磁场中任意两条磁感线不会相交，这是因为空间任一点的磁场方向是唯一的；（2）每条磁感线都是闭合曲线，没有起点和终点；（3）磁感线的疏密表示磁感应强度 的大小，磁感线密处，磁感应强度 大，稀疏处， 小。匀强磁场的磁感线则是等距的平行直线。

通过磁场中给定面的磁感线的总条数，称为通过该面的磁通量（ 2.1.4 磁通量 通过磁场中给定面的磁感线的总条数，称为通过该面的磁通量（ ）。 显然，通过面元dS的磁通量 （2.6） 这样，通过有限面积S的磁通量为 （2.7） 在国际单位制中，磁通量的单位名称为韦[伯]，符号为Wb，且1Wb=1T•m2。

由于电流产生的磁感线是无始无终的闭合线，因此，穿进任一闭合曲面的磁感线数目（ ）必定等于穿出 此闭合面的磁感线数目（ ）。 可见，通过任意一个闭合曲面的磁通量恒等于零，即 （2.8） 这就是磁场中的高斯定理。它不仅适用于稳恒磁场，对非稳恒磁场也适用。

2.1.5 安培环路定理 设在真空中有一无限长载流直导线，其电流为I。取一平面与电流垂直，平面与电流相交于O点。在平面内取以O点为圆心，r为半径的闭合回路L为积分路径，且L的绕行方向与电流方向成右手关系，则积分回线与磁感线重合，于是 由式(2.8)得 （2.9）

若取绕行方向与电流成左手关系，则 ，即把这种情况下的电流作为负值，上式仍然成立。式（2.9）是一个普遍成立的关系，即在真空中磁感应强度 沿闭合回线的积分等于穿过以此 倍， 闭合回线的边界为截面的电流代数和的 这就是磁场中的安培环路定理。 利用该定理可以比较方便地计算某些具有一定对称性的载流导线的磁感应强度。

【例2.1】 通以电流I的密绕长直螺线管，单位长度上有n匝线圈，求螺线管内的磁感应强度。

，可过P点作一矩形回路abcda（见图2.3）。 解 对于通电长直螺线管（管直径远小于管的长度），可认为磁场均集中在螺线管内，且管内各点的 可看作是恒矢量，即长直螺线管内可 获得匀强磁场。若求管内任一P点的磁感应强度 ，可过P点作一矩形回路abcda（见图2.3）。 因此，B沿此 闭合回路abcda的线积分为 由式（2.9）得 所以 （2.10a）

例2.2】　密绕的环行螺线管常称为螺线环（见图2.4）。设其单位长度有n匝线圈，导线中通有电流I，且环的直径远远大于管截面的直径。求螺线环内的磁场。

解 对该题中的螺线环，可认为其磁场全部集中在环内。根据电流的对称分布，可判断出环内磁感线为许多同心圆，且在同一条磁感线上 解　　对该题中的螺线环，可认为其磁场全部集中在环内。根据电流的对称分布，可判断出环内磁感线为许多同心圆，且在同一条磁感线上 的大小相等，方向 沿圆周的切线（如图2.4）。若求环内 某点的 ，可取过该点磁感线为积分回路 L，且有 根据安培环路定理得 所以 （2.10b）

2.2 磁场力 磁介质 2.2.1 洛伦兹力 运动电荷在磁场中受到的磁力称为洛伦兹力。由式（2.1）可知，当正电荷q以速度 垂直于磁感应强度 的方向通过 磁场中某点时，运动电荷所受磁力大小为

当电荷的一定速度 与磁感应强度 之间夹角为 时， 只需考虑垂直于 方向的速度分量 这种情况下，运动电荷所受洛伦兹力的大小为 （2.11） 考虑到三者之间的方向关系，可把上式写成矢积的形式 （2.12） 由此式可看出， 垂直于 决定的平面。当 和 时 、 、 三个矢量的方向符合右螺旋法则；当 时 的方向与上面相反。由于 总是垂直于 ，因此，洛伦兹力对运动电荷不作功，也不改变其速度的大小，只改变运动电荷速度的方向。

*2.2.2 霍耳效应 1879年霍耳发现，在通有电流的金属板上加一匀强磁场，当电流的方向与磁场方向垂直时，则在与电流和磁场均垂直的金属板两表面间出现电势差（图2.5（a）），这一现象称为霍耳效应，这个电势差称为霍耳电势差。霍耳电势差的成因可用带电粒子在磁场中运动所受到的洛伦兹力予以解释（图2.5（b））。实验表明，在磁场不太强时，霍尔电势差UH与电流强度I和磁感强度B成正比，与板的厚度d成反比，即 （2.13）

式中的k称为霍耳系数，它与载流子的浓度有关。 除金属导体外，半导体也产生霍耳效应。N型半导体的载流子主要是电子，P型半导体的载流子主要是空穴，因此根据霍耳电压的极性可判定半导体的类型。还可根据实验测得的霍耳系数k计算出载流子的浓度，为研究和测试半导体提供了有效的方法。利用霍耳效应可测磁感应强度B由（2.13）式得 测量磁场强度的高斯计就是根据这个原理制成的。由（2.13）式可看出，B发生变化时， 将随之相应变化. 据此可把霍耳元件制成磁电转换的传感器。霍耳元件因 为它的结构简单、成本低廉等优点而得到了广泛的应用。 1980年，法国的克岑在极低温的强磁场的条件下，发现了量子化霍耳效应，并于1985年获诺贝尔物理奖。其后美籍华裔物理学家崔琦等在更强磁场下研究霍耳效应取得了新的成果，也因此获得了1998年诺贝尔物理学奖。目前，许多科学家正对这种效应进行实验和研究。 ，

2.2.3 安培力 我们已经知道，通有电流的导线在磁场中受到的磁力叫做安培力。这个磁力的本质是在洛伦兹力作用下，导体中作定向运动的电子与金属导体中晶格上的正离子不断地碰撞，把动量传给导体，因而宏观上表现为载流导体在磁场中受到磁力的作用。 电流元 在磁场中所受的安培力是 （2.14） 根据力的叠加原理，有限长载流导体在磁场中所受的安培力为 （2.15） 在匀强磁场中，有限长载流导体所受的安培力为 （2.16）

2.3 电磁感应 2.3.1 法拉第电磁感应定律 实验表明，当穿过回路所围面积的磁通量发生变化时，回路中就有感应电动势产生，其大小与通过回路的磁通量的变化率成正比，即 (2.18) 这就是法拉第电磁感应定律的一般表达式。其中各量均应用国际单位，即 的单位是V， 的单位为Wb， t的单位为S，式中的负号用于描述感应电动势的方向与磁通量变化的关系。实际中，用楞次定律来判断感应电动势的方向往往更为方便。

回路中的磁通量为均匀变化时，式（2.18）可改写成同学们中学阶段熟悉的表达式 如果回路由N匝密绕线圈组成，则各边线圈的总磁通量为 ，叫做通过线圈的磁链。这样整个线圈的感应 电动势为 (2.19)

【例 2.3】 长L的金属棒在磁感应强度为 的匀强磁场中，以 角速度 在与磁场方向垂直的平面内绕棒的一端匀速转动（如 图2.6）。求棒中的感应电动势。 解 设t时刻棒在 处，经 后转到 处。 、 和 构成的回路中的磁通量为 根据式（2.18）可求得棒两端的感应电动势为 根据楞次定律可以判断出，电动势的方向由 指向O，即O端 为正极， 端为负极。

2.3.2 自感现象 当一个导体回路的电流发生变化时，通过回路自身的磁通量也将随之变化，因而回路中要产生感应电动势。这种由于回路中电流变化而在回路自身中引起感应电动势的现象，称为自感现象，由此引起的电动势叫做自感电动势。由毕-萨定律可知，穿过回路本身所围面积的磁链 应与成正比，即 （2.20） 式中比例系数L叫作回路的自感系数（简称自感），工程上常叫作电感。L取决于回路的大小、形状、线圈匝数及其周围磁介质的磁导率。在无铁磁质的情况下，L与电流无关。 根据电磁感应定律，在L一定的情况下自感电动势为 （2.21）

式中的负号表示自感电动势将反抗回路中电流的变化；当回路中电流增加时，自感电动势与原来电流的方向相反；当回路中电流减小时，自感电动势与原来电流的方向相同。 总之，任何回路中的电流发生变化，都将引起自感应作用以阻碍回路中电流的改变。回路的自感系数越大，自感的作用也越强，回路中的电流越不容易改变。可见，回路中的自感具有力图使回路原有电路保持不变的性质。这与力学中惯性总是力图保持质点静止或匀速直线运动状态的特性颇为相似，因此人们也把自感看作是回路“电磁惯性”的量度。 在国际单位制中，自感的单位名称上亨[利]，符号为H。 或 。常用的 单位还有 或

【例2.4】 计算一个长直螺线管的自感。设其长为L，横截面直径为d，线圈总匝数为N，管中充满磁导率为 的非铁磁介质。 解 长直螺线管通有电流I，在 的情况下可忽略 两端磁感应强度的磁场的不均匀，管内匀强磁场，大小为 通过该螺线管的磁链 由 可得 （2.22）

由此式可看出，增加单位长度的匝数n是增大线圈自感L的 有效方法。 式中 分别是螺线管的体积和单位长度的匝数。 由此式可看出，增加单位长度的匝数n是增大线圈自感L的 有效方法。 实验表明，当螺线管横截面的直径较大时，管内磁感应强度较 要小，因此螺线管的自感系数应乘以修正 系数作近似计算 （2.23） 显然，当d<<l时，修正系数K=1，表2.3列出了k与d/l之间的关系。

对于复杂回路，其自感的计算往往非常困难，实际中，通常用经验公式计算或用实验方法测定。 【例2.5】 计算图2.7所示的同轴电缆的自感。设缆芯半径r1，外壳半径r1（假定外壳很薄），缆的长度为l，绝缘材料的磁导率为μ0。 解 忽略漏磁，在电缆外面有磁场。由于外壳很薄，其中磁场也可忽略。在绝缘介质中距轴心r处的磁感强度为 （r1≤r≤r2） 穿过电缆的剖面上面积元的磁通元为 故磁通为 于是，设同轴电缆的自感为 对于复杂回路，其自感的计算往往非常困难，实际中，通常用经验公式计算或用实验方法测定。

磁场和电场一样也储有能量，磁场能量分布在磁场所占的全部范围内，它是在建立磁场的过程中由外电源供给的。 2.3.3 磁场的能量 磁场和电场一样也储有能量，磁场能量分布在磁场所占的全部范围内，它是在建立磁场的过程中由外电源供给的。 设有自感为L的线圈，接入图2.8所示的电路中。 电路未接通前，回路中无电流，线圈中也没有磁场。接通电路后，电流要经历由零到I的增长过程。在此过程中，线圈L内的自感电动势 要阻碍电流增长。为此，电源需要供给能量来克服这 一自感电动势作功，从而 将电能转换为线圈中磁场的能量。 在线圈中电流增长 的过程中，电流和产生的自感电动势都在不断地变化。 设某时刻t，电流为I，则该时刻线圈中的自感电动势为

在dt时间内电流克服自感电动势所作的元功 线圈中电流从零增长到稳定值I的过程中，电流克服自感电动势所作的功 这就是线圈中电流为i时所储藏的磁场能量 （2.24） 我们知道，线圈的形状以及其中的介质不同时，L也不同，但式（2.24）对任何通电线圈都适用。例如对通电长直螺线管的磁场能量表达式可写作

单位体积的磁场能量 （2.25） 称为磁场能量密度。式（2.25）显然是从匀强磁场这一特殊情况下导出的，但都是普遍成立的。在非匀强磁场中，在体积元dτ内可将B和μ看作是均匀的，因此在体积元dτ内的磁场能可由 求得。这样，在体积为τ的空间内的磁场能量 （2.26）