简易逻辑
一、命题的有关概念 1.命题 可以判断真假的语句. 2.逻辑联结词 “或”、“且”、“非”. 3.简单命题 不含逻辑联结词的命题. 4.复合命题 含有逻辑联结词的命题. 5.复合命题真值表 p 非 p 真 假 p q p 或 q 真 假 p q p 且 q 真 假 “p 且 q”形式的复合命题当p 与q同时为真时为真, 其它情形为假. “非 p”形式的复合命题与 p 的真假相反; “p 或 q”形式的复合命题当 p 与 q 同时为假时为假, 其它情形为真;
6.注意 ①由简单命题构成复合命题时, 不一定是简单地加“或、且、非”等逻辑联结词; 另外应注意含“或、且、非”等词汇的命题也不一定是复合命题, 在进行命题的合成或分解时一定要检验是否符合复合命题的“真值表”, 如果不符要作语言上的调整. ②命题的“否定”是学习上的重点, 因为这是“反证法”证明的第一步. 必须注意, 命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念: 对命题 p 的否定(即非 p )是否定命题 p 所作的判断; 而“否命题”是对“若 p 则 q”形式的命题而言, 要同时否定它的条件与结论. 典型例题 例1 写出由下述各命题构成的“p 或 q”形式的复合命题: (1) p: 9 是 144 的约数, q: 9 是 225 的约数; (2) p: 方程 x2-1=0 的解是 x=1, q: 方程 x2-1=0 的解是 x=-1; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0. (1)9 是 144 的约数或 9 是 225 的约数(9 是 144 或 225 的约数);
例1 写出由下述各命题构成的“p 或 q”形式的复合命题: (2) p: 方程 x2-1=0 的解是 x=1, q: 方程 x2-1=0 的解是 x=-1; (2)方程 x2-1=0 的解都是 x=1, 或方程 x2-1=0 的解都是 x=-1; (3)实数的平方都是正数或实数的平方都是 0. 注: 由简单命题构成复合命题, 一定要检验是否 符合“真值表”, 如果不符要作语言上的调整. 例2 写出由下述各命题构成的“p 且 q”形式的复合命题: (1) p: 四条边相等的四边形是正方形, q: 四个角相等的四边形是正方形; (2) p: 菱形的对角线互相平分, q: 菱形的对角线互相垂直; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0. (1)四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形; (2)菱形的对角线互相垂直平分; (3)实数的平方都是正数且实数的平方都是 0.
例3 写出由下述各命题构成的“非 p” 形式的复合命题: (1) p: 有些质数是奇数; (2) p: 方程 x2-5x+6=0 有两个相等的实根; (3) p: 四条边相等的四边形是正方形.
二、命题的四种形式 原命题 逆命题 否 否命题 若p 则q 逆否命题 原命题: 若 p, 则 q; 逆命题: 若 q, 则 p; 互逆 互 为 逆 否 否 逆 为 互 互 否 注: 互为逆否命题的两个命题同真假.
典型例题 例1 写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断它们的真假: (1)若 a≤0, 则方程 x2-2x+a=0 有实根; (2)乘积为奇数的两个整数都不是偶数. (1)逆命题: 若方程 x2-2x+a=0 有实根, 则 a≤0. 假命题 否命题: 若 a>0, 则方程 x2-2x+a=0 无实根. 假命题 真命题 逆否命题: 若方程 x2-2x+a=0 无实根, 则 a>0. (2)逆命题: 若两个整数都不是偶数, 则这两个整数的乘积为奇数. 真命题 否命题: 若两个整数的乘积不是奇数, 则这两个整数至少有一个是偶数. 真命题 逆否命题: 若两个整数中至少有一个是偶数, 则这两个整数的乘积不为奇数. 真命题
例2 写出下列命题的否定, 并判断其真假: (1)不论 m 取什么实数, x2+x-m=0 必有实根; (2)存在一个实数 x, 使得 x2+x+1≤0. 真命题 (2)不论 x 取什么实数, 都有 x2+x+1>0. 真命题