第二章 行列式 第一节 二阶、三阶行列式

一、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组

方程组的解为 由方程组的四个系数确定.

定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的矩阵：

二阶行列式的计算 对角线法则 主对角线 副对角线 对于二元线性方程组 若记 系数行列式

则二元线性方程组的解为 注意 分母都为原方程组的系数行列式.

二、三阶行列式 定义 记 （7）式称为矩阵（6）所确定的三阶行列式.

.列标 行标 三阶行列式的计算

三、小结 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 对角线等法则 二阶与三阶行列式的计算

思考题

思考题解答 解

第二章 行列式 第二节 n 阶行列式

n阶行列式的定义 定义

一、余子式与代数余子式 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式．

例如对

二、行列式按行（列）展开法则 定理1 n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

例2 计算行列式 解

例3 计算上三角行列式 解 =

例 4

同理可得下三角行列式

三、小结 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.

第二章 行列式 第三节 行列式的性质

一、行列式的性质 记 行列式 称为行列式 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等即， 行列式 称为行列式 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等即， 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

性质2 如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 同样用数学归纳法可证： 性质2 如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 性质3 如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（列）相同，即

例如 则D等于下列两个行列式之和：

性质4 （行列式的“初等变换”）若将初等行（列）变换用于 n 阶行列式： （1） 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.

（2）　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 k 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变． 从等号右端 看，利用性 质3、性质4 的（1）及性 质2即得等号 左端。 例如

（3） 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式写成分块形式，则

推论1　某一行（列）元素全为零的行列式等于零． 推论2　对 n 阶行列式及数 k,有 ．

推论3　若有两行（列）元素对应成比例，则行列 式等于零，即

计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。 例1 计算4阶行列式

性质5 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证

相同 同理

关于代数余子式的重要性质

性质6 设 U 是有如下分块形式的 ( n + p ) 阶矩阵： 矩阵乘积的行列 式等于行列式的 乘积！

二、应用举例 解 将第二列加到第一列，由性质4、性质2可得

三、小结 (行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立). 行列式的6个性质 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．

思考题1

思考题1解答 1、2、3、4行 （1）交换 分别提取公因 1、2 子 a、b、c、d 两列； （2）交换 3、4 解 （3）交换 2、3 两列。 思考题1解答 解

思考题2 求第一行各元素的代数余子式之和

思考题解答 解 由 知第一行各元素的代数余子式之和可以表示成

第二章 行列式 第四节 行列式的计算

例2 计算 阶行列式 解法1 将第 都加到第一列得

第1行的 (-1) 倍分别加到 其余各行！

例2 计算 阶行列式 解法1 将第 得

例2（续） 计算 阶行列式 解法2

例2（续） 计算 阶行列式 解法2

+)

另解： 递推可得

例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 证 用数学归纳法

例5 计算行列式 解:

另解：1.按第一行展开；2.初等变换。

思考题

思考题解答

范德蒙德行列式 大下标减去 小下标元素

第二章 行列式 第五节 行列式的应用

一、伴随矩阵及逆矩阵计算公式 定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 称为矩阵 的伴随矩阵.也记作 adjA. 注意下标

定理1 证明 则

同理可得

证明

定理2 矩阵 可逆的充要条件是 ，且　　　　　　 证明 必要性，若 可逆，

按逆矩阵的定义得 证毕。

奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 推论 证明

例 1 解

代数余子式的符号不能丢

非齐次与齐次线性方程组的概念 设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组.

二、克拉默法则 定理 3 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即

那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即

证明 在把 个方程依次相加，得

由代数余子式的性质可知, 于是 当 时,方程组 有唯一的一个解

由于方程组 与方程组 等价, 故 也是方程组的 解. 逆否命题 如果线性方程组 无解或有两个不同 的解，则它的系数行列式必为零.

三、重要定理 齐次线性方程组的相关定理 推论1　 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 只有零解.

推论2　 如果齐次线性方程组 有非零解,则它 的系数行列式必为零.

例 4 解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式

同理可得 故方程组的解为:

例 5 问 取何值时，齐次方程组 有非零解？ 解

齐次方程组有非零解，则 所以 或 时齐次方程组有非零解.

例6:设矩正阵 且 互不相等,求 的解.

四、小结

3. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 4. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.

思考题1

思考题1解答 解 设所求的二次多项式为 由题意得

它是一个关于未知数 的线性方程组, 又 得 故所求多项式为

思考题2 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用 克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组 的解为何?

思考题2解答 不能！此时非齐次方程组的解为无解 或有无穷多解. 齐次方程组的解为有无穷多解.

行列式 第二章 行列式 补 充 例 子

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2设 , 为n阶方阵，若 经过若干次初等变换变成矩阵 则成立的（ ） （A） （B）若 ，则必有 （C） （D）若 ，则必有 D 例2 选择题 1． 是 阶方阵，则下列运算中，正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 2设 , 为n阶方阵，若 经过若干次初等变换变成矩阵 则成立的（ ） （A） （B）若 ，则必有 （C） （D）若 ，则必有 D B D 3 设3阶方阵 ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） D

4. 如果5阶行列式D5中每一行上的5个元素之和等于零，则D5＝______________。 ———————————————— ———————————