第八章　物体的弹性　骨的力学性质 　在研究刚体的运动时，我们忽略了在外 力作用下物体形状和大小的变化，从而引 入了刚体这一理想模型。实际上任何物体在外力 作用下其形状和大小都会发生变化，即产生一定 的形变。若形变不超过一定限度，当除去外力后， 物体能完全恢复原状，这种形变称为弹性形变； 若形变超过一定限度，当除去外力后，物体不能 再恢复原状，这种形变称为塑性形变。研究物体 在力的作用下所产生的形变，不仅在工程上，而 且在生物医学上也有着重要意义。这一章主要讨 论物体的弹性形变及骨的力学性质。

设一粗细均匀、截面积为S的棒，在棒的两端施加 大小相等、方向相反的拉力F，如图所示。在棒上 任取一截面BC，由于棒处于平衡状态，根据牛顿 第一节　应力和应变 　1.1　应力 设一粗细均匀、截面积为S的棒，在棒的两端施加 大小相等、方向相反的拉力F，如图所示。在棒上 任取一截面BC，由于棒处于平衡状态，根据牛顿 第三定律，则被BC分开的两部分存在有相互作用， 这种相互作用称为张力。对整个棒来说，张力是内 力，对被分开的部分来说，它又是外力，而且是作 用在整个横截面上的，其大小与所施加的拉力 F 相 等,在横截面上均匀分布。 我们将横截面上的力与横 截面积的比称为应力，用 σ表示，即 σ =F/S S F C B

面的，因此又称正应力。应力的单位是N.m-2。 设有一长方形物体，底面固定，现在上表面施加一与表面相切的作用力F，如图所示。由于 物体 当棒处于拉伸状态时，这一应力称为张应 力；当棒处于压缩状态时，这一应力称为 压应力。张应力和压应力都是垂直于横截 面的，因此又称正应力。应力的单位是N.m-2。 设有一长方形物体，底面固定，现在上表面施加一与表面相切的作用力F，如图所示。由于 物体 是处于平衡状态，所以底面也受到一与F大小相等、方向相反的切向力作用。任取一与底面平行的横截面，显然横截面上下两部分也受到与横截 面相切的且与 F 大小相 等的力的相互作用，这 种力是沿切向的内力。 这种情况下单位截面上 φ F Δx l0

的内力称为切应力，用τ 表示。若横截面 积为 S ，则切应力 当一固定体放在静止的液体或气体中时，固体要 受到流体静压强的作用。不论固体表面的形状如 何，流体静压强总是垂直于固体表面的。这种压 强不仅作用于表面上，在固体内任一平面，都有 垂直于该面的压强作用。这种压强也是一种应力， 是由于物体受到均匀压强作用而产生的。同样， 当液体或气体的表面受到与其表面垂直的压强作 用时，其内部任一想象平面上都有垂直该面的应 力作用。

总之，应力是作用在物体内单位截面积上 的内力。应力反应了发生形变的物体内部 的紧张程度。 例1、人骨骼上的二头肌臂上部肌肉可以对相连的 骨骼施加约600N的力，设二头肌横截面积为50cm2。 腱将肌肉下端联到肘关节下面的骨骼上，设腱的截 面积约0.5cm2。试求二头肌和腱的张应力。 解： 张应力是作用在单位面积上的内力，对二头 　　肌有： 对腱

1.2 应 变 物体受到应力作用时，其长度、形状和 体积都要发生变化，这种变化与物体原来的 长度，形状或体积的比称为应变。上面所讨论的每种应力都有与之相对应的应变。 　（1）张应变与压应变 有一原长为l0的棒的两端受到大小相等，方向相反 的作用力时，棒伸长到l，则棒的绝对伸长Δl=l－l0。 棒的绝对伸长与原来的比称为张应变，用ε表示， 即： 当棒受到压应力作用时，上式仍然成立，此时的

应变称为压应变。压应变是棒缩短的长度 与棒原长之比。 （2）切应变 一长方体在切应力的作用下形状发生变化，变为 斜的平行六面体。所有与底面平行的截面在切应 力作用下都要发生相对位移。设上下两面间的距 离为OA= l0, 两表面的相对位移为Δx=AA’，则有： 我们可以用 φ 角来表示由切应力引起的形变，称 为切应变，也叫做剪应变。在弹性限度内，φ角很 小，因此有tgφ≈ φ,则切应变为：

（3）体应变 对应于流体静压强的应变，称为体应变。体应变 定义为物体的体积变化ΔV与物体原来体积V0的比， 用θ表示，即： 第二节　弹性模量 2.1　弹性与塑性 　　产生一定的变形所需要的应力决定了某种材料 在受力状态下的性质，因此常需要通过测定材料的

线。应力是张应力，应变是张应变。曲线的第一 阶段由O点到A点为一直线。这一阶段应力不大， 应力与应变曲线来研究材料的性质。不同 材料的应力 ~ 应变曲线不同。如图是某金 属材料进行拉伸实验得到的应力 ~ 应变曲 线。应力是张应力，应变是张应变。曲线的第一 阶段由O点到A点为一直线。这一阶段应力不大， • D O C B A 应力 应变 O’ 相应的应变也不大，应力与 应变成正比。A 点称为比例 极限，在比例极限内应力与 应变成正比，这一规律称为 胡克定律，不同的材料其比 例系数不同。由A点到B 点， 随着应力的增大，相应的应变有比较大的增加，这 时应力与应变不再成正比。但是由O 点至B 点之间

将引起形变的外力除去后，材料可沿原曲 线返回，即恢复原来的长度，形变消失。 这表明，在OB范围内材料具有弹性，所以 将B点称为弹性极限。当应力超过B 点后，就是曲 线的第二阶段，如到达C点，这时除去外力后，应 变不会变为零，材料不会沿实线返回，而是沿虚线 返回，存在剩余形变 OO’。超过C 点后，再增大外 力，应变随着有较大的增加，直到D点时材料发生 断裂。由B 点到D 点材料发生的不再是弹性形变， 而是塑性形变。材料断裂时的应力称为抗张强度或 极限强度。若对材料进行的是压缩实验，则断裂点 的应力称为材料的抗压强度。 　　如果材料的断裂点D 离弹性极限B 较远，即材

料能产生较大的塑性形变，则说这种材料 具有塑性（或延性）；如果断裂点D 离弹 性极限点B 很远，则说这种材料具有脆性。 2.2弹性模量 根据胡克定律，在弹性限度内，应力与应变 是成正比的。 当材料受到正应力（张应力或正应力）作用 时，胡克定律的形式为： 式中比例系数 Y 称为该材料的杨氏弹性模量或杨 氏模量。有些材料，比如人的骨骼，其在张应力 和压应力下对应的杨氏模量不相等。

当材料受到切应力作用时，胡克定律的形 式为： 式中比例系数 G 称为材料的切变弹性模量或刚性 模量。大多数材料的切变模量约是杨氏模量的1/2 到1/3 。 当物体的体积发生变化时，胡克定律的形式为： 式中比例系数B成为材料的体积弹性模量。由于 体变时压强增加，材料的体积缩小，△V为定值， 式中的负号保证了等式两边均为正值。体积弹性

模量的倒数称为压缩率，用K表示,即 式中F/S应是压强的变化量，用ΔP表示，则上式可 表示成： 例2、一横截面积为1.5cm2的圆柱形的骨样品，在 其上端加上一质量为 10kg 的重物，则其长度缩小 了0.0065%。求骨样品的杨氏模量。 　解：

压应力为 根据胡克定律　　　，即σ＝Yε，则有杨氏模量为

第三节　形变势能 在弹性限度内，物体在外力的作用下 发生了弹性形变。在这一过程中，外力对 弹性物体做了功，外力所做的功以弹性势能的形式储存在弹性物体中，也就是说外力所做的功转变为弹性物体的形变势能。 我们来讨论一长为l0、横截面积为S的均匀直棒在产生拉伸形变时的形变势能。 设施加在棒上的拉力为F，棒被拉伸到 l（拉伸形变时横截面S的变化很小，可将其忽略），则棒的绝对伸长为 l－l0.。根据胡克定律，有

所以： 外力F将棒拉伸dl时作用的元功用dA表示，则 外力 F 将棒由l0拉长到 l 时作的总功应为上式的积 分：

对一定的材料来说，Y、l0、S均为常数， 令 k称为弹性物体的力常数或劲度系数，则： 外力所作的功全部转变为棒的形变势能，用EP表 示形变势能，则有A＝EP，所以 或

式中，　为应变，Sl0为棒的体积。显然， 　　是单位体积内的形变势能，称为形变 势能密度，用ωP表示，即 同理，可以求出在切变或体变情况下的形变势能 密度，分别用ωG 和ωB表示，则可得

　　根据上面的讨论可以看出，物体发生 弹性形变时，其形变势能密度为弹性模量 与应变平方的积的二分之一。对不同类型 的弹性形变，应该用该形变所对应的弹性模量。 第四节 骨的力学性质 骨在人的生命活动中起着非常重要的作用，它的 主要功能是支持、运动及对各种器官的保护作用 等。 人体具有206块骨，形态各异，但基本上可以分为 长骨、短骨、扁骨和不规则骨四种类型。骨的形 态及骨在人体上的分布是与功能相适应的，长骨 分布在四肢，比如股骨，肌肉通过肌腱和韧带附 着在骨上，骨系统加上肌肉支持着人体，在肌肉

力的作用下人体通过骨关节产生运动；短 骨一般分布在负重、受压或运动复杂的部 位，如手的腕骨和脚的跗骨；扁骨呈板状， 如肩胛骨和颅骨，颅骨围成的颅骨腔起保护大脑 和神经的作用，不同形态的骨，其力学性质是不 同的。 4.1　骨的受力 　　骨是人体内最主要的承载组织，骨骼的变形、 损伤或破坏与受力的方式有关。人体骨骼所受的 力虽然有多种形式，但可以分为四种基本形式， 即拉伸与压缩、剪切、弯曲、扭转这四种形式称 为基本载荷。若骨骼同时受到两种或两种以上的 基本载荷作用，这种情况下骨骼受的力称为复合

方向相反的载荷，例如人在作悬垂运动或举重时 四肢长骨就是受到这种载荷的作用。如图是人的 润湿长骨的轴向拉伸与压缩实验曲线，即应力与 载荷。复合载荷可视为两种或两种以上的 基本载荷复合而成。 1、拉伸与压缩 　　拉伸与压缩载荷是施加于骨表面大小相等、 方向相反的载荷，例如人在作悬垂运动或举重时 四肢长骨就是受到这种载荷的作用。如图是人的 润湿长骨的轴向拉伸与压缩实验曲线，即应力与 应变曲线。拉伸曲线和压缩曲线形状相近，都有 较长的直线段，在这一阶段应 力与应变成正比，服从胡克定 律，所以可以认骨骼具有弹性。 但是拉伸和压缩时杨氏弹性模 量不同。此外，与一般金属材 O σ 拉伸 ε 压缩

料不同的是骨骼在不同的方向上会表现 出不同的力学特性，这种性质称为各向 异性。 2、剪切 　　在与骨骼横截面平行的方向施加载荷，这种 载荷就是剪切，这时骨的横截面上的应力就是切 应力。人的骨骼所能承受的剪切载荷比拉伸和压 缩载荷低得多。 3、扭转 　　当骨骼的两端受到与其轴线相垂直的一对大 小相等、方向相反的力偶作用时，会使骨骼沿轴 线形成受扭转状态。这一对力偶产生的力矩，称 为扭矩，用M 表示。扭矩M 就是扭转载荷。骨骼

比，在轴线处切应力为零，越靠近边缘切应力越 受到扭转载荷作用时，横截面承受切应力 作用，其分布如图。切应力的大小除与扭 矩M成正比外，还与点到轴线的距离成正 比，在轴线处切应力为零，越靠近边缘切应力越 M A A’ 大，在边缘处的切应力最大。 人的四肢长骨是中空的，这种 截面对抗扭来说合理截面，中 空处切应力为零，而在外缘切 应力较大处相应的载面尺寸较 大，增强了抗扭能力。 4、弯曲 　 当骨骼受到使其轴线发生弯曲的载荷作用时，

的力偶矩的作用。骨骼产生弯曲形变时，在轴线 处有一层骨没有产生应力和应变，称为中性层。 见图，图中的轴线 OO’表示中性层。图也给出了 骨骼会发生弯曲形变。这种载荷可以是垂 直轴线的横向力，也可以是包括骨骼轴线 在内的平面中的一对大小相等、方向相反 的力偶矩的作用。骨骼产生弯曲形变时，在轴线 处有一层骨没有产生应力和应变，称为中性层。 见图，图中的轴线 OO’表示中性层。图也给出了 骨骼受弯曲载荷作用时的应力分布，横截面上的应 力为正应力，应力的大小 与至中性层的距离成正比。 在凸侧骨骼受拉伸作用， 在凹侧骨骼受压缩作用。 由于成人骨骼的抗拉伸能 力低于抗压缩能力，因此 M P O’ O A’ A

限强度都大得多，所以骨骼有较好的抗弯性能。 在发生弯曲破坏时，断裂是从凸面开始， 然后凹面才开始断裂。成人股骨受弯曲 载荷时的极限强度比拉伸和压缩时的极 限强度都大得多，所以骨骼有较好的抗弯性能。 5、复合载荷 上面讨论的都是骨骼受单一载荷作用的情况。 实际生活中骨骼只受一种载荷的情况很少，大多 是同时受到两种或两种以上载荷的作用，这种载 荷称复合载荷。左图表示了髋关节 受复合载荷作用的情况，股骨头往 往受到斜向压力的作用，用 P 表示 斜向压力。图中虚线是股骨头的轴 线，将 P 分解为与轴线平行和垂直 P P┴ P‖ θ

的两个分量P//和P┴。 P//是压缩载荷， P┴ 对股骨头施加一个力矩，使股骨头发生 弯曲，因此P┴是弯曲载荷。显然股骨头 所受的载荷是压缩和弯曲两种复合而成 的载荷。 4.2 骨的力学特性 1、骨的力学特性与骨的结构有关 骨主要由骨质构成，骨质分为两种。一种构成 骨的表层，致密而坚硬，称为密质骨；另一种是 分布在骨的内部呈蜂窝状的疏松体，称为松质骨， 松质骨具有一定的韧性，能承受较大的弹性形变。 密质骨和松质骨的分布因骨的种类不同有所不同。 长骨的密质骨在中部骨干部分很厚，向两端逐渐

变薄，松质骨主要分布在长骨的两端；短 骨表面有一层较薄的密质骨，内部充满松 质骨；扁骨是由密质骨构成内外两层骨板， 中间夹有一层松质骨。骨的成分中有骨胶原和骨矿 物质。骨胶原是存在于筋腱和韧带中的一种纤维蛋 白，胶原纤维能拉长到大于本身线度的20%，　　 骨的抗拉强度很大，约为90MN/m2，骨胶原使骨质 有较大的抗拉强度和韧性；骨矿物质有很大的抗压 强度，使骨具有较大的抗压强度。因此骨的构成类 似于钢筋混凝土，既有一定的强度和硬度，又有一 定的弹性和韧性。 　　2　长骨的力学性质 　　长骨是人体骨骼的主要受力部分，长骨的中间 部位是骨干，两端是骨骺，而内部是中空的骨髓腔

骨骺密质骨较薄，松质骨发达且粗大，因此承载面 积较大，受力比较均匀，可以承受较大的载荷，能 产生较大的弹性变形而不损伤，抗拉性能较好，高 骨干松质骨少，密质骨厚，有较大的强度 和硬度，抗压强度较高，是松质骨的4 ~ 5 倍。所以骨干的力学改制接近脆性材料。 骨骺密质骨较薄，松质骨发达且粗大，因此承载面 积较大，受力比较均匀，可以承受较大的载荷，能 产生较大的弹性变形而不损伤，抗拉性能较好，高 于骨干，但抗压强度较低，只是骨干的22%，骨骺 的力学性质接近塑性材料。由于长骨有塑性材料的 弹性和韧性，又具有脆性材料的强度和硬度，所以 钢 骨 花岗岩 红松 密度(kg/m3) 7.8103 1.92 103 2.6 103 0.63 103 抗拉强度(106N/m2) 4.24 93-120 5 6.5 抗压强度(106N/m2) 121-210 135 42.4

长骨既抗又抗压。下表给出了人的胫骨与 其他常用材料强度的比较，由表中可以看 出，长骨的抗压能力与花岗岩相近，而抗 拉强度却比花岗岩大20倍。长骨除受拉伸与压缩的 载荷作用外，更多的是受扭转或弯曲的载荷作用。 受扭转时，横截面上主要是切应力的作用，在截 面中心部位切应力最小，在边缘处切应力最大；受 弯曲时，横截面上主要是正应力的作用，在中性层 正应力最小，在边缘处正应力最大。长骨的横截面 可以近似的视为空心圆截面，与实心截面相比，在 截面积相等的情况下，相当于将实 心圆中心部位受应力很小的部分挖 去填在截面的外缘，增大了边缘的

尺寸，相应的增加了外缘对应力的承受能 力。因此空心圆截面对抗扭和抗弯来说是 合理截面。人体长骨中部为骨骼腔，不仅具有生理 作用，而且从力学角度来说也是完全合理的结构。 3、骨的应刺激 1）一定范围的应力刺激，会影响骨的组织、结构 和形态，从而影响骨的力学性质。 　　骨是活性物质，在不断的生长发育。应力刺激 对骨细胞的生长和吸收起着调节作用。一定范围内 经常性的、间歇式的压应刺激，能助长骨的生长， 使骨的形态变粗增厚，密度加大，改善骨的力学性 质。骨的应力刺激减少，会使骨吸收大于骨生长， 结果是骨骼萎缩，骨质疏松。四肢瘫痪的病人，骨

骼所受的应力明显减少，除受地心引力外， 没有由于肌肉收缩引起的应力作用，发生 明显的骨吸收，在大量高钙尿排出体外， 骨骼萎缩，产生骨质疏松症，使骨在形态、组织结 构和功能上变得异常，力学性能明显降低。宇航员 在太空中生活，由于是在失生状态下，所以骨骼受 的应力刺激大大减小，尿的含钙量与在地面相比增 加60%以上，同样会引起骨质疏松。因此，要促进 骨的生长，必须有经常性的应力刺激，尤其是压应 力刺激。压应力刺激是应力刺激的主要因素，对骨 组织的影响最大，美国学者拉什指出：固定不变的 压应力刺激会引起骨萎缩，而间歇性的压应力刺激 才能促使骨的生长。所以，体育锻炼是这种应力刺

激的好形式，不公刺激和影响肌肉组织， 而且刺激骨组织的生长。 　　2）应力刺激对骨损伤的修复、愈合 和再长起重要作用 　　骨组织是能再生和修复的组织，修复和再生后 其化学成分和物理性质与原来的骨完全相同。应力 刺激会使受伤后的骨组织进行再生，骨痂可以不断 的形成和增殖。所以，必须在骨损伤或骨折的断端 施加应力，使其发生形变，骨组织在形变的情况下 产生骨痂。一般也，应力越大，骨痂越丰富，且增 殖迅速，能够促进骨的愈合和再生，最终成为与受 伤前完全相同的骨组织。

习题： 1、一匀质的铅丝竖直悬挂，铅丝的密度 为ρ，ρ＝11.3103kg/m3，长度为L0。求：（1）由 于铅丝自身的重量所产生的应在距悬点L/4处的值 是距悬点3L/4处值的多少倍？（2）已知铅丝内某 处的应力达2kg/mm2时，铅丝在该点被抗断。问铅 丝长度L为何值时，它将在自身所受重力的作用下 被抗断？断点在何处？　　　　（3倍；177m） 2、松弛的二头肌，伸长5cm时，需要25N的力，而 该肌肉处于紧张状态时，产生相同伸长量需要力 500N。若将肌肉看作一长为0.2m，横截面积为 50cm2的圆柱体。求该肌肉组织在以上两种情况下 的杨氏模量。　　　（2104N/m2; 4105N/m2)