第一篇 材料X射线衍射分析 第一章 X射线物理学基础 第二章 X射线衍射方向 第三章 X射线衍射强度 第四章 多晶体分析方法 第四章 多晶体分析方法 第五章 物相分析及点阵参数精确测定 第六章 宏观残余应力的测定 第七章 多晶体织构的测定

第二章 X射线衍射方向 本章主要内容 第一节 晶体几何学简介 第二节 布拉格方程 第三节 X射线衍射法

第一节 晶体几何学简介 一、14种布喇菲点阵 晶体中原子在三维空间规则排列的抽象图形称空间点阵。空间点阵中的阵点不限于原子 第一节 晶体几何学简介 一、14种布喇菲点阵 晶体中原子在三维空间规则排列的抽象图形称空间点阵。空间点阵中的阵点不限于原子 由基本矢量a、b、c 构成的平行六面体称为单位晶胞，如图2-1所示 布喇菲晶胞的选择原则： 最能反映点阵对称性； a、b、c 相等数目最多； 、、 尽可能是直角 布喇菲晶胞的特点是几何 关系和计算公式最简单 图2-1 单位晶胞

第一节 晶体几何学简介 一、14种布喇菲点阵 自然界的晶体可划分为 7个晶系，每个晶系中最多有 4种点 第一节 晶体几何学简介 一、14种布喇菲点阵 自然界的晶体可划分为 7个晶系，每个晶系中最多有 4种点 阵，在 7 大晶系中只有 14 种布喇菲点阵 1.立方晶系 a = b = c，  =  =  = 90 a a a 简单立方 体心立方 面心立方 图2-2 晶系及布喇菲点阵

第一节 晶体几何学简介 一、14种布喇菲点阵 2.正方晶系 a = b  c，  =  =  = 90 a c a c 简单正方 第一节 晶体几何学简介 一、14种布喇菲点阵 2.正方晶系 a = b  c，  =  =  = 90 a c a c 简单正方 体心正方 续图2-2 晶系及布喇菲点阵

第一节 晶体几何学简介 一、14种布喇菲点阵 3.正交晶系 a  b  c，  =  =  = 90 a b c a b c 第一节 晶体几何学简介 一、14种布喇菲点阵 3.正交晶系 a  b  c，  =  =  = 90 a b c a b c 简单正交 底心正交 a b c a b c 体心正交 面心正交 续图2-2 晶系及布喇菲点阵

第一节 晶体几何学简介 一、14种布喇菲点阵 4.菱方晶系 5.六方晶系 第一节 晶体几何学简介 一、14种布喇菲点阵 4.菱方晶系 5.六方晶系 a=b=c，== 90 a=bc， = =90， =120  a 120 a c 简单菱方 简单六方 续图2-2 晶系及布喇菲点阵

第一节 晶体几何学简介 一、14种布喇菲点阵 6.单斜晶系 a  b  c， = = 90    a b c  a b c 第一节 晶体几何学简介 一、14种布喇菲点阵 6.单斜晶系 a  b  c， = = 90    a b c  a b c 简单单斜 底心单斜 续图2-2 晶系及布喇菲点阵

第一节 晶体几何学简介 一、14种布喇菲点阵 6.三斜晶系 a  b  c，      90 a b c    第一节 晶体几何学简介 一、14种布喇菲点阵 6.三斜晶系 a  b  c，      90 a b c    简单三斜 续图2-2 晶系及布喇菲点阵

第一节 晶体几何学简介 二、晶体学指数 1.晶向指数 晶体点阵中的阵点按一定周期排列，可将点阵分解为任 第一节 晶体几何学简介 二、晶体学指数 1.晶向指数 晶体点阵中的阵点按一定周期排列，可将点阵分解为任 意方向上的、且相互平行的结点直线簇，阵点等距分布在这 些直线上。用晶向指数 [uvw] 表示一簇直线， 其确定方法 如图2-3所示。若已知直线上 任意两点坐标分别为， (X1Y1Z1)和(X2Y2Z2) 则有 图2-3 晶向指数的确定

第一节 晶体几何学简介 二、晶体学指数 2.晶面指数 可将点阵分解为任意取向的、相互平行的结点平面簇， 不同取向的平面簇具有不同特 第一节 晶体几何学简介 二、晶体学指数 2.晶面指数 可将点阵分解为任意取向的、相互平行的结点平面簇， 不同取向的平面簇具有不同特 征。 用晶面指数(hkl)表示一 簇平面， h k l为其在 3个坐标 轴上截距倒数比(见图 2-4)， 即 图2-4 晶面指数的确定

第一节 晶体几何学简介 二、晶体学指数 3.六方晶系指数 用三指数表示六方晶系的晶面和晶向时，其缺点是不能 第一节 晶体几何学简介 二、晶体学指数 3.六方晶系指数 用三指数表示六方晶系的晶面和晶向时，其缺点是不能 直观地显示等同晶面和等同晶向关系。如(1 0 0)、 (0 1 0)和 ( 1 0) 是等同三个柱面，[1 0 0]、[0 1 0]、 [1 1 0]实际上是等 同晶向 上述晶面和晶向若用四指数可分别表示为，(1 0 0)、 (0 1 0)、 ( 1 0 0)，和[2 0]、[ 2 0]、[1 1 0]，它们则具 有明显的等同性，可分别归属为{1 0 0}晶面族和1 1 0晶 向族，见图2-5 1 2

第一节 晶体几何学简介 二、晶体学指数 3.六方晶系指数 若晶面用三指数表示时为 ( hkl )， 则相应的四数指 第一节 晶体几何学简介 二、晶体学指数 3.六方晶系指数 若晶面用三指数表示时为 ( hkl )， 则相应的四数指 为( hkil )， 四指数中前三 个指数只有两个是独立的， 它们之间的关系为 i = - ( h + k ) 有时将i 略去，表示为 ( hkl ) [ 2 0] 1 [11 0] 2 图2-5 六方晶系的晶体学指数

第一节 晶体几何学简介 二、晶体学指数 3.六方晶系指数 四轴晶向指数确定方法见图2-6。三指数 [ UVW ] 和四指 第一节 晶体几何学简介 二、晶体学指数 3.六方晶系指数 四轴晶向指数确定方法见图2-6。三指数 [ UVW ] 和四指 数[ uvtw ]之间的按以下关 系互换 U = u – t, V = v – t, W = w u = ( 2U – V )/3 v = ( 2V – U )/3 t = - ( u + v ) w = W 图2-6 六方晶系的晶向指数

第一节 晶体几何学简介 三、简单点阵的晶面间距公式 1.正交晶系 (2-3) 2.正方晶系 (2-4) 3.立方晶系 (2-5) 第一节 晶体几何学简介 三、简单点阵的晶面间距公式 1.正交晶系 (2-3) 2.正方晶系 (2-4) 3.立方晶系 (2-5) 4六方晶系 (2-6)

第二节 布拉格方程 X 射线与原子内受束缚较紧的电子相遇时产生的相干散射 波，在某些方向相互加强，而在某些方向相互减弱，称这 种散射波干涉的总结果为衍射 X 射线学以 X 射线在晶体中的衍射现象作为基础，衍射可 归结为衍射方向和衍射强度两方面的问题 衍射方向可由劳埃方程或布拉格方程的理论导出 劳埃方程在本质上解决了X 射线衍射方向的问题，但难以 直观地表达三维空间的衍射方向 布拉格定律将晶体的衍射看成是晶面簇在特定方向对X射 线的反射， 非常简单方便

第二节 布拉格方程 一、布拉格方程的导出 如图2-7，在LL1处为同相位的一束单色平行X射线，以 第二节 布拉格方程 一、布拉格方程的导出 如图2-7，在LL1处为同相位的一束单色平行X射线，以 角照射到原子面AA上，在反射方向到达NN1处为同光程；入 射线LM 照射到AA晶面的反射线为MN，入射线 L1M1 照射到 相邻晶面BB的反射线为 M2N2，它们到达NN2处的光程差  = PM2+QM2 = 2dsin 若X射线波长为，则相互加 强的条件为 2dsin = n (2-7) 此式即为著名的布拉格方程 图2-7 布拉格方程的导出

第二节 布拉格方程 二、布拉格方程的讨论 布拉格方程 2dsin =n 中，入射线(或反射线)与晶面间的 夹角 称为掠射角或布拉格角；入射线和衍射线之间的夹 角2 称为衍射角；n 称为反射级数 将衍射看成反射是布拉格方程的基础。X射线的晶面衍射 和光的镜面反射有所不同，X射线只有在满足布拉格方程 的 方向才能反射，因此称选择反射 布拉格方程简单明确地指出获得X衍射的必要条件和衍射 方向，给出了d、、n和 之间的关系

第二节 布拉格方程 二、布拉格方程的讨论 1.反射级数 如图2-8，若X射线照射到晶体的(100)时，恰好能发生2 第二节 布拉格方程 二、布拉格方程的讨论 1.反射级数 如图2-8，若X射线照射到晶体的(100)时，恰好能发生2 级反射，则有2d100sin = 2 ；设想在(100)面中间均插入与其 完全相同的(200)面，可以把(100)的 2级反射看作是(200)的1级反射，则 布拉格方程为2d200sin =  ；又可写 成，2(d100/2)sin = ，即 或 (2-10) 图2-8 2级反射示意图

第二节 布拉格方程 二、布拉格方程的讨论 2.干涉面指数 把晶面(hkl)的n级反射面n(hkl)用符号(HKL)表示，称为反 射面或干涉面 第二节 布拉格方程 二、布拉格方程的讨论 2.干涉面指数 把晶面(hkl)的n级反射面n(hkl)用符号(HKL)表示，称为反 射面或干涉面 (hkl)是晶体中实际存在的晶面， (HKL)只是为了简化问题 而引入的虚拟晶面 干涉面指数称为干涉指数，H=nh，K=nk，L=nl，当n =1 时，干涉面指数即为晶面指数 在X射线结构分析中，一般使用干涉面的面间距

第二节 布拉格方程 二、布拉格方程的讨论 3.掠射角 掠射角 是入射线(或反射线)与晶面间夹角，一般用于表征 衍射方向 第二节 布拉格方程 二、布拉格方程的讨论 3.掠射角 掠射角 是入射线(或反射线)与晶面间夹角，一般用于表征 衍射方向 当 一定时，d 相同的晶面必然在 相同的方向才能获得反 射。用单色X射线照射多晶体时，各晶粒d 相同的晶面，其 反射方向( )相同 当 一定时，  随d 值减小而增大，说明间距较小的晶面对 应于较大的掠射角，否则其反射线就无法加强

第二节 布拉格方程 二、布拉格方程的讨论 4.衍射极限条件 第二节 布拉格方程 二、布拉格方程的讨论 4.衍射极限条件 掠射角 极限范围是0~90，但过大和过小均会造成衍射观 测的困难。由于sin ≤1，使得反射级数n或干涉面间距d 受到限制 当d 一定时，n 随  较小而增大，采用短波长X射线照射， 可获得较高级数的反射 因dsin = / 2，故 d≥/2，说明只有间距大于或等于X射线 半波长的干涉面才能参与反射，采用短波长的X射线照射 时，参与反射的干涉面将会增多

第二节 布拉格方程 二、布拉格方程的讨论 5.应用 布拉格方程是X射线衍射分析中最重要的基础公式，能简 单方便地说明衍射的基本关系 第二节 布拉格方程 二、布拉格方程的讨论 5.应用 布拉格方程是X射线衍射分析中最重要的基础公式，能简 单方便地说明衍射的基本关系 用已知波长的X射线照射晶体，通过衍射角2的测量计算 晶体中各晶面的面间距d，这就是 X 射线结构分析 用已知面间距d的晶体反射样品激发的X射线，通过衍射角 2 的测量计算X射线的波长，这就是X射线光谱分析

第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 图2-9表明，入射线与衍射线的单位矢量与之差垂直于衍 第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 图2-9表明，入射线与衍射线的单位矢量与之差垂直于衍 射面，且其绝对值为： ，代入布拉格方程得 (2-11) 即矢量 ghkl = k-k 垂直于衍射面 (hkl)， 且绝对值等于晶面间距 的倒数，这一结果把我们引入 一个解决衍射问题的矢量空间 —倒易空间 图2-9 入射矢量k与衍射矢量k的关系

第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的定义和性质 第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的定义和性质 通常把晶体点阵（正点阵）所占据的空间称为正空间。所谓倒易点阵，是指在倒空间(量纲为[L]-1)内与某一正点阵相对应的另一个点阵 倒易点阵是爱瓦尔德在1924年建立的一种晶体学表达方法 正点阵和倒易点阵是在正、倒两个空间内相互对应的统一体，它们互为倒易而共存 倒易点阵十分巧妙地、正确地反映晶体点阵周期性的物理本质，是解析晶体衍射的理论基础，是衍射分析工作不可缺少的工具

第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的定义和性质 1.倒易点阵的定义 第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的定义和性质 1.倒易点阵的定义 设正点阵的基本矢量为a、b、c，定义相应的倒易点阵基 本矢量为a*、b*、c*，则有 (2-12) 式中，V是正点阵单胞的体积，

第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的定义和性质 2.倒易点阵的性质 1) 倒易点阵基本矢量 第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的定义和性质 2.倒易点阵的性质 1) 倒易点阵基本矢量 (2-13) 正倒点阵异名基矢点乘积为0，由此可确定倒易点阵基本矢 量的方向 (2-14) 正倒点阵同名基矢点乘积为1，由可确定倒易点阵基本矢量 的大小 ，即 (2-15)

第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的定义和性质 2.倒易点阵的性质 2) 倒易点阵矢量 第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的定义和性质 2.倒易点阵的性质 2) 倒易点阵矢量 在倒易空间内，由倒易原点O*指向坐标为hkl的阵点矢量称 倒易矢量，记为ghkl (2-16) 倒易矢量ghkl与正点阵中的(hkl)晶面之间的几何关系为 (2-17) 倒易矢量ghkl可用以表征正点阵中的(hkl)晶面的特性(方位和 晶面间距)

第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的定义和性质 2.倒易点阵的性质 3) 倒易球(多晶体倒易点阵) 第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的定义和性质 2.倒易点阵的性质 3) 倒易球(多晶体倒易点阵) 单晶体的倒易点阵是由三维空间规则排列的阵点所构成，它与相应正点阵属于相同晶系 多晶体由无数取向不同的晶粒组成，其倒易点阵是由一系列不同半径的同心球面而构成 多晶体同族{hkl}晶面的倒易矢量在三维空间任意分布，其端点的倒易阵点将落在以O*为球心、以 1/d hkl (ghkl)为半径的球面上

第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (二) 爱瓦尔德图解 由(2-11)式可得， (2-18) 第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (二) 爱瓦尔德图解 由(2-11)式可得， (2-18) 此式即为倒易空间的衍射方程 容易证明它与布拉格方程是等效的 当(hkl)面发生衍射时，其倒易矢量ghkl的 倍等于入射线与衍射线的单位矢量之差 k  k 矢量式(2-18)的几何图形表达形式，即为爱瓦尔德图解

第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (二) 爱瓦尔德图解 如图2-10，入射矢量的端点指向倒易原点O*，以入射方 第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (二) 爱瓦尔德图解 如图2-10，入射矢量的端点指向倒易原点O*，以入射方 向上的C点作为球心，半径为1/作球，球面过O*，此即为爱 瓦尔德(或反射球) 若某倒易点hkl落在反射球面上， 该晶面将发生衍射，衍射线的方 向由反射球心指向该倒易点 爱瓦尔德图解可直观地说明(hkl) 晶面能否发生衍射、以及衍射线 的方向 图2-10 爱瓦尔德图解

第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (三) 晶体衍射花样的特点 1) 单晶体衍射花样 第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (三) 晶体衍射花样的特点 1) 单晶体衍射花样 用垂直于入射线放置的感光底片记录，单晶体衍射花样由 规则排列的衍射斑点组成 2) 多晶体衍射花样 如图2-11，用垂直于入射线的 底片记录，为一系列同心的衍射 环；若用围绕试样的条形底片记 录，为一系列衍射弧段；用绕试 样扫描的计数管接收信号，则为 一系列衍射谱线 图2-11 多晶体衍射花样的形成

第三节 X射线衍射方法 一、劳埃法 劳埃法是最早的X射线衍射方法，采用连续X射线照射不 动的单晶体，用垂直于入射线的平底板记录衍射线而得到劳 埃斑点，见图2-12 。连续谱的波 长范围为 0~m，其中波长满足布 拉格条件晶面将发生衍射 主要用于单晶取向测定及晶体对 称性研究 图2-12 劳埃法

第三节 X射线衍射方法 二、周转晶体法 周转晶体法采用单色X射线照射转动的单晶体，并用以 晶体旋转轴为轴线的圆筒形底板记录衍射花样，见图2-13。 晶体转动时，某晶面与 X 射线间 夹角 将连续变化，而在某些特 定位置满足布拉格条件而产生衍 射斑点，衍射花样呈层线分布 主要用于单晶取向测定及晶体对 称性研究 图2-13 周转晶体法

第三节 X射线衍射方法 三、粉末法 粉末法用单色X射线照射多晶试样，见图 2-14。粉末法 是衍射分析中最常用的方法，可以用粉末试样或块状样品， 其衍射花样能提供多种信息 可用于晶体结构测定、物相定性和 定量分析、精确测定点阵参数、以 及材料内应力、织构、晶粒尺寸等 测定 粉末法是各种多晶体X射线分析的 总称，其中德拜-谢乐最具典型性 目前最实用的方法是X射线衍射仪 法 图2-14 粉末法示意图