第四章 级数 §1 复数项级数

1. 复数列的极限 设{an}(n=1,2,. )为一复数列, 其中an=an+ibn, 又设a=a+ib为一确定的复数 1. 复数列的极限 设{an}(n=1,2,...)为一复数列, 其中an=an+ibn, 又设a=a+ib为一确定的复数. 如果任意给定e>0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-a|<e在n>N时成立, 则a称为复数列{an}当n时的极限, 记作 此时也称复数列{an}收敛于a.

定理一 复数列{an}(n=1,2,...)收敛于a的充要条件是 [证] 如果 , 则对于任意给定的e>0, 就能找到一个正数N, 当n>N时,

反之, 如果

2. 级数概念 设{an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列, 表达式 sn=a1+a2+...+an 称为级数的部分和. 如果部分和数列{sn}收敛,

定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛 [证] 因sn=a1+a2+. +an=(a1+a2+. +an). +i(b1+b2+ 定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛 [证] 因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an) +i(b1+b2+...+bn)=sn+itn, 其中sn=a1+a2+...+an, tn=b1+b2+...+bn分别为 和 的部分和, 由定理一, {sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{tn}的极限存在, 即级数 和 都收敛.

定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.

定理三 [证]

另外, 因为 的各项都是非负的实数, 所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定. 另外, 因为 的各项都是非负的实数, 所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定. 例1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.

[解] 1) 因

2) 由于 an=n cos in=n ch n,因此, 当n时, an. 所以an发散. 例2 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛? [解] 1) 因 发散 ; 收敛, 故原级数发散.

3) 因 收敛; 也收敛, 故原级数收敛. 但因 为条件收敛, 所以原级数非绝对收敛. 2) 因 , 由正项级数的比值审敛法知 收敛, 故原级数收敛, 且为绝对收敛. 3) 因 收敛; 也收敛, 故原级数收敛. 但因 为条件收敛, 所以原级数非绝对收敛.

§2 幂级数

1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式 sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z) 称为这级数的部分和.

如果对于D内的某一点z0, 极限 存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0)称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和一定是z的一个函数s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+... s(z)称为级数 的和函数

当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时, 就得到函数项级数的特殊情形: 这种级数称为幂级数. 如果令z-a=z, 则(4.2.2)成为 , 这是 (4.2.3)的形式, 为了方便, 今后常就(4.2.3)讨论

定理一(阿贝尔Abel定理) y z0 O x

[证]

2. 收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理, 可以定出幂级数的收敛范围, 对一个幂级数来说, 它的收敛情况不外乎三种: i) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛. ii) 对所有的正实数除z=0外都是发散的. 这时, 级数在复平面内除原点外处处发散. iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的正实数. 设z=a (正实数)时, 级数收敛, z=b (正实数)时, 级数发散.

显然a<b, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色. y Cb R CR Ca a O b x

当a由小逐渐变大时, Ca必定逐渐接近一个以原点为中心, R为半径的圆周CR. 在CR的内部都是红色, 外部都是蓝色 当a由小逐渐变大时, Ca必定逐渐接近一个以原点为中心, R为半径的圆周CR. 在CR的内部都是红色, 外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆. 在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部, 级数绝对收敛. 收敛圆的半径R称为收敛半径. 所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛圆上是否收敛, 则不一定.

例1 求幂级数 的收敛范围与和函数. [解] 级数实际上是等比级数, 部分和为

3.收敛半径的求法

例2 求下列幂级数的收敛半径

4. 幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样, 复变幂级数也能进行有理运算. 设 4. 幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样, 复变幂级数也能进行有理运算. 设 在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.

更为重要的是代换(复合)运算 这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.

当|z-a|<|b-a|=R时 级数收敛 y b a O x

3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即