微积分学基本定理 与定积分的计算
一 变限积分与原函数的存在性 1 变限积分的概念 定义
2 变限上积分的性质 1) 连续性 定理9.9
证明:
2) 原函数存在定理(微积分学基本定理) 定理9.10 证
由积分中值定理得
注 （1） （2）
(i) 解决了原函数的存在性问题 精僻地得出: 上的连续函数一定存在原函数,且 是 的一个原函数这一基本结论. (ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系 为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学 基本定理. (iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据 定理指出 是 的一个原函数,而 又是变上限 积分,故
（iiii) Newtom—leibnize公式（微积分基本公式）证明 证明:
令 则 令 牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式
微积分基本公式表明： (2)求定积分问题转化为求原函数不定积分的的问题.
例 求 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 解
3 积分第二中值定理 1) 定理9.11
2) 推论 证明:
因此证得
二 换元积分法与分部积分法 问题的提出 我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中有换元法，那么定积分是否也有换元法，有哪些不同？ 在一定条件下，可以用换元积分法与分 部积分法来计算定积分.
1 定积分的换元法 (Formula for Integration by Substitution) 定理9.12 则有定积分换元公式
证明：
说明 （1） （2） （3）
例1 计算 解 令 原式
例2 计算 解 令 此题也可简要记法如下：
例3 计算 解
它与上面第三个积分相消,故
(Formula for Integration by Parts) 2 定积分的分部积分法 (Formula for Integration by Parts) 定理9.13 定积分的分部积分公式 注:为方便起见,分部积分公式常写成
证明
例4 计算 解
作 业： P216 2、3 、6 P221 1、（1）-（8） 2、（1）-（5）、4