第十一章 理论流行病学 （Theoretical Epidemiology）

描述流行病学 流行病学研究方法 观察法 分析流行病学 实验法 实验流行病学 数理法 理论流行病学、

第一节 概述 一、理论流行病学的概念

理论流行病学（theoretical epidemiology) 又称数学流行病学，是用数学模型来描述疾病流行的规律、人群的健康状况以及卫生事件的分布，从理论上探讨防治措施及其效果的方法。

信息简化、数学提炼和理论概括 。 必须扎根于流行病学调查研究的土壤。 数学模型是理论流行病学研究的主要工具。

二、理论流行病学的发展简史

理论流行病学的发展 第一阶段（1940年以前）， 理论流行病学发展的最初阶段。其特点是以确定性模型（deterministic model）研究为主流，采用的数学模型较简单。 第二阶段（1940年～1957年） 理论流行病学发展的中期。其特点是确定性模型与随机性模型同时发展。 第三阶段（1957年以后） 理论流行病学的近期发展阶段。其特点是多种新理论和新模型的产生，实用性增强。

随着计算机的广泛应用和新的数理方法的不断引入，近年来相继出现了多等级（多状态）模型、时间序列模型、时空聚集性模型等等。非线性理论发展推动了混沌论、协同论、奇异点理论、灰色模型等方法的研究。数学模型模拟和计算机使用在流行病学研究中已成为不可缺少的手段和工具，理论流行病学在阐释疾病分布、评价防制措施效果、制定疾病控制策略等方面正发挥着愈来愈重要的作用。

第二节 流行病学数学模型的建立 一、模型的构建过程

数学建模 （mathematical modeling） 明确目的，收集准确的数据和资料 提出假设，选择适当的数学模型结构 估计参数，建造流行病学数学模型 反复修正，直至获得满意的模型

二、模型的假设条件 （以Reed-Frost模型为例 ）

1. 感染通过有效接触，直接由感染者传播给易感者 2. 在疾病流行期间，人群中任何两个个体都以相同的概率进行有效接触 3. 人群中的易感者与感染者充分接触后，按一定的概率被感染，并在其后一定时间内传染给他人，然后获得完全免疫 4. 所研究的人群与外界完全隔离 5. 以上条件在流行期间保持不变

三、模型的结构与参数

“有效接触率”指的是因接触而受传染的概率。 Reed—Frost模型中最主要的参数 “有效接触率”指的是因接触而受传染的概率。 假设单位时间内一个病例平均同K个人发生有效接触为P0，则： P0 = K / ( N – 1 ) N：该人群人口总数 N – 1：总人口数减去同其他人接触的病例本人。 有效接触率是易感者数和病例数的函数， 可表示为：C（t+1）= P0•C（t）•S（t）

当S（t）个易感者与C（t）个病例接触时，第（t+1）代的新病例数应为： C（t+1） = S（t）（1 – q C (t）) 即下一代的病例数取决于上一代的病例数、易感者人数和有效接触率。

流程图中各参数与变量的关系可转换成数学表达式： C（t+1） = S（t）（1 – q C (t) ） S（t+1） = S（t） - C（t+1） I（t+1） = I（t） + C（t）

实例：上海市某全托儿所发生水痘流行 流行期间儿童人数 196人 过去患过水痘而此次未感染者 40人 流行期间儿童人数 196人 过去患过水痘而此次未感染者 40人 查不出水痘感染史，而在此次流行期间感染水痘 96人 过去既无明确的水痘史，而此次又显然没有感染史 60人 全部流行期间 79天

表11-1 1950年某托儿所水痘流行过程的观察值 代数（t） 高峰日期 高峰间隔时间（天） 病例数 累积 1 10月 9日 2 10月24日 15 3 11月 8日 14 17 4 11月25日 38 55 5 12月8日 34 89 其后零星出现的病例数 7 96

表11-2 Reed-Frost模型拟合 （有效接触率（P） = 0.03） 代数 观察值 理论值 各代新病例数 C（t+1） = S（t）（1 - qC t） 病例数 易感者数 1 155 1（初例） 2 153 4.7 150.3 155（1 – 0.97 1） = 4.7 3 14 139 20.0 130.3 150.3（1 – 0.97 4.7） = 20.0 4 38 101 59.4 70.9 130.3（1 – 0.97 20.0） = 59.4 5 34 67 59.3 11.6 70.9（1 – 0.97 59.4） = 59.3 6 7 60 9.7 1.9 11.6（1 – 0.97 59.3） = 9.7 0.5 1.4 1.9（1 – 0.97 9.7） = 0.5 χ2 = 22.6， ν= 4， P < 0.01

表11-3 各代预期病例数与观察值的比较 χ2（3） P 各代病例数 代数（t） 1 2 3 4 5 实际观察值 14 38 34 表11-3 各代预期病例数与观察值的比较 各代病例数 χ2（3） P 代数（t） 1 2 3 4 5 实际观察值 14 38 34 理论值（P = 0.02） 3.1 9.2 24.2 45.8 13.7 < 0.005 （P = 0.023） 3.6 12.2 34.4 57.7 10.9 0.01< P <0.025 （P = 0.0231） 34.5 58.0 11.1 （P = 0.024） 3.7 13.0 37.5 60.3 < 0.01 （P = 0.025） 3.9 14.2 41.3 62.0 13.6

随机性Reed－Frost模型 以γ 代表St到0之间的某一整数值（γ= 0，1，2 ……，St），则在（t+1）时发生γ 个病例的概率可用下述公式计算。

例：在5个易感者的群体中发生了1个病例，假定P = 0.2， 那么， 下一代发生病例的人数是 0，1，2 的概率分别是：

四、模型的拟合与修正

假设每增加1个免疫者可保护1个易感者，即易感者的阈值为50%，低于此阈值，流行就停息，则： 水痘实例中共有156例易感者，在流行结束时尚有60人未患水痘，即剩余的易感者为38.46%，虽低于易感者的阈值50%，但以P=0.0232拟合，算得的各代理论病例数与观察值十分逼近。

假设每增加2个免疫者可保护1个易感者，即易感者的阈值为33%，低于此阈值，流行就终止，则： 式中∑I / 2是上一代累积的免疫者在易感者中起的免疫屏障作用。[St -（∑I /2）] 表示易感者中除去受免疫者保护的易感者外，还剩下的可能发生有效接触的易感人数。该实例在流行结束时易感者为38%，略高于理论值33%。以有效接触率P=0.0279代入模型，拟合度颇佳（P=0.65）。

引入隐性感染的概念。设定β为流行过程中隐性感染与显性感染的比例常数，β∑Ci 为第t代时已累积的隐性感染者数，则： 由于隐性感染者的传染力一般低于或远低于显性感染的病例，故在此修正公式中将其忽略不计。 用此模型对水痘流行实例进行模拟（P=0.0245，隐性感染比例β=0.54），经统计检验，效果甚佳。

表11-4 修正模型的拟合比较 各代病例数 χ2（3） P 代 数（t） 1 2 3 4 5 实际观察值 14 38 34 表11-4 修正模型的拟合比较 各代病例数 χ2（3） P 代 数（t） 1 2 3 4 5 实际观察值 14 38 34 理论值（式11.6模型） 37 1.04 >0.05 （式11.7模型） 45 3.52 （式11.8模型） 13 43 3.23

第三节 流行病学数学模型的 抽象研究 一、变动有效接触率对流行过程 的影响

假设易感者总数为500，当发生1名病例后，各代新病例数C（t+1）计算如下， 表11-5 各代新病例数的计算（有效接触率P =0.05） 代数 病例 易感者 累积免疫者 新病例 C（t+1）的算式 1 499 （499 – 0）（1 – 0.951） = 24.95 2 25 474 （474 – 1）（1 – 0.9525）=341.79 3 342 132 26 （132 – 26）（1 – 0.95342）= 106 4 106 368 26 – 368 < 0

表11-6 不同的有效接触率对流行过程的影响 流行代数 P=0.005 P=0.01 P=0.05 （t） 病例数 易感者 1 499 2 表11-6 不同的有效接触率对流行过程的影响 流行代数 P=0.005 P=0.01 P=0.05 （t） 病例数 易感者 1 499 2 497 5 494 25 474 3 492 24 470 342 132 4 12 480 99 371 106 26 28 452 215 156 6 57 395 7 86 309 8 71 238 9 14 224

二、隔离对流行过程的影响

表11-7 各代新病例数的计算 （P=0.05，每代隔离1/5新病例）   代数 病例 易感者 累积免疫者 新病例 C（t+1）的算式 1 499 2 25 474 （499 – 0）（1 – 0.951）= 24.95 3 303 171 26 （474 – 1）（1 – 0.9520）=303.43 4 145 329 （171 – 26）（1 – 0.95242）= 145

表11-8 不同的隔离率对流行过程的影响 P P = 0.005 P = 0.01 P = 0.05 50% 20% 33% 代数 C S 表11-8 不同的隔离率对流行过程的影响 P P = 0.005 P = 0.01 P = 0.05 隔离率 50% 20% 33% 代数 C S 1 499 2 497 5 494 25 474 3 495 492 15 479 19 475 275 199 303 171 4 493 10 482 45 434 66 409 173 26 145 491 463 108 326 159 250 6 489 32 431 134 192 115 135 7 487 48 383 11 181 … 合计 201 233 319 365

三、预防接种对流行过程的 影响

假设条件 流行代数 病例 易感者 累积免疫者 表11-9 不同的预防接种率对流行过程的影响 S→I P =0.05 1/5 S→I 1 表11-9 不同的预防接种率对流行过程的影响 假设条件 流行代数 病例 易感者 S→I 累积免疫者 P =0.05 1/5 S→I 1 499 2 25 374 100 101 3 270 102 75 201 1/3 S→I 308 166 167 103 295 P =0.01 5 394 14 301 79 185 4 15 226 60 259 P =0.005 397 315 182 250 63 248

第四节 流行病学数学模型 实例简介

一、催化模型 催化模型的假设条件 催化模型的主要类型 1.简单催化模型 2.可逆催化模型 3.两极催化模型 二、流行病学阈模型

催化模型假设条件 所研究的人群为一封闭人群 所有个体在初始阶段都是易感者 感染力恒定，以单位时间内有效接触率表示 有明确的测定受到感染的指征

简单催化模型 适用于描述能产生持久免疫力的疾病流行过程 Y = K（I – e–rt），式中e为自然对数底， r为有效接触率，t为时间，K为显性感染率（取值为0~1）。

可逆催化模型 免疫持续时间较短的疾病 式中C为一常数。

两极催化模型 假设人群中易感者在任何时间t，以有效接触率a转变为“感染者”X，其感染指征为阳性，同时，原来的被感染者又以b频率失去感染指征，这部分人以Z表示，他们虽失去感染指征，但因已获得免疫力而不再受感染，故“经常保持显性感染者”Y=X – Z，通式：

催化模型是一种确定性模型。 所描述的是患病率同年龄的函数关系，用于对沙眼、麻疹、腮腺炎等疾病年龄分布的研究。 近来Schenzle等发展了一种传染力依赖于时间的催化模型，用于解释在不同地区观察到的甲型肝炎抗体阳性率年龄分布的差异。

关于模型的类型 确定性和随机性 确定性模型：初级阶段，直观、丰富、复杂、简捷 随机性模型：在确定性模型对重要流行因素参数准确估计的基础上，少、灵活、实际

第五节 理论流行病学研究 的应用

解析流行过程，预测流行趋势 定量研究流行过程中各因素 的作用 设计和评价控制疾病的方案 检验病因假设 应用于教学和培训

展望 理论流行病学研究，促进了新的数学理论和方法的产生 非传染病及健康现象的理论流行病学研究的发展，导致了新的研究方法的产生