统计学原理

第四章 综 合 指 标 学习 目 的 综合指标法是统计研究的基本方法之一。从广义上说，所有的统计指标都可以称为综合指标。但这里讲的综合指标是将所有的统计指标按其指标数值的表现形式不同归纳起来的四大类基本指标，它们是：总量指标、相对指标、平均指标和变异指标。通过本章的学习要求了解四类基本指标的概念、特点，掌握各类指标的计算方法，并能结合实际资料进行计算分析。

在学习过程中主要解决以下几个问题 总量指标的含义、作用和种类 相对指标的含义、种类和计算 平均指标的含义、种类和计算 第四章 综合指标 在学习过程中主要解决以下几个问题 总量指标的含义、作用和种类 相对指标的含义、种类和计算 平均指标的含义、种类和计算 变异指标的含义、作用和计算

第一节 总 量 指 标 一、总量指标的概念和作用 1、概念： 总量指标是反映社会经济现象发展的总规模或 工作总量的综合指标。 第四章 综合指标 第一节 总 量 指 标 一、总量指标的概念和作用 1、概念： 总量指标是反映社会经济现象发展的总规模或 工作总量的综合指标。 是对社会经济现象认识的起点。 2、作用 是编制计划、实行经营管理的重要依据。 是计算相对指标和平均指标的基础。

第一节 总 量 指 标 二、总量指标的种类 1、按反映现象总体内容的不同 总体单位总量 总体标志总量 (P75表4-1) 时期指标 第四章 综合指标 第一节 总 量 指 标 二、总量指标的种类 1、按反映现象总体内容的不同 总体单位总量 总体标志总量 (P75表4-1) 时期指标 2、按反映时间状况的不同 时点指标 时期指标是反映某种社会经济现象在一段时间发展变化结果的总量指标，是通过连续登记数据资料并累计得到的。 二者区别： 1、时期指标数值连续统计，时点指标数值间断统计； 2、时期指标可以累计，时点指标数值直接累计没意义； 3、时期指标数值大小和统计期限长短有关，时点指标数 值大小与时间间隔长短没有直接关系。 时点指标是反映社会经济现象在某一时间（瞬间）状况上的总量指标。

通过下表：1、区分总体单位总量与总体标志总量； 2、区分时期指标与时点指标。 第四章 综合指标 通过下表：1、区分总体单位总量与总体标志总量； 2、区分时期指标与时点指标。 单 位 名 称 企业数 （个） 职工人数 （人） 固定资产增加额（万元） 工业增加值 （万元） 纺织局 化工局 机械局 300 250 450 8000 5000 7000 1000 2000 200 500 合 计 20000 总体单位总量 总体标志总量 时点指标 时期指标

三、总量指标的计量单位 四、总量指标统计的要求 自然单位：头、辆、人 度量衡单位：米、公斤、吨 实物单位 双重单位：台/千瓦、人/平方公里 第四章 综合指标 三、总量指标的计量单位 自然单位：头、辆、人 度量衡单位：米、公斤、吨 实物单位 双重单位：台/千瓦、人/平方公里 计量单位 货币单位 复合单位：吨公里、千瓦小时 劳动量单位：工时、工日等 实物指标 价值指标（货币指标） 劳动量指标 四、总量指标统计的要求 1、计算总量指标必须对指标的含义、范围做严格的确定。 2、计算实物总量指标时，要注意现象的同类性。 3、计算总量指标要有统一的计量单位

第二节 相 对 指 标 一、相对指标的概念、作用及表现形式 概念： 相对指标是两个相互联系的现象数量的比率，用以反映 第四章 综合指标 第二节 相 对 指 标 一、相对指标的概念、作用及表现形式 概念： 相对指标是两个相互联系的现象数量的比率，用以反映 现象的发展程度、结构、强度、普遍程度或比例关系等。 作用： 1、为人们深入认识事物发展的质量与状况提供客观依据； 2、可以使不能直接对比的现象找到可以对比的基础。 无名数：百分数、千分数、成数、系数、倍数 表现形式 有名数：由分子、分母指标的计量单位构成。 如公斤/人、人/平方公里

第二节 相 对 指 标 二、相对指标的种类及计算方法 （一）结构相对指标 （二）比例相对指标 （三）比较相对指标 （四）强度相对指标 第四章 综合指标 第二节 相 对 指 标 二、相对指标的种类及计算方法 （一）结构相对指标 （二）比例相对指标 （三）比较相对指标 （四）强度相对指标 （五）动态相对指标 （六）计划完成程度相对指标

（一）结构相对指标 结构相对指标是反映总体内部构成特征和现象的类型特 征的统计指标。 计算方法 以总体总量作为比较标准，求出各组总量占总体 第四章 综合指标 （一）结构相对指标 结构相对指标是反映总体内部构成特征和现象的类型特 征的统计指标。 计算方法 以总体总量作为比较标准，求出各组总量占总体 总量的比重。所以，又称比重指标。 指标特点 各组或各部分占总体的比重之和，必须为1或100% 例如：对市场上销售的某种产品的质量进行抽查，抽查 结果为，合格品的数量占全部抽查产品数量的85%。

（二）比例相对指标 概念： 比例相对指标是总体中不同部分数量对比的相对指标， 用以分析总体范围内各个局部、各个分组之间数量的比例 关系。 第四章 综合指标 （二）比例相对指标 概念： 比例相对指标是总体中不同部分数量对比的相对指标， 用以分析总体范围内各个局部、各个分组之间数量的比例 关系。 计算方法： 指标特点： 是同一总体内不同部分数量对比的结果。一般用 百分比表示，也可用几比几的形式表示。 例如：将全部工业按其生产产品的用途不同，分为轻工业 和重工业，某地区轻、重工业的产值之比为：1.2:1。 又如：五（3）班的男生与女生之比为4 : 3。

（三）比较相对指标 概念： 比较相对指标是不同单位的同类现象数量对比确定的相对 指标，用以说明某一同类现象在同一时间内各单位发展的不平 第四章 综合指标 （三）比较相对指标 概念： 比较相对指标是不同单位的同类现象数量对比确定的相对 指标，用以说明某一同类现象在同一时间内各单位发展的不平 衡程度，以表明同类事物在不同条件下的数量对比关系。 计算方法 同类指标在不同空间下进行对比。 指标特点 一般用百分数或倍数表示。 例如：甲城市居民的平均收入是已城市居民收入的1.5倍。 2005年上海市生产总值是北京市生产总值的2.15倍。

（四）强度相对指标 概念： 是用来表明某一现象在另一现象中发展的强度、密度或 普遍程度的相对指标。 计算方法： 指标特点： 第四章 综合指标 （四）强度相对指标 概念： 是用来表明某一现象在另一现象中发展的强度、密度或 普遍程度的相对指标。 计算方法： 指标特点： 是两个性质不同而又有联系的总量指标之间的对比。指标数值的计量单位可以是无名数，如百分数、千分数，也可以是有名数，如：吨公里、人/平方公里等。有正、逆指标之分。 例如：某城市每万人拥有的零售商业网点数为10个/万人（正）； 或每个零售商业网点服务于1000人/个（逆）。

（五）动态相对指标 被研究的时期，又称 本期、现期、计算期 概念：反映同类现象在不同时间上变动程度的相对指标。 计算方法： 第四章 综合指标 （五）动态相对指标 被研究的时期，又称 本期、现期、计算期 概念：反映同类现象在不同时间上变动程度的相对指标。 计算方法： 作为比较基准的时期 特点： 是不同时间的同类指标进行对比。计算结果用 百分数表示。 例如：某商业企业2月份的销售额是1月份的120%。

例题：想一想可以计算哪几种相对指标？ 1982年 1990年 人口总数 其中：男 女 101654 52352 49302 114333 第四章 综合指标 例题：想一想可以计算哪几种相对指标？ 单位：万人 根据第四次人口普查调整数 1982年 1990年 人口总数 其中：男 女 101654 52352 49302 114333 58904 55429 又知我国国土面积为960万平方公里。 √ 结构相对指标 √ 比例相对指标 × 比较相对指标 √ 强度相对指标 √ 动态相对指标

（六）计划完成程度相对指标 实际完成数 基本公式： 计划完成程度（%）= 计划任务数 1、以绝对数形式计算计划完成程度相对指标 第四章 综合指标 （六）计划完成程度相对指标 实际完成数 基本公式： 计划完成程度（%）= 计划任务数 1、以绝对数形式计算计划完成程度相对指标 检查某一时期的计划完成情况：月度、季度、年度 检查短期计 划完成情况 检查计划执行的进度：计划期内某一段时间的 实际完成数与计划全期的计划数进行对比。 检查长期计 划完成程度 2、以相对数形式计算计划完成程度相对指标

某企业生产某种产品产量计划完成情况如下：单位（吨） 第四章 综合指标 例 题 1： 某企业生产某种产品产量计划完成情况如下：单位（吨） 月份 计划产量 实际产量 一 二 三 1800 1225 1720 2665 合计 5400 5610 计划完成程度（%） 68.06 95.56 148.06 103.89 1、检查各月产量计划完成情况。 2、检查累计至二月份的产量计划完成情况。

累计法：按各年完成任务的总和下达计划任务 检查长期计 划完成程度 累计法：按各年完成任务的总和下达计划任务 水平法：按计划期末应达到的水平下达计划任务

例题2：假定某产品按五年计划规定,最末一年产量应达到 50万吨,实际产量如下表，检查长期计划完成情况。 第四章 综合指标 例题2：假定某产品按五年计划规定,最末一年产量应达到 50万吨,实际产量如下表，检查长期计划完成情况。 单位:万吨 时间 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 上 下 一 二 三 四 一 二 三 四 产量 44 45 22 24 11 12 12.5 13 13.5 12.5 12.5 13 解:计划末期实际产量: 13.5+12.5+12.5+13 = 51.5(万吨) 51.5 ×100% = 103 % 50 长期计划完成程度： 提前完成任务的时间： 检查是否有连续一年的产量达到计划规定的水平？ 从第四年的第二季度起到第五年的一季度止,实际产量已达到 计划规定的50万吨, 即12+12.5+13+13.5 = 51(万吨)，所以 提前 9 个月完成了任务。即：(60个月— 51个月 = 9 个月)

当计划任务以相对数的形式下达时，检查计划完成程度 就用相对数的形式检查。 实际完成程度（%） 第四章 综合指标 第四章 综合指标 2、以相对数形式计算计划完成程度相对指标 当计划任务以相对数的形式下达时，检查计划完成程度 就用相对数的形式检查。 实际完成程度（%） 公式：计划完成程度（%） = ———————————— 计划规定的完成程度（%） 本期实际完成数 其中： 实际完成程度（%）= ———————— 上期实际完成数 本期计划任务数 计划规定的完成程度（%） = ———————— 上期实际完成数 本期实际完成数 本期计划任务数 本期实际完成数 上期实际完成数 ÷ × ＝ 上期实际完成数 上期实际完成数 上期实际完成数 本期计划任务数 本期实际完成数 ＝ 本期计划任务数

即：超额4.5%完成提高劳动生产率的计划任务。 第四章 综合指标 例题3：假定某企业按计划规定，劳动生产率应在基期的水平 上提高 10%，实际执行结果提高了 15%，问提高劳动生产率计 划任务的完成程度是多少？ 解： 即：超额4.5%完成提高劳动生产率的计划任务。

即：差1.04%没有完成成本降低计划任务。 例题4：假定某企业按计划规定，产品单位成本应在上一 第四章 综合指标 例题4：假定某企业按计划规定，产品单位成本应在上一 年的水平上降低4%，实际降低了 3%，问降低产品成本的 计划任务的完成程度是多少？ 解： 即：差1.04%没有完成成本降低计划任务。

第三节 平 均 指 标 一、平均指标的概念、特点和作用 二、平均指标的种类及计算方法 三、算术平均数和众数、中位数的关系 第四章 综合指标 第三节 平 均 指 标 一、平均指标的概念、特点和作用 二、平均指标的种类及计算方法 三、算术平均数和众数、中位数的关系 算术平均数、调和平均数、几何平均数 众数、中位数

一、平均指标的概念、特点和作用 概念： 反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。 特点： 第四章 综合指标 一、平均指标的概念、特点和作用 概念： 反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。 特点： 平均指标将总体内各单位的差异抽象化了。平均指标是一个代表值，代表总体综合数量 特征的一般水平。

一、平均指标的概念、特点和作用 作用： 反映总体各单位变量分布的集中趋势；比较同类 第四章 综合指标 一、平均指标的概念、特点和作用 作用： 反映总体各单位变量分布的集中趋势；比较同类 现象在不同单位的发展水平，用来说明生产水平、经济效益或工作质量的差距；分析现象之间的依存关系。 种类： 算术平均数 调和平均数 几何平均数 众数 中位数 数值平均数 位置平均数

（一）算 术 平 均 数 1、算术平均数的基本公式 总体标志总量 总体单位总量 = 算术平均数 如： 第四章 综合指标 （一）算 术 平 均 数 1、算术平均数的基本公式 总体标志总量 总体单位总量 = 算术平均数 如： 用此公式计算算术平均数，必须注意分子与分母之间存在的内在经济联系。即分子是分母所具有的标志值。 强度相对指标和平均指标的区别： 某企业工人平均工资1200元/月； 某城市每万人拥有的零售商业网点数为10个/万人

（一）算 术 平 均 数 2、算术平均数的计算形式 x = ∑xi n （适用于未分组资料） （1）简单算术平均数： 第四章 综合指标 （一）算 术 平 均 数 2、算术平均数的计算形式 x = ∑xi n （适用于未分组资料） （1）简单算术平均数： 例如：已知5名工人的工资为：600元、780元、1050元、 1100元、900元。根据资料计算五名工人的平均工资： 解：设工人的工资为 “Xi”，i= 1、2、3、4、5，则工人的 平均工资为：

（2）加权算术平均数: 适用于分组资料。 根据分组资料计算算术平均数，平均数的大小不仅 受到各组变量值大小的影响，而且受到各个变量值出现 第四章 综合指标 （2）加权算术平均数: 适用于分组资料。 根据分组资料计算算术平均数，平均数的大小不仅 受到各组变量值大小的影响，而且受到各个变量值出现 次数多少的影响，因此需用下式计算其平均数： 计算公式： x = ∑xf ∑f ——　① 公式中：“X” 代表各组变量值 “f ” 代表各组变量值出现的次数或频数 “∑”为合计符号

第四章 综合指标 （2）加权算术平均数: 适用于分组资料。 因为各组变量值出现次数的多少对平均数的形成产生权衡轻重的作用，所以将“f”称为权数。权数即可以表现为“次数”的形式，也可以表现为“比重”的形式。 用“比重”权数计算算术平均数的公式为： = x ∑x f ∑f 计算公式： ——　②

A、根据单项式数列计算算术平均数 例：某企业工人按日产量分组资料如下： （x） （f） (f/∑f) 15 10 7 16 20 13 第四章 综合指标 A、根据单项式数列计算算术平均数 例：某企业工人按日产量分组资料如下： 日产量（件） 工人人数（人） （x） （f） (f/∑f) 15 10　　 7 16 20 13 17 30 20 18 50 33 19 40 27 合计 150 100 要求：根据资料计算工人的平均日产量。

第四章 综合指标 A、根据单项式数列计算算术平均数 解:按第一个公式计算 按第二个公式计算:

B、根据组距数列计算算术平均数 例：某企业职工按工资分组资料如下： 工 资 （元） 职工人数（人） x f f/∑f 第四章 综合指标 B、根据组距数列计算算术平均数 例：某企业职工按工资分组资料如下： 工 资 （元） 职工人数（人） x f f/∑f 400 —500 50 16.7 500 —600 70 23.3 600 —700 120 40.0 700 —800 60 20.0 合 计 300 100 要求：根据资料计算全部职工的平均工资。

根据组距数列计算算术平均数 工 资 （元） 组中值 x 职工人数 x f x（f/∑f） f f/∑f 400—500 500—600 第四章 综合指标 根据组距数列计算算术平均数 解：计算过程如下： 工 资 （元） 组中值 x 职工人数 x f x（f/∑f） f f/∑f 400—500 500—600 600—700 700—800 450 550 650 750 50 70 120 60 16.7 23.3 40.0 20.0 22500 38500 78000 45000 75.15 128.15 260.00 150.00 合 计 — 300 100 184000 613.3 平均工资：

C、权数在平均数形成中起的作用 两个班组工人生产资料如下：根据资料分别计算两个班组 工人的平均日产量。 一班 二班 第四章 综合指标 C、权数在平均数形成中起的作用 两个班组工人生产资料如下：根据资料分别计算两个班组 工人的平均日产量。 一班 二班 日产量 工人数 比重 日产量 工人数 比重 （件） （人） （%） （件） （人） （%） 20 2 10 20 1 5 21 1 5 21 1 5 22 15 75 22 1 5 23 1 5 23 1 5 24 1 5 24 16 80 合计 20 100 合计 20 100 ∑f ∑xf x =　 = 21.9(件) 计算得到： 一班工人平均日产量 ∑f ∑xf x =　 = 23.5(件) 二班工人平均日产量

D、权数的选择 当分组的标志为相对数或平均数时，经常会遇到选择哪一个条件为权数的问题。如： 80 — 90 5 50 第四章 综合指标 D、权数的选择 当分组的标志为相对数或平均数时，经常会遇到选择哪一个条件为权数的问题。如： 计划完成程度 企业数 计划产值 (%) (个) (万元) 80 — 90 5 50 90 —100 10 80 100 —110 120 200 110 —120 30 70 合 计 165 400 要求：计算全部企业的平均计划完成程度。

D、权数的选择 选择权数的原则: 1、变量与权数的乘积必须有实际经济意义。 2、依据相对数或平均数本身的计算方法来选择权数。 第四章 综合指标 D、权数的选择 选择权数的原则: 1、变量与权数的乘积必须有实际经济意义。 2、依据相对数或平均数本身的计算方法来选择权数。 根据原则本题应选计划产值为权数，计算如下： 平均计划完成程度：

（3）简单算术平均数与加权算术平均数的关系 第四章 综合指标 （3）简单算术平均数与加权算术平均数的关系 权数起作用必须有两个条件： 一是：各组标志值必须有差异。如果各组标志值没有差异 标志值成为常数，也就不存在权数了。 二是：各组的次数或比重必须有差异。如果各组次数或比 重没有差异，意味着各组权数相等，权数成为常数， 则不能起到权衡轻重的作用，这时加权算术平均数 就等于简单算术平均数。 用公式表示二者的关系： 当：

（二）调 和 平 均 数 调和平均数是各个标志值倒数的算术 平均数的倒数，所以又称倒数平均数。 调 和 平 均 数 的 计 算 方 法 第四章 综合指标 （二）调 和 平 均 数 调和平均数是各个标志值倒数的算术 平均数的倒数，所以又称倒数平均数。 调 和 平 均 数 的 计 算 方 法 （1）简单调和平均数 （2）加权调和平均数 社会经济统计中使用的主要 是权数为特定形式（m=xf) 的加权调和平均数。 加权调和平均数作为加权算术 平均数的变形使用，仍然依据 算术平均数的基本公式计算。

某工业局下属各企业按产值计划完成程度分组资料如下， 根据资料计算该工业局产值平均计划完成程度： 第四章 综合指标 例 题 一 某工业局下属各企业按产值计划完成程度分组资料如下， 根据资料计算该工业局产值平均计划完成程度： 计划完成程度 企业数 实际产值 (%) (个) (万元) 80 — 90 5 50 90 —100 10 80 100 —110 120 200 110 —120 30 70 合 计 165 400 组中值 m (%) x x 85 59 95 84 105 190 115 61 — 394 计划产值 m x m ∑m ∑ = = 400 394 平均计划完成程度 = 101.52% 说明：该工业局实际比计划多完成6万元，超额1.52% 完成产值计划任务。

某车间各班组工人劳动生产率和实际产量资料如下： 要求：计算五个班组工人的平均劳动生产率。 第四章 综合指标 例 题 二 某车间各班组工人劳动生产率和实际产量资料如下： 要求：计算五个班组工人的平均劳动生产率。 班组 劳动生产率 实际产量 (件 工时) (件) 一 10 1000 二 12 2400 三 15 4500 四 20 6000 五 30 6000 合计 — 19900 m x 100 200 300 1100 （总工时） x m 解：平均劳动生产率为：

（三） 众 数 众数是现象总体中最普遍出现的标志值。 它反映了现象的一种集中趋势 众 数 的 确 定 方 法 （1）由单项数列确定众数 第四章 综合指标 （三） 众 数 众数是现象总体中最普遍出现的标志值。 它反映了现象的一种集中趋势 众 数 的 确 定 方 法 （1）由单项数列确定众数 数列中出现次数最多的变量值 就是众数。（见教材P94表） （2）由组距数列确定众数 步骤：①找出众数所在的组 ②根据公式计算众数 公式： mo 下限+组距× 众数组次数—众数组前一组次数 众数组与前一 组次数之差 众数组与后一 = + （见教材P95表）

（四） 中 位 数 将总体中各单位的标志值按大小顺序排列， 处于数列中点位置的标志值就是中位数。 中 位 数 的 计 算 方 法 第四章 综合指标 （四） 中 位 数 将总体中各单位的标志值按大小顺序排列， 处于数列中点位置的标志值就是中位数。 中 位 数 的 计 算 方 法 步骤：①将资料按大小顺序排列 （1）根据未分组资 料计算中位数 + 1 2 n ②计算中位数的位次： ③确定中位数 （教材P96例题） f + 1 2 ∑ （2）根 据 单 项 数 列计算中位数 步骤：①计算数列的中间位置点： ②计算累计次数找出中位数所在的组 ③确定中位数 （教材P94表4-8）

（3）根据组距数列计算中位数 2 ∑ f 步骤： ①计算数列的中间位置点: ②计算累计次数，找出中位数所在的组 ③用公式计算中位数 第四章 综合指标 （3）根据组距数列计算中位数 2 ∑ f 步骤： ①计算数列的中间位置点: ②计算累计次数，找出中位数所在的组 ③用公式计算中位数 中位数组前一组 累计次数 中间位置点— 公式：中位数 = 下限+组距× 中位数组次数 （教材P95表4-9） 众数和中位数的主要特点： 不受极端变量值的影响

三、算术平均数和众数、中位数的关系（P97）

第四节 变 异 指 标 全距 平均差 标准差 变异系数 （一）全距：最大变量值与最小变量值之差 优点：计算简便、意义明确 第四章 综合指标 第四节 变 异 指 标 一、变异指标的概念及作用 二、变异指标的种类及计算方法 全距 平均差 标准差 变异系数 （一）全距：最大变量值与最小变量值之差 优点：计算简便、意义明确 不足：不能全面反映各单位标志值的变异情况

（二）平 均 差 是总体各单位标志值对算术平均数的 离差绝对值的算术平均数。 1、涵义： 2、特点： 以算术平均数为计算的标准 （二）平 均 差 是总体各单位标志值对算术平均数的 离差绝对值的算术平均数。 1、涵义： 根据总体单位所有标志值来计算差异程度 2、特点： 以算术平均数为计算的标准 对离差取绝对值 3、计算方法 简单平均差公式： 加权平均差公式： D = n ∑|x-x| ∑f ∑│x-x│f D = （适用于未分组资料） （适用于分组资料）

例 题 一 甲乙两个班组工人日产量资料如下： 乙班工人日产量 （件）： 18 24 32 38 48 例 题 一 甲乙两个班组工人日产量资料如下： 甲班 工人日产量（件）： 25 28 30 35 42 乙班工人日产量 （件）： 18 24 32 38 48 要求：计算平均差，比较两个班组工人平均日产 量的代表性。 解：1、计算平均日产量 甲班：x = n ∑x = 5 160 = 乙班：x = n ∑x = 5 160 32（件） = 32（件） 2、平 均 差 D = n ∑|x-x| D = n ∑|x-x| 甲班： = 5.2 (件) 乙班： = 8.8 (件) ∵甲班工人日产量的平均差小于乙班， ∴甲班工人平均日产量的代表性大于乙班。

（三）标 准 差 1、涵义： 是总体中各单位标志值对算术平均 数离差平方的算术平均数的平方根 2、计算方法： 简单标准差公式 加权标准差公式 （三）标 准 差 1、涵义： 是总体中各单位标志值对算术平均 数离差平方的算术平均数的平方根 2、计算方法： 简单标准差公式 加权标准差公式 （适用于未分组资料） （适用于分组资料） 计算标准差的简化式 或

根据资料计算工人的平均日产量和标准差： 例题2： 日产量 (x) 工人数(f) 55 10 65 24 75 36 85 22 95 8 55 10 65 24 75 36 85 22 95 8 合计 100 550 -19 3610 30250 1560 -9 1944 101400 2700 1 36 202500 1870 11 2662 158950 760 21 3528 72200 7440 11780 565300 x = ∑xf ∑f 工人平均日产量: = 74 (件) √ Σ(x - x) 2 σ = f Σf 工人日产量标准差: = 11 (件) 按简化式计算： = 11（件） σ

(四)变 异 系 数 1、涵义 用相对数形式反映各个变量值与其平均数 的离差程度，其数值表现为系数或百分数。 是全距、平均差、标准差与算术平 均数的比值。 2、计算方法： 变异系数包括：全距系数、平均差系数 、标准差系数 使用最多的是标准差系数。 σ x 标准差系数 V σ =

已知甲乙两个班组工人日产资料如下： 例题3： 要求：比较一下哪个班组工人的平均日 产量的代表性高？ 甲 班 乙 班 甲 班 乙 班 日产量 工人数 日产量 工人数 （件） （人） （件） （人） 5 6 8 11 7 10 12 14 9 12 14 7 10 8 15 6 13 4 16 2 合计 40 合计 40 要求：比较一下哪个班组工人的平均日 产量的代表性高？

解题过程如下： 甲 班 乙 班 日产量 工人数 5 6 8 11 7 10 12 14 9 15 13 4 16 2 合 计 40 30 150 88 704 70 490 168 2016 108 972 98 1372 80 800 90 1350 52 676 32 512 340 3088 476 5954

1、计算工人平均日产量： 2、计算日产量的标准差： 3、计算变异系数： 甲班： = 8.5(件) 乙班: = 11.9(件) 甲班: σ = 2.22(件) 乙班: σ = 2.69(件) 3、计算变异系数： 甲班: 乙班: ∵乙班变异系数小于甲班 ∴乙班工人的平均日产量代表性高。

第五章 抽 样 估 计 学习目的与要求 抽样估计是抽样调查的继续，它提供了一 套利用抽样资料来估计总体数量特征的方 第五章 抽 样 估 计 学习目的与要求 抽样估计是抽样调查的继续，它提供了一 套利用抽样资料来估计总体数量特征的方 法。通过本章的学习，要理解和掌握抽样 估计的概念、特点，抽样误差的含义、计 算方法，抽样估计的置信度，推断总体参 数的方法，能结合实际资料进行抽样估计。

本 章 主 要 内 容 抽样推断的一般问题 抽样误差 抽样估计的方法 抽样组织设计

第一节 抽样推断的一般问题 抽样推断是按随机原则从全部研究对 象中抽取部分单位进行观察，并根据 样本的实际数据对总体的数量特征作 第一节 抽样推断的一般问题 一、抽样推断的概念和特点 抽样推断是按随机原则从全部研究对 象中抽取部分单位进行观察，并根据 样本的实际数据对总体的数量特征作 出具有一定可靠程度的估计和判断。 1、概念： 它是由部分推断整体的一种认识方法。 抽样推断建立在随机取样的基础上。 2、特点 抽样推断运用概率估计的方法。 抽样推断的误差可以事先计算并加以控制。

参数估计 二、抽样推断的内容 假设检验 三、有关抽样的基本概念 （一）总 体 和 样 本 总体： 也称全及总体。指所要认识的研究对 象全体。总体单位总数用“N”表示。 样本： 又称子样。是从全及总体中随机抽取 出来，作为代表这一总体的那部分单 位组成的集合体。样本单位总数用“n” 表示。

（二）参 数 和 统 计 量 参数： 指反映总体数量特征的综合指标。 研究总体中 的数量标志 参数 研究总体中 的品质标志 X= ∑X N 总体平均数 X= ∑XF ∑F 研究总体中 的数量标志 Σ（X-X） N 2 σ = 总体方差 参数 Σ（X-X）F ΣF 2 σ = P = N1 N 总体成数 研究总体中 的品质标志 σ 2 = P(1-P) 成数方差

统计量: 研究数 量标志 研究品 质标质 根据样本数据计算的综合指标。 ∑x x = n 样本平均数 ∑xf x = ∑f 样本标准差 n p = 样本成数 研究品 质标质 成数标准差

（三）样本容量和样本个数 （四）重复抽样和不重复抽样 一个样本包含的单位数。用 “n”表示。 一般要求 n ≥30 样本容量： 样本个数： 从一个全及总体中可能抽取的样本数目。 （四）重复抽样和不重复抽样 重复抽样： 又称回置抽样。 n N 可能组成的样本数目： 不重复抽样： 又称不回置抽样。 可能组成的样本数目： N（N-1）（N-2）……（N-n+1）

第二节 抽 样 误 差 一、抽样误差的含义 由于随机抽样的偶然因素使样本各单位的 结构不足以代表总体各单位的结构，而引 第二节 抽 样 误 差 一、抽样误差的含义 由于随机抽样的偶然因素使样本各单位的 结构不足以代表总体各单位的结构，而引 起抽样指标和全及指标之间的绝对离差。 二、影响抽样误差大小的因素 1、总体各单位标志值的差异程度 2、样本的单位数 3、抽样方法 4、抽样调查的组织形式

三、抽样平均误差 抽样平均数 的平均误差 抽样成数 平均误差 1、概念：抽样平均误差是抽样平均数或抽样成数的 标准差。反映了抽样平均数与总体平均数 抽样成数与总体成数的平均误差程度。 2、计算方法： 抽样平均数 的平均误差 抽样成数 平均误差 （以上两个公式实际上就是第四章讲的标准差。 但反映的是样本指标与总体指标的平均离差程度）

抽样平均数平均误差的计算公式： 采用重复抽样： 此公式说明，抽样平均误差与总体标准差成正比， 与样本容量成反比。（当总体标准差未知时，可 用样本标准差代替） （教材P180例题可加以验证） 通过例题可说明以下几点： ①样本平均数的平均数等于总体平均数。 ②抽样平均数的标准差仅为总体标准差的 ③可通过调整样本单位数来控制抽样平均误差。

例题：假定抽样单位数增加 2 倍、0.5 倍时，抽样平均误差怎样变化？ 解：抽样单位数增加 2 倍，即为原来的 3 倍 则： 则： 即：当样本单位数增加2倍时，抽样平均误差为原来的0.577倍。 抽样单位数增加 0.5倍，即为原来的 1.5倍 则： 即：当样本单位数增加0.5倍时，抽样平均误差为原来的0.8165倍。

公式表明：抽样平均误差不仅与总体变异程度、 样本容量有关，而且与总体单位数的多少有关。 采用不重复抽样： 公式表明：抽样平均误差不仅与总体变异程度、 样本容量有关，而且与总体单位数的多少有关。 例题一： 随机抽选某校学生100人，调查他们的体 重。得到他们的平均体重为58公斤，标 准差为10公斤。问抽样推断的平均误差 是多少？ 例题二： 某厂生产一种新型灯泡共2000只，随机 抽出400只作耐用时间试验，测试结果 平均使用寿命为4800小时，样本标准差 为300小时，求抽样推断的平均误差？

例题一解: 已知： 则： 即:当根据样本学生的平均体重估计全部学生的平均 体重时,抽样平均误差为1公斤。 例题二解: 已知： 则： 计算结果表明：根据部分产品推断全部产品的平均使用寿命 时，采用不重复抽样比重复抽样的平均误差要小。

抽样成数平均误差的计算公式 采用重复抽样： 采用不重复抽样： 生有80人。根据样本资料推断全部学生中戴 例题三： 某校随机抽选400名学生，发现戴眼镜的学 生有80人。根据样本资料推断全部学生中戴 眼镜的学生所占比重时，抽样误差为多大？ 一批食品罐头共60000桶，随机抽查300桶 ，发现有6桶不合格，求合格品率的抽样平 均误差？ 例题四：

例 题 三 解： 已知： 则：样本成数 即：根据样本资料推断全部学生中戴眼镜的学 生所占的比重时，推断的平均误差为2%。

例 题 四 解： 已知： 但是“N”的数值越大，则两种方法计算 的抽样平均误差就越接近。 则：样本合格率 例 题 四 解： 已知： 则：样本合格率 计算结果表明：不重复抽样的平均误差小于重复抽样， 但是“N”的数值越大，则两种方法计算 的抽样平均误差就越接近。

四、抽 样 极 限 误 差 含义： 抽样极限误差指在进行抽样估计时，根据研究 对象的变异程度和分析任务的要求所确定的样 本指标与总体指标之间可允许的最大误差范围。 计算方法： 它等于样本指标可允许变动的上限 或下限与总体指标之差的绝对值。 抽样平均数极限误差： ≤ ≤ 抽样成数极限误差： = Δ p │p - P│ p －Δ ≤P≤ p＋Δ

五、抽样误差的概率度 抽样误差的概率度是测量抽样估计可靠 程度的一个参数。用符号“ t ”表示。 含义： Δ μ 公式表示： 上式可变形为： Δ = t μ （极限误差是 t 倍的抽样平均误差）

第三节 抽样估计的方法 一、总体参数的点估计 二、总体参数的区间估计 总体参数点估计的特点：P188 无偏性 一致性 总体参数优良估计的标准 第三节 抽样估计的方法 一、总体参数的点估计 总体参数点估计的特点：P188 无偏性 一致性 总体参数优良估计的标准 有效性 二、总体参数的区间估计 总体参数区间估计的特点：P195 估计值 区间估计三要素 抽样误差范围 概率保证程度

三、总体参数区间估计的方法 （一）根据给定的抽样误差范围， 求概率保证程度 1、抽取样本，计算抽样指标。 2、根据给定的极限误差范围估 分析步骤： 2、根据给定的极限误差范围估 计总体参数的上限和下限。 3、计算概率度。 4、查表求出概率F（t），并对 总体参数作出区间估计。 （例题：教材P197和P198）

（二）根据给定的概率F（t），推算 抽样极限误差的可能范围 分 析 步 骤： 1、抽取样本，计算样本指标。 分 析 步 骤： 1、抽取样本，计算样本指标。 2、根据给定的F（t）查表求得概率度 t 。 3、根据概率度和抽样平均误差计算极限误差。 4、计算被估计值的上、下限，对总体参数作 出区间估计。 （例题：教材P199）

例 题 一： 某农场进行小麦产量抽样调查，小麦 播种总面积为1万亩，采用不重复简单 随机抽样，从中抽选了100亩作为样本 进行实割实测，测得样本平均亩产400 斤，方差144斤。 要求计算： （1）以95.45%的可靠性推断该农场小 麦平均亩产可能在多少斤之间？ （2）若概率保证程度不变，要求抽样 允许误差不超过1斤，问至少应 抽多少亩作为样本？

例题一解题过程： 已知：N=10000 n=100 问题一解： 1、计算抽样平均误差 2、计算抽样极限误差 3、计算总体平均数的置信区间 上限： 下限： 即：以95.45%的可靠性估计该农场小麦平均亩产量在 397.62斤至402.38斤之间.

问题二解： 已知： 则样本单位数： 即：当 至少应抽544.6亩作为样本。

例 题 二： 某纱厂某时期内生产了10万个单位的纱，按纯随机 抽样方式抽取2000个单位检验，检验结果合格率为 例 题 二： 某纱厂某时期内生产了10万个单位的纱，按纯随机 抽样方式抽取2000个单位检验，检验结果合格率为 95%，废品率为5%，试以95%的把握程度，估计全部 纱合格品率的区间范围及合格品数量的区间范围？ 已知： 区间下限： 区间下限：

例 题 三： 为调查农民生活状况，在某地区5000户农民 中，按不重复简单随机抽样法，抽取400户 进行调查，得知这400户中拥有彩色电视机 例 题 三： 为调查农民生活状况，在某地区5000户农民 中，按不重复简单随机抽样法，抽取400户 进行调查，得知这400户中拥有彩色电视机 的农户为87户。 要求计算： 1、以95%的把握程度估计该地区全部农户 中拥有彩色电视机的农户在多大比例之间？ 2、若要求抽样允许误差不超过0.02，其它 条件不变，问应抽多少户作为样本？

例 题 三 的 问 题 一 解： 已知：N=5000 N=400 1、计算样本成数： 2、计算抽样平均误差： 3、计算抽样极限误差： 下限： 4、计算总体P的置信区间： 上限： 即：以95%的把握程度估计该地区农户中拥有彩电的农户在 17.87%至25.63%之间。

例 题 三 的 问 题 二 解： 当 其他条件不变时：

第四节 抽样组织设计 一、简单随机抽样 1、含义： 2、样本单位数的计算方法： 抽样平均数 抽样成数 重复抽样： 不重复抽样： 第四节 抽样组织设计 一、简单随机抽样 1、含义： 按随机原则直接从总体N个单位中 抽取 n 个单位作为样本。 2、样本单位数的计算方法： 通过抽样极限误差公式计算必要的样本单位数。 抽样平均数 抽样成数 重复抽样： 不重复抽样：

二、类型抽样 三、等距抽样 四、整群抽样 先对总体各单位按主要标志加以分组，然后再从 各组中按随机的原则抽选一定单位构成样本。 先按某一标志对总体各单位进行排队，然后依一 定顺序和间隔来抽取样本单位的一种组织形式。 四、整群抽样 将总体各单位划分成许多群，然后从其中随机抽 取部分群，对中选群的所有单位进行全面调查的 抽样组织形式。