拉普拉斯变换

几个重要的拉氏变换 1/(s+a) t coswt 1/s 1(t) sinwt 1 δ(t) F(s) f(t)

主要定理L[f(t)]=F(s) 1）叠加定理 L[af1+bf2]=aF1+bF2 2）微分定理 L[f ’]=sF-f(0) 初始条件 L[f n]=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f ’(0)-…-f (n-1) (0) 3）积分定理 L[∫fdt]=F(s)/s+∫fdt|t=0/s 不定积分常数项初始条件 4)延迟定理 L[f(t-T)]=e-sTF(s) 5)衰减定理 L[e-atf(t)]=F(s+a)

主要定理L[f(t)]=F(s) 6)初值定理 limf(t)|t=0=limsF(s)|s=00 条件:存在 8)卷积定理 L[f*g]=F(s)G(s) f*g=∫0tf(t-x)g(x)dx=∫0tf(x)g(t-x)dx 9)时乘变换 L[tf(t)]=-dF(s)/ds 10)时间比例变换 L[f(t/a)]=aF(as)

二.拉氏反变换 1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为 。由F(s)可按下式求出 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。

若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。

2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法 （1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和

（2）情况2:F(s)有共轭极点 例2：求解微分方程

（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点 ,而其余极点均不相同。 那么

微分方程解 解的拉氏变换 例：x”+5x’+6x=u u=1(t), x(0), x’(0) 微分方程解 解的拉氏变换 (原函数）反变换部分分式展开 (象函数) /\ /\ | 解代数方程 | 微分方程带入初始条件拉氏变换象函数代数方程 例：x”+5x’+6x=u u=1(t), x(0), x’(0) (s2+5s+6)X(s)-[(s+5)x(0)+x’(0)]=1/s 解的组成分析 强制+系统自由分量 解=零状态响应+零输入响应 =暂态响应+稳态响应 解的分量运动形式组成决定于(s2+5s+6)=0的根(特征方程)

2-1 概述 一.数学模型 1.定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。 二.线性系统 1.定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统。 三.传递函数 1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。

3.表示形式 a.微分方程 b.传递函数 c.频率系统 三种数学模型之间的关系 线性系统 传递函数 微分方程 频率特性 拉氏 变换 傅氏

例2.RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。 i(t)

依据：电学中的基尔霍夫定律 由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)

整理成规范形式

例1：RC电路如图所示 依据：基尔霍夫定律 消去中间变量 ， 则微分方程为：

对上式进行零初始条件下的拉氏变换得： 可用方框图表示 例2.双T网络

解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组： 方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：

方法二：用复阻抗法

注意：双T网络不可看成两个RC网络的串联，即：

与双T网络相比少一个交叉项R1C2S，这就是负载效应，因此双T网络不能孤立地分开，必须作为一个整体来求传递函数。当后一个RC网络接到C1两端时，u2已不再是原来的u2，也就是说R1中的电流=C1中的电流+R2中电流，不再等于C1中的电流。只有当第一个RC网络的负载阻抗为无穷大时，双T网络的传递函数才等于两个RC网络的串联。

2-4 结构图及信号流图 一.结构图的概念和组成 1.概念 2. 组成 2-4 结构图及信号流图 一.结构图的概念和组成 1.概念 将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。 2. 组成 (1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。

三.结构图的等效变换 （1）串联 X1(s) G1(s) G2(s) X(s) Y(s) G(s) X(s) Y(s)

梅逊公式 一.术语介绍 结构图中所有的引出点，比较点称节点。 2.前向通路 1.节点 结构图中所有的引出点，比较点称节点。 2.前向通路 从输入到输出，并与任何一个节点相交不多于一次的通路，叫前向通路，前向通路中各传递函数的乘积，叫前向通路增益。 3.回路

二.梅逊公式 起点和终点在同一节点，且与其他节点相交不多于一次的闭合通路叫单独回路，回路中所有传递函数的乘积叫回路增益。 4.不接触回路 相互间没有公共节点的回路称为不接触回路。 二.梅逊公式 任一结构图中，某个输入对某个输出的传递函数为

式中：n 为前向通路的条数 Pk为第k条前向通路增益 Δ为系统特征式 Δ=1-（所有单独回路增益之和）+（所有每两个互不接触回路增益乘积之和）-（所有三个互不接触回路增益乘积之和）+…… Δk为第k条前向通路特征式的余子式，即将第k条前向通路去掉，对余下的图再算一次Δ。

1 RC网络如图1、2所示，其中Ui,U0分别为网络的输入量和输出量。现要求（1）画出网络相应的结构图；（2）求传递函数U0(s)/Ui(s)，化为标准形式

注：同学作题可以不以元件为单位画。

2 RC网络如图1、2所示，其中Ur,Uc分别为网络的输入量和输出量。现要求（1）画出网络相应的结构图；（2）求传递函数Uc(s)/Ur(s)，化为标准形式

例3 画出该系统的信号流图

如果以元件为单位，按物理意义画信号流图，可以得到如下的结构。 对应方程为：

例4：求 G1 G2 ＋ － R E X Y 用Mason公式

但计算M3时，不能直接利用Mason公式。

例5 利用Mason公式求传递函数C(s)/R(s)| N=0, E(s)/R(s )| N=0, C(s)/N(s)| R=0, 求R(s),N(s) 同时作用下的总输出C(s)

（1）本例C(s)/R(s) 的求法

两两互不接触回路有L1L2 （2）若以E(s) 为输出，R(s) 为输入，传递函数E(s)/R(s)如下求取：

两两互不接触回路仍为L1L2 无论输入输出是什么，回路是不变的，所以Δ不变

(3).若在G2输入端有一点干扰N(s),求C(s)/N(s) 因为传递函数是单输入单输出，所以求C(s)/N(s）时令R(s)=0.(当然求C(s)/R(s)时也要令N(s)=0)，则有

(4).若求R(s),N(s) 同时作用下的总输出，则有

例6 系统如图，利用梅逊公式求出传递函数

系统有两个回路：

2个前向通道1（与G3H不相关）、-G1G3