第1章 实验数据的误差分析

误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实值在数值上的不一致 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验过程中 客观真实值——真值 误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进行客观的评定

1.1 真值与平均值 1.1.1 真值（true value） 真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 1.1 真值与平均值 1.1.1 真值（true value） 真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 平面三角形三内角之和恒为180° 绝对零度等于-273.15℃ 国家标准样品的标称值 国际上公认的计量值 高精度仪器所测之值 多次试验值的平均值

1.1.2 平均值（mean） （1）算术平均值（arithmetic mean） 适合： 等精度试验值 实验值服从正态分布

（2）加权平均值(weighted mean) 加权和 wi——权重 适合不同试验值的精度或可靠性不一致时

（3）对数平均值（logarithmic mean） 设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则 说明： 若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值 对数平均值≤算术平均值 如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替

（4）几何平均值（geometric mean） 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则 当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时，宜采用几何平均值。 几何平均值≤算术平均值

（5）调和平均值（harmonic mean） 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则： 常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值

1.2 误差的基本概念 1.2.1 绝对误差（absolute error） （1）定义 绝对误差＝试验值－真值 或 （2）说明 1.2 误差的基本概念 1.2.1 绝对误差（absolute error） （1）定义 绝对误差＝试验值－真值 或 （2）说明 真值未知，绝对误差也未知 可以估计出绝对误差的范围： 或 绝对误差上界

绝对误差估算方法： 最小刻度的一半为绝对误差； 最小刻度为最大绝对误差； 根据仪表精度等级计算： 绝对误差=量程×精度等级%

真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差： 1.2.2 相对误差（relative error） （1）定义： 或 （2）说明： 真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差： 或

相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（‰） 可以估计出相对误差的大小范围： 相对误差限或相对误差上界 ∴ 相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（‰）

1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy) 定义式： 试验值 与算术平均值 之间的偏差 —— 可以反映一组试验数据的误差大小

1.2.4 标准误差 (standard error) 当试验次数n无穷大时，总体标准差： 试验次数为有限次时，样本标准差： 表示试验值的精密度，标准差↓，试验数据精密度↑

1.3 试验数据误差的来源及分类 1.3.1 随机误差 （random error ） （1）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时正时负，时大时小 （2）产生的原因： 偶然因素，例如气温的微小变动、仪器的微小震动和电压的微小波动。 （3）特点：具有统计规律 小误差比大误差出现机会多 正、负误差出现的次数近似相等 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 可以通过增加试验次数减小随机误差 随机误差不可完全避免的

1.3.2 系统误差（systematic error） （1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差 （2）产生的原因：仪器本身、操作不当、个人主观因素或样本本身的不完善 （3）特点： 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进行校正，或设法消除。

1.3.3 过失误差 （mistake ） （1）定义： 一种显然与事实不符的误差 （2）产生的原因： 实验人员粗心大意造成 （3）特点： 可以完全避免 没有一定的规律

1.4 实验数据的精准度 1.4.1 精密度（precision） （1）含义： 反映了随机误差大小的程度 在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度 例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44 乙：11.39，11.45，11.48，11.50 （2）说明： 可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的 实验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的 实验过程足够精密，则只需少量几次实验就能满足要求

（3）精密度判断 ①极差（range） R↓，精密度↑ ②标准差（standard error） 标准差↓，精密度↑

③方差（variance） 标准差的平方： 样本方差（ s2 ） 总体方差（σ2 ） 方差↓，精密度↑

1.4.2 正确度（correctness） （1）含义：反映系统误差的大小 （2）正确度与精密度的关系： （a） （b） （c） 精密度高并不意味着正确度也高 精密度不好，但当试验次数相当多时，有时也会得到好的正确度

1.4.3 准确度（accuracy） （1）含义： 反映了系统误差和随机误差的综合 表示了试验结果与真值的一致程度 （2）三者关系 无系统误差的试验 精密度 ：A＞B＞C 正确度： A＝B＝C 准确度： A＞B＞C

有系统误差的试验 精密度 ：A＇ ＞ B＇ ＞ C＇ 准确度： A ＇＞ B ＇＞ C ＇ ，A ＇ ＞B，C

1.5 试验数据误差的统计假设检验 1.5.1 随机误差的检验 1.5.1.1 检验（ -test） （1）目的： 在试验数据的总体方差 1.5 试验数据误差的统计假设检验 1.5.1 随机误差的检验 1.5.1.1 检验（ -test） （1）目的： 在试验数据的总体方差 已知的情况下， 对试验数据的随机误差或精密度进行检验。 例：用某分光光度计测量某样品中的AL3+浓度，正常情况下的 测定方差为σ2=0.152。经检修后，用它测同样的样品，测得 浓度分别为：0.142, 0.156, 0.145, 0.176, 0.159, 0.165，试问 仪器经检修后稳定性是否有了变化？

（2）检验步骤： ①计算统计量 若试验数据 服从正态分布，则 服从自由度为 的 分布 ②查临界值 显著性水平 —— 一般取0.01或0.05，表示有显著差异的概率

③检验 双侧（尾）检验(two-sided/tailed test) ： 若 则判断两方差无显著差异，否则有显著差异 单侧（尾）检验(one-sided/tailed test) ： 左侧（尾）检验 ： 若 则判断该方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小 右侧（尾）检验 若 则判断该方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大

（3）Excel在 检验中的应用 EXCEL数据处理初步 使用EXCEL进行 检验

1.5.1.2 F检验(F-test) （1）目的： 对两组具有正态分布的试验数据之间的精密度进行比较 （2）检验步骤 ①计算统计量 设有两组试验数据： 和 都服从正态分布，样本方差分别为 和 ，则 服从F分布， 第一自由度为 第二自由度为

②查临界值 给定的显著水平α 查F分布表 临界值 ③检验 双侧（尾）检验(two-sided/tailed test) ： 若 则判断两方差无显著差异，否则有显著差异

单侧（尾）检验(one-sided/tailed test) ： 左侧（尾）检验 ： 若 则判断该判断方差1比方差2无显著减小，否则有显著减小 右侧（尾）检验 若 则判断该方差1比方差2无显著增大，否则有显著增大 （3）Excel在 F检验中的应用 例：用EDTA法(旧法)和原子吸光谱法(新法)测量样品中的AL3+浓度，测定结果如下： 新法：0.163, 0.175, 0.159, 0.168, 0.169, 0.161, 0.166, 0.179, 0.174, 0.173 旧法：0.153, 0.181, 0.165, 0.155, 0.156, 0.161, 0.176, 0.174, 0.164, 0.183, 0.179 试问: (1) 两种方法的精密度是否有显著差异；(2) 新法是否比旧法的精密度有所提高。(α=0.05)

1.5.2 系统误差的检验 1.5.2.1 t检验法 （1）平均值与给定值比较 ①目的：检验服从正态分布数据的算术平均值是否与给定值有显著差异 ②检验步骤： 计算统计量： 服从自由度 的t分布(t-distribution) ——给定值（可以是真值、期望值或标准值）

双侧检验 ： 若 则可判断该平均值与给定值无显著差异，否则就有显著差异 单侧检验 左侧检验 若 且 则判断该平均值与给定值无显著减小，否则有显著减小 右侧检验 若 且 则判断该平均值与给定值无显著增大，否则有显著增大

例子 为了判断某含水量测定仪器的可靠性，用该仪器测定了某含水量为7.5%的标准样品，5次测量的结果(%)分别为:7.6, 7.8, 8.5, 8.3, 8.7。对于给定的显著性水平α=0.05试检验： (1) 测量结果是否存在明显的系统误差； (2) 测量结果较标准值是否偏大；

（2）两个平均值的比较 目的：判断两组服从正态分布数据的算术平均值有无显著差异 ①计算统计量： 两组数据的方差无显著差异时 服从自由度 的t分布 s——合并标准差：

两组数据的精密度或方差有显著差异时 服从t分布，其自由度为： ② t检验

双侧检验 ： 若 则可判断两平均值无显著差异，否则就有显著差异 单侧检验 左侧检验 若 且 则判断该平均值1较平均值2无显著减小，否则有显著减小 右侧检验 若 且 则判断该平均值1较平均值2无显著增大，否则有显著增大

例子 用烘箱法(方法1)和水分测定仪(方法2)测定某样本的含水量，测量结果如下： 方法1：12.2, 14.7, 18.3, 14.6, 18.6 方法2：17.3,17.9, 16.3, 17.4, 17.6, 16.9, 17.3 对于给定的显著性水平α=0.05，两种方法是否存在系统误差？

目的：试验数据是成对出现，判断两种方法、两种仪器或两分析人员的测定结果之间是否存在系统误差 （3）成对数据的比较 目的：试验数据是成对出现，判断两种方法、两种仪器或两分析人员的测定结果之间是否存在系统误差 ①计算统计量： 服从自由度为 的t分布 ——零或其他指定值 ——成对测定值之差的算术平均值： —— n对试验值之差值的样本标准差：

② t检验 若 ，则成对数据之间不存在显著的系统误差， 否则两组数据之间存在显著的系统误差 用两种仪器测量发气率，测得4分钟发气率(%)数据如下： 仪器1：44, 45, 50, 55, 48, 49, 53, 42 仪器2：48, 51, 53, 57, 56, 41, 47, 50 对于给定的显著性水平α=0.05，两种仪器是否存在系统误差？

1.5.2.2 秩和检验法（rank sum test） （1）目的：两组数据或两种试验方法之间是否存在系统误差、两种方法是否等效等 ，不要求数据具有正态分布 （2）内容： 设有两组试验数据，相互独立 ，n1，n2分别是两组数据的个数 ，总假定 n1≤n2； 将这个试验数据混在一起，按从小到大的次序排列 每个试验值在序列中的次序叫作该值的秩（rank） 将属于第1组数据的秩相加，其和记为R1 R1——第1组数据的秩和（rank sum） 如果两组数据之间无显著差异，则R1就不应该太大或太小

查秩和临界值表： 根据显著性水平和n1，n2，可查得R1的上下限T2和T1 检验： 如果R1＞T2 或R1 ＜T1，则认为两组数据有显著差异，另一组数据有系统误差 如果T1＜R1＜T2，则两组数据无显著差异，另一组数据也无系统误差

（3）例： 设甲、乙两组测定值为： 甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1　 乙：8.7，8.4，9.2，8.9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8 已知甲组数据无系统误差，试用秩和检验法检验乙组测定值是否有系统误差。（＝0.05） 解:（1）排序： 秩 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11.5 13 14 15 甲 8.6 8.8 9.1 9.9 10.0 乙 6.8 7.3 7.4 8.0 8.1 8.4 8.7 8.9 9.2

（2）求秩和R1 R1=7＋9＋11.5＋11.5＋14＋15＝68 （3）查秩和临界值表 对于＝0.05， n1=6，n2=9 得 T1=33，T2＝63， ∴R1＞T2 故：两组数据有显著差异，乙组测定值有系统误差

1.5.3 异常值的检验 可疑数据、离群值、异常值 一般处理原则为： 在试验过程中，若发现异常数据，应停止试验，分析原因，及时纠正错误 1.5.3 异常值的检验 可疑数据、离群值、异常值 一般处理原则为： 在试验过程中，若发现异常数据，应停止试验，分析原因，及时纠正错误 试验结束后，在分析试验结果时，如发现异常数据，则应先找出产生差异的原因，再对其进行取舍　 在分析试验结果时，如不清楚产生异常值的确切原因，则应对数据进行统计处理；若数据较少，则可重做一组数据　　 对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所选用的统计方法

1.5.3.1 拉依达（ ）检验法 ①内容： 可疑数据xp ，若 则应将该试验值剔除。 ②说明： 3s相当于显著水平＝0.01，2s相当于显著水平＝0.05 计算平均值及标准偏差s 时，应包括可疑值在内

可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 首先检验偏差最大的数 剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新计算平均值及标准偏差 方法简单，无须查表 该检验法适用于试验次数较多或要求不高时 3s为界时，要求n＞10 2s为界时，要求n＞5

③例： 有一组分析测试数据：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，0.142，0.145，0.148，0.167，问其中偏差较大的0.167这一数据是否应被舍去? （＝0.01） 解：（1）计算 （2）计算偏差 （3）比较 3s＝3×0.01116＝0.0335＞0.027 故按拉依达准则，当＝0.01时，0.167这一可疑值不应舍去

（2）格拉布斯（Grubbs）检验法 ①内容： 可疑数据xp ，若 则应将该值剔除。 ——Grubbs检验临界值

格拉布斯（Grubbs）检验临界值G( ,n)表

②说明： 计算平均值及标准偏差s 时，应包括可疑值在内 可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 首先检验偏差最大的数 剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新计算平均值及标准偏差 能适用于试验数据较少时 格拉布斯准则也可以用于检验两个数据偏小，或两个数据偏大的情况 ③ 例

（3）狄克逊（Dixon）检验法 ①单侧情形 将n个试验数据按从小到大的顺序排列： x1≤x2≤…≤xn-1≤xn 如果有异常值存在，必然出现在两端，即x1 或xn 计算出统计量D或D′ 查单侧临界值 检验 检验xn时，当 时，可剔除xn 检验x1时，当 时，可剔除x1

②双侧情形 计算D和 D′ 查双侧临界值 检验 当 ， 判断 为异常值 当 ， 判断 为异常值

③说明 适用于试验数据较少时的检验，计算量较小 单侧检验时，可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新排序 ④例

1.6.1 有效数字（significance figure） 1.6 有效数字和试验结果的表示 1.6.1 有效数字（significance figure） 能够代表一定物理量的数字 有效数字的位数可反映试验或试验仪表的精度 数据中小数点的位置不影响有效数字的位数 例如：50㎜，0.050m，5.0×104μm 第一个非0数前的数字都不是有效数字，而第一个非0数后的数字都是有效数字 例如： 29㎜和29.00㎜ 第一位数字等于或大于8，则可以多计一位 例如：9.99

1.6.2 有效数字的运算 （1）加、减运算： 与其中小数点后位数最少的相同 （2）乘、除运算 以各乘、除数中有效数字位数最少的为准 1.6.2 有效数字的运算 （1）加、减运算： 与其中小数点后位数最少的相同 （2）乘、除运算 以各乘、除数中有效数字位数最少的为准 （3）乘方、开方运算： 与其底数的相同： 例如：2.42=5.8 （4）对数运算： 与其真数的相同 例如ln6.84＝1.92；lg0.00004＝－4

（5）在4个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字可增加一位 （6）所有取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要取，但原始数据如有限制，则应服从原始数据。 （7）一些常数的有效数字的位数可以认为是无限制的 例如，圆周率π、重力加速度g、、1/3等 （8）一般在工程计算中，取2～3位有效数字

1.6.3 有效数字的修约规则 ≤4：舍去 ≥5，且其后跟有非零数字 ，进1位 例如：3.14159 → 3.142 1.6.3 有效数字的修约规则 ≤4：舍去 ≥5，且其后跟有非零数字 ，进1位 例如：3.14159 → 3.142 ＝5，其右无数字或皆为0时，“尾留双”： 若所保留的末位数字为奇数则进1 若所保留的末位数字为偶数则舍弃 例如：3.1415 → 3.142 1.3665 → 1.366

1.7 误差的传递 1.7.1 误差传递基本公式 误差的传递：根据直接测量值的误差来计算间接测量值的误差 1.7 误差的传递 误差的传递：根据直接测量值的误差来计算间接测量值的误差 1.7.1 误差传递基本公式 间接测量值y与直接测量值xi之间函数关系 ： 全微分

函数或间接测量值的绝对误差为： 相对误差为： ——误差传递系数 ——直接测量值的绝对误差； ——间接测量值的绝对误差或称函数的绝对误差。

函数标准误差传递公式：

1.7.2 常用函数的误差传递公式

1.7.3 误差传递公式的应用 （1）根据各分误差的大小，来判断间接测量或函数误差的主要来源： 1.7.3 误差传递公式的应用 （1）根据各分误差的大小，来判断间接测量或函数误差的主要来源： 例: 一组等精度测量值x1, x2, x3 …… xn, 试求出其算术平均值的标准误差表达式。

练习 人群A中的10个人身高数据 人群B中的8个人身高数据 170, 173, 169, 175, 178, 180, 171, 185 172, 175, 178, 168, 170, 173, 174, 175, 169, 171 人群B中的8个人身高数据 170, 173, 169, 175, 178, 180, 171, 185 采用EXCEL和T检验判断两个人群身高是否存在显著差异(α=0.05)。

秩和临界值表

统计量D计算公式 n 检验高端异常值 检验低端异常值 3～7 8～10 11～13 14～30