曲线拟合 Curve fitting 2002级研究生《医学统计学》
医学研究中X和Y的数量关系常常不是线性的，如毒物剂量与动物死亡率，人的生长曲线，药物动力学等，都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚至得出错误结论。这时可以用曲线直线化估计（Curve estimation）或非线性回归(Nonlinear regression) 方法分析。 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
曲线直线化估计的步骤 2002年12月 绘制散点图，根据图形和专业知识选取曲线类型（可同时选取几类） 按曲线类型，作曲线直线化变换 建立直线化的直线回归方程；作假设检验，计算决定系数 将变量还原，写出用原变量表达的曲线方程 比较决定系数选取“最佳”曲线方程 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
曲线形式 （根据生物学机制理论决定） 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
常见的曲线回归方程 ①幂函数： ②对数： 2002年12月 或 ③指数函数： 或 ④多项式： ⑤logistic： 或 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
一、利用线性回归拟合曲线（例1） 2002年12月 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 例 上海医科大学微生物学教研室以已知浓度X的免疫球蛋白A(IgA, μg/ml)作火箭电泳, 测得火箭高度Y(mm)如表1所示。试拟合Y关于X的非线性回归方程。 X Y X'＝lnX (lnX)2 Y2 (lnX)Y 残差平方 0.2 7.6 -1.6094 0.4 12.3 -0.9163 0.6 15.7 -0.5108 0.8 18.2 -0.2231 1.0 18.7 0 1.2 21.4 0.1823 1.4 22.6 0.3365 1.6 23.8 0.4700 合计140.3 -2.2708 2.5902 57.76 -12.2314 0.8396 151.29 -11.2705 0.2609 246.49 -8.0196 0.0498 331.24 -4.0604 0.0000 349.69 0.0000 0.0332 457.96 3.9012 0.1132 510.76 7.6049 0.2209 566.44 11.1860 4.1078 2671.63 -12.8898 7.23 12.62 15.77 18.01 19.75 21.16 22.36 23.40 0.1380 0.1017 0.0053 0.0361 1.0921 0.0563 0.0566 0.1597 1.6458 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
（一）绘制散点图，决定曲线类型 （二）曲线直线化变换 =a+blnX 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
（三）建立线性回归方程 回归方程为： =19.7451+7.7771 lnX 方差分析有统计学意义，P＝0.0000，F＝763.50，表明回归方程有贡献。 确定系数为0.99，表明回归拟合原资料很好。 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
用线性回归拟合曲线（例2） 2002年12月 表9-11 25名重伤病人的住院天数X与预后指数Y 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 编号 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X 19 26 31 34 38 45 52 53 60 65 Y 54 50 37 35 25 20 16 18 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
（一）绘制散点图，决定曲线类型 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
（二）曲线直线化变换 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
（三）建立线性回归方程 回归方程为： 4.037-0.038X 方差分析有统计学意义，P＝0.0000，F＝276.38，表明回归方程有贡献。 确定系数为0.9551，表明回归拟合原资料较好。 转换为原方程的另一种形式： 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
比较两个回归方程可见，对同一份样本采用不同估计方法得到的结果并不相同。 曲线直线化 非线性最小二乘法 比较两个回归方程可见，对同一份样本采用不同估计方法得到的结果并不相同。 主要因为曲线直线化以后的回归只对变换后的Y*(＝lnY)负责, 得到的线性方程可使Y*与其估计值 之间的残差平方和最小,并不保证原变量Y与其估计值 之间的残差平方和也是最小。 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
问题：前一个例子只对自变量作对数变换的对数曲线拟合，能否保证原变量Y与其估计值 之间的残差平方和也是最小？幂函数曲线拟合呢？ 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
问题：如何判断哪个曲线拟合方程更佳？ 对于例9-15，几个常见曲线拟合得到的决定系数R2如下（曲线直线化）： 线性（直线）R2：0.8856 (y = 46.4604 -0.7525 x) 幂曲线R2：0.8293 (y = 159.9297 x-0.7191) 对数曲线R2：0.9654 (y = 72.2829 -15.9662 Ln(x) ) 指数曲线R2： 0.9551(y = 56.6651 e-0.0380 x) 二项式曲线R2：0.9812(y = 55.8221- 1.7103 x +0.0148 x2 ) 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
问题：如何判断那个曲线拟合方程更佳？ 对于例9-15，几个常见曲线拟合得到的决定系数R2如下（非线性回归——迭代法）： 线性（直线）R2：0.8856 (y = 46.4604 -0.7525 x) 幂曲线R2：0.8413 (y = 88.7890 x-0.4662) 对数曲线R2：0.9654 (y = 72.2829 -15.9662 Ln(x) ) 指数曲线R2： 0.9875(y = 58.6066 e-0.0396 x) 二项式曲线R2：0.9812(y = 55.8221- 1.7103 x +0.0148 x2 ) 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
R的计算（曲线直线化） 原变量Y与 （直线或曲线方程得到）间相关系数的绝对值＝相关指数R 线性（直线）R：＝X与Y间相关系数绝对值 幂曲线R： ＝lnX与lnY间相关系数绝对值 对数曲线R： ＝lnX与Y间相关系数绝对值 指数曲线R： ＝ X与lnY间相关系数绝对值 二项式曲线R： ＝√（1－SS残差/SS总） 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
R的计算（非线性回归） 原变量Y与 （直线或曲线方程得到）间相关系数的绝对值＝相关指数R 线性（直线）R：＝X与Y间相关系数绝对值 幂曲线R： ≠lnX与lnY间相关系数绝对值 对数曲线R： ＝lnX与Y间相关系数绝对值 指数曲线R： ≠ X与lnY间相关系数绝对值 二项式曲线R： ＝√（1－SS残差/SS总） 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
散点图辨析 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
注意绘制散点图，并结合专业知识解释 如果条件允许最好采用非线性回归（Nonlinear Regression）拟合幂函数曲线与指数函数曲线 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
采用SAS进行曲线拟合 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
采用SPSS进行曲线拟合 曲线直线化 非线性回归 2002年12月 Analyze Regression Curve Estimation …可选Power 、Logarithmic、Exponential、Quadratic、Cubic 等 非线性回归 Analyze Regression Nonlinear … 设置模型： Model Expression 参数赋初值：Parameters… 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
作业 P168 第6题 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月