类型一 利用二次函数表达式求最大值得问题
针对练习 1. 某拱桥横截面为抛物线形，将抛物线放置在平面直角坐标系中如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3． （1）求△ABC的面积； （2）若动点D在第一象限的抛物线上，求△BDC面积最大时D点的坐标，并求出△BDC的最大面积。
针对练习 1. 如图，二次函数y=x 2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）． （1）求抛物线的解析式 （2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由． （3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M，判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值或最小值．
类型二 将军饮马问题
针对训练 1. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax 2+bx与直线 y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上一动点，当PB+PO最小时， 求出点P坐标，及PB+PO的最小值
类型三 直角三角形分类
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+3与x轴交于A（-4，0）、B（-l，0）两点，与y轴交于点C，点D是第三象限的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为S求出S与m的函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多少？ （3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四 等腰三角形分类讨论
1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x 2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C． （1）求这条抛物线的解析式； （2）经过点D（2，2）直线与抛物线交于M，N两点，若线段MN正好被直线BC平分，求直线MN的解析式； （3）直线x=a上存在点P，使得△PBC为等腰三角形？若这样的点P有且只有三个，请直接写出符合条件的a值及其取值范围