F分布 兩族群變方相等性檢定 變方分析(ANOVA) 試驗設計 F-Distribution and Analysis of Variance F分布 兩族群變方相等性檢定 變方分析(ANOVA) 試驗設計

10.1 F分布 兩個族群變方的比值稱為F值 即 若F=1，即表示兩族群變方相等 。 而由F值所組成之次數分布即為F分布。 Ｆ分布為紀念 R.A. Fisher 而命名，故又稱費氏Ｆ分布(Fisher’s F distribution)。 若族群變方未知，而以樣品均方( )作為變方的估值，則F值亦可以兩樣品均方之比值表示為：

F分布 F分布曲線是根據 自由度 及 之自由度 而定的一條分布曲線，故F分布曲線依 及 之不同而異。

F分布 通常計算F值時，常把較大的均方放於分子，而較小的均方放於分母，因此F值均大於1，故F值也就採用右單尾檢定。但若欲計算左單尾F值所發生的機率，可採用 換算。

10.2 兩族群變方相等性檢定 例子10.2 設下列為人工與儀器測定成年人血液中尿酸含量之記錄，是檢定兩種測定法之變異是否相同。 n1=8 4.5 5.6 6.5 7.5 8.6 9.8 10.7 12 儀器 n2=8 6 6.8 7.6 8 8.5 9 9.5 mg% / ml mg% / ml (1)虛無假設 (2)對立假設 (3)設定顯著水準 (單尾) (4)計算 ，若 表示兩變方不相等。

例子10.2 今實測 ，故拒絕H0的假設，表示兩種尿酸測定法之變方不相等。

10.4 變方分析 (Analysis of Variance:ANOVA) 針對數個樣品(處理)均值之比較檢定法，雖然也可以採用兩樣品均值差異的t檢定(兩兩成對比較)，但此種方式結果犯第一型錯誤機率，要比我們設定的顯著水準(0.05)高很多，也就是可靠性會降低。 假設有四個樣品均值要互相比較，則共有 對樣品均值差異的比較檢定，若設每對比較檢定的顯著水準為 ，即其信賴水準為 。 故6對樣品均值差異獨立比較結果之正確率為： ，犯第一型錯誤率為 。

變方分析(ANOVA) 而採用變方分析法，可維持在 的顯著水準下，同時比較數個樣品均值的相等性問題。 應用變方分析的前提： 而採用變方分析法，可維持在 的顯著水準下，同時比較數個樣品均值的相等性問題。 應用變方分析的前提： 各樣品(處理)互相獨立。 各處理之試驗誤差應獨立 各處理之試驗誤差應同質(homogeneity)。 並且服從常態分佈。

變方分析之原理 一般試驗結果難免會發生誤差(error)，有些誤差是可以控制，而有些則是不明原因所造成的。 我們以下面的例子來說明試驗資料之成因、試驗誤差以及變方分析之原理。 假設有一老祖父過96歲生日，他將美金96元分給12位孫子當零用錢，為求公平所以每人得8元，不過分配後祖父覺得這樣不妥，因為12位孫子中，四位為研究生、四位為大學生、另四位為中學生，根據不同年齡層消費會不同，因此祖父決定再重新分配，如下表所示：

觀測值 組別(處理) 最初所得 再分配所得 再分配得失 賭博後所得 賭博時得失 最後與最初所得之差 中 學(A) 生 8 6 -2 7 3 10 4 +1 -3 +4 -1 -5 +2 -4 大 學(B) +3 研 究(C) 11 14 9 +6 合計 96 0,0,0

今以三種飼料12隻天竺鼠增重比較試驗結果代替 處 理 總平均值 處理平均值 處理 效應 觀測 值 試驗 誤差 總 差異 A 飼 料 8 6 -2 7 3 10 4 +1 -3 +4 -1 -5 +2 -4 B +3 C 11 14 9 +6 合計 96 0,0,0

(treatment sum of squares) 10.4.3 平方和劃分 兩邊取平方後總和為： + 總平方和 (total sum of squares) = 處理平方和 (treatment sum of squares) 誤差平方和 (error sum of squares)

各項平方和其均方之求法 總均方 處理均方 誤差均方

變因(Source of Variation) 變方分析表 變因(Source of Variation) 自由度(DF) 平方和(SS) 均方 (MS) 實測F值 理論F值 處理(t) 誤差(E) m-1 m(n-1) SSt SSE MSt MSE F=Mst /MSE 總和(T) mn-1 SST 實測F值是以處理均方(MSt)除以誤差均方(MSE)而得，根據自由度 及 查得顯著水準 為0.05或0.01之F值，若實測 則表示處理均值不相等，處理效應存在，反之則不存在。或以P值表示，若P小於0.05或0.01，則處理效應存在。

處理均方期望值與誤差均方期望值之比值 若F=1, 若F>1, 至少有一對處理平均值不等

例子10.3 假設有A、Ｂ、Ｃ三種食品進行天竺鼠飼養，每種食品飼養四隻，經過兩週後每隻之增重(克)如下記錄，試以變方分析法檢定三種食品品質是否有差異。 1 2 3 4 和 平均值 A B C 7 3 10 4 4 10 6 8 10 14 9 11 24 28 44 6 7 11 96

影響天竺鼠2週增重變異的原因(變因) 已知變因(Known Variation) 飼料品牌 未知變因(Unknown Variation) 試驗誤差(Experimental Error) 其他所有可能的原因 天竺鼠起始體重 測量誤差 試驗環境 …

(1)虛無假設 (2)對立假設 (3)設定顯著水準 (單尾) (4)計算F值 首先求各效應平方和：

實測 ，故接受H0的假設，表示三種食品品質相同。 三種食品對天竺鼠增重檢定變方分析表 變因 (S.V.) 自由度(DF) 平方和(SS) 均方 (MS) 實測F值 F值機率 0.05 0.01 食品(t) 誤差(E) 3-1=2 11-2=9 56 64 28 7.11 3.9375 4.26 8.02 總和(T) 12-1=11 120 實測 ，故接受H0的假設，表示三種食品品質相同。

例子10.4 假設有A、Ｂ、Ｃ三種食品進行天竺鼠飼養，每種食品飼養四隻，經過兩週後每隻之增重(克)如下記錄，試以變方分析法檢定三種食品品質是否有差異。 1 2 3 4 和 平均值 A B C 7 8 5 4 9 8 6 5 10 13 11 10 24 28 44 6 7 11 96

(1)虛無假設 (2)對立假設 (3)設定顯著水準 (單尾) (4)計算F值 首先求各效應平方和：

三種食品對天竺鼠增重檢定變方分析表 變因 (S.V.) 自由度(DF) 平方和(SS) 均方 (MS) 實測F值 F值機率 0.05 0.01 食品(t) 誤差(E) 3-1=2 11-2=9 56 26 28 2.9 9.6923** 4.26 8.02 總和(T) 12-1=11 82 實測 ，故拒絕H0的假設，表示三種食品品質不完全相同。記兩個星號**通常表示處理均值間之差異達1%顯著水準，一個星號*表示處理均值間之差異達5%顯著水準。

10.4.6 成對處理均值間差異比較 一般Fisher 的最小顯著差異法(LSD) Duncan 的多變域檢定法(DMRT) Scheffe 的S值檢定法等多種 Scheffe 之臨界值比LSD或DMRT都大，兩處理均值比較時，其差異值較不易達顯著水準，適合於較嚴格之比較測驗。 S>DMRT>LSD

1. Fisher’s 最小顯著差異(Least Significance Difference, LSD) 若實測處理i與i´之間的差異比理論的LSD大,表示處理i與i´之平均值間有顯著差異

例：飼料與天竺鼠兩週增重 處理 均值 實測差異值 C 11 - B 7 4* - A 6 5* 1 -

鄧氏新多變域測驗法 Duncan’s New Multiple Range Test(DMRT) 其臨界值之計算式如下:(見附表8) r=2, r=3,

處理 均值 實測差異值 --------------------------------------- C 11 - B 7 4* - A 6 5* 1 - ---------------------------------------- *號表示兩處理均值間的差異達到5%顯著水準

雪菲S法(Scheffe’s S Method) 兩處理均值差之臨界值計算式:

處理 均值 實測差異值 --------------------------------------- C 11 - B 7 4* - A 6 5* 1 - ----------------------------------------

Bonferroni多重比較方法 顯著水準：α，兩兩比較個數：k 調整顯著水準： α*=α/k Bonferroni(1-α)%信賴區間 決策方法：若處理i與i´之Bonferroni(1-α)%信賴區間不包括0 　處理i與i´之平均值間有顯著差異

例：飼料與天竺鼠兩週增重 比較 A VS. B (-5.73,3.73) A VS. C (-9.73,-0.27)* B VS. C (-8.73,0.73)

Tukey忠誠顯著差異值 (Honest Significance Distance,HSD) Ｑα, m, dfE 決策方法：若處理i與i´之HSD不包括0 　處理i與i´之平均值間有顯著差異

例：飼料與天竺鼠兩週增重 比較 HSD A VS. B (-7.26,5.26) A VS. C (-11.26,1.26) B VS. C (-10.26,2.26)

一個好的研究必須要有嚴謹的設計 ，客觀的試驗過程及合理的推論。因此試驗時必須遵守下列三個原則 10.5 試驗設計(experimental design) 一個好的研究必須要有嚴謹的設計 ，客觀的試驗過程及合理的推論。因此試驗時必須遵守下列三個原則 設置重複（set up replication） 隨機排列（random arrangement） 誤差控制（error control）

設置重複 同一處理(如食品、藥品、療法、品種)所使用的試驗單位數即為重複。 主要作用是估算試驗誤差以備統計推論之用。 若試驗只做一次(重複一次)，則無法估算試驗誤差，也就無法做統計推論。 重複次數愈多，理論上試驗誤差愈小，試驗結果會愈準確可靠。 一般來說，計量資料，如果誤差控制得好，設計均衡，10~20次即可，甚至還可小一些；而計數資料，即使誤差控制得好，也需要30-100次左右。

隨機排列 哪一個處理被安排於哪個試驗單位要機會均等，不能有人為的主觀偏見。 隨機排列與重複相結合，試驗數據就能估算無偏的(unbiased)試驗誤差，統計推論才合理可靠。 隨機法有:拋硬幣,擲骰子,抽籤,利用隨機數字表

系統誤差（systematic error） (知道原因的誤差,有方向) 隨機誤差（random error） (不知道原因的誤差) 誤差控制 誤差來源有兩種(見2.7節) 系統誤差（systematic error） (知道原因的誤差,有方向) 隨機誤差（random error） (不知道原因的誤差)

10.5.1 完全隨機設計(CRD) (one-way ANOVA) 採用本設計的條件(本設計只有隨機誤差) 各處理(如以A、B、C代表三種食品、藥品)所使用的試驗材料要同質(或同時或同環境)進行試驗 各處理要隨機排列如圖： 本設計之優點：試驗最簡單，試驗結果效力最高，適合任意處理數及重複數的試驗。

[例] 設今有A,B,C三種營養食品,以老鼠為試驗材料,每種食品飼養4隻老鼠(4重複),其試驗設計圖及一個月後之增重(克)如下圖

資料整理 ---------------------------------------------- 處理 觀測值 處理 和 處理均值 處理 觀測值 處理 和 處理均值 ----------------------------------------------- A 1.4 1.9 2.0 1.5 6.8 1.7 B 2.0 2.4 1.8 2.2 8.4 2.1 C 2.6 2.8 2.5 2.1 10.0 2.5 -------------------------------------------------- 25.2

各種平方和之計算 SST= SSt= SSE=SST-SSt=2.00-1.28=.72

變方分析表 變 因 自由度 平方和 均方 實測F值 理論F值(0.05) ------------------------------------------------- 食品(t) 3-1=2 1.28 6.4 8.0 4.26 誤差(E) 11-2=9 .72 .8 總計(T) 12-1=11 2.00 三種參試食品品質間有顯著差異

處理均值間比較 比較結果C與B,B與A無差異,但C與A則有差異 處理 均值 實測差異值 處理 均值 實測差異值 ------------------------------------ C 2.5 - B 2.1 .4 - A 1.7 .8 .4 - 比較結果C與B,B與A無差異,但C與A則有差異

10.5.2 隨機完全區集設計(RCBD) (two-way ANOVA) 採用本設計條件 試驗材料為異質(或異時或異環境)，但可明顯分成幾組，每組集合數個性質相同的試驗單位而成一區集(block)。 各區集內之試驗單位數必須等於處理數 在各區集內參試處理要隨機排列，形成同源配對

隨機完全區集設計(RCBD) 本設計優點： 可剔除試驗材料（或時間或環境）不同時之系統誤差，以減小試驗誤差。 任意處理數及區集數均可。 本設計缺點： 若試驗材料為同質，其試驗效果不如完全隨機設計(CRD）。 試驗結果資料有缺值時，資料分析比較複雜。

例子10.7假設有A、Ｂ、Ｃ、D四種血液凝結處理方法，如選取五位健康成人，每人抽血後分成四份，並隨機分配四種凝血處理方法，所得血液凝固時間如下圖，試比較何種處理方法較佳。 試驗設計圖 B 9.4 C 9.9 A 8.6 C 8.9 D 9.5 A 8.4 D 14.4 C 10.2 B 9.8 B 9.2 D 12.2 A 10.8 D 12.0 A 8.4 C 9.8 B 15.2 D 9.8 A 8.8 C 8.5

資料整理 區集 處理 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 處理和 A B C D 8.4 10.8 8.6 8.8 8.4 9.4 15.2 9.8 9.8 9.2 9.8 9.8 10.2 8.9 8.5 12.2 14.4 9.8 12.0 9.5 45.0 53.4 47.3 57.9 區集和 39.8 50.3 38.4 39.5 35.6 203.6=

(1)虛無假設 (2)對立假設 (3)設定顯著水準 (單尾) (4)計算F值 首先求各效應平方和：

雙向 變方分析表 實測 ，故拒絕H0的假設，表示四種凝血處理方法有差別。 變因 自由度(DF) 平方和(SS) 均方 實測F值 F值機率 (S.V.) 自由度(DF) 平方和(SS) 均方 (MS) 實測F值 F值機率 0.05 0.01 區集(B) 處理(t) 誤差(E) 5-1=4 4-1=3 19-7=12 31.427 20.604 16.641 7.8568 6.8680 1.3868 5.665 4* * 4.9524* 3.26 5.41 3.49 5.95 總和(T) 20-1=19 68.672 實測 ，故拒絕H0的假設，表示四種凝血處理方法有差別。

成對處理均值間差異比較 處理均值間差異比較表 處理 均值 實測差異值 D與B,A與C無差異,但D與B比A與C,血液凝固時間長 處理 均值 實測差異值 ----------------------------------------------------- D 11.58 - B 10.68 0.90 - C 9.46 2.12 1.22 - A 9.00 2.58 1.68 0.46 - ------------------------------------------------------ D與B,A與C無差異,但D與B比A與C,血液凝固時間長

若改為單向 變方分析(CRD) 實測 ，故接受H0的假設，表示四種凝血處理方法無差別,其原因是誤差均方太大之故。 變因 自由度(DF) (S.V.) 自由度(DF) 平方和(SS) 均方 (MS) 實測F值 F值機率 0.05 0.01 處理(t) 誤差(E) 4-1=3 19-7=16 20.604 48.068 6.8680 3.00425 2.2861 3.24 5.29 總和(T) 20-1=19 68.672 實測 ，故接受H0的假設，表示四種凝血處理方法無差別,其原因是誤差均方太大之故。

10.6 族群容許區間(Tolerance Interval) 範圍 信賴水準 (μ-1.645σ, μ+1.645σ) 90% (μ-1.96σ, μ+1.96σ) 95% (μ-2.58σ, μ+2.58σ) 99% 族群中95%的觀測值會落在(μ-1.96σ, μ+1.96σ)之間

族群均值及變方未知之容許區間 μ及σ2未知時必須修正為κ值，替代標準常態百分位 κ值隨樣品大小，信心水準(1-γ)與包含率(1-α)而異，見P.490-492 附表13 所得的容許區間： 吾人有(1-γ)%信心水準，族群中(1-α)%觀測值介於　　　　　　　之間 應用於品管方面： (1-γ)%信心保證(1-α)%產品會在　　　　　　 之間 　應用於生物特性正常值範圍

例：某醫院３０位新生兒血液中含鈣量(mg%) [例10.12]

~本章結束~