第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 第二节 方差 第三节 协方差及相关系数 第四节 矩、协方差矩阵

第四章 随机变量的数字特征 前面讨论了随机变量的分布函数，从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律。 但在许多实际问题中，人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需要知道它的数字特征即可。

§4.1 数学期望 例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一 随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律 例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一 随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律 X 10 9 8 7 Y 10 9 8 7 Pk 0.6 0.1 0.2 0.1 Pk 0.4 0.3 0.1 0.2 试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？ 解 （环） 由此可见，射手甲的射击水平略高与射手乙的射击水平。

定义1 设离散型随机变量X的分布律为 若级数 绝对收敛，则称此级数的和为随机变 量X的数学期望.记为E(X)．即 定义2 连续型随机变量X的概率密度为 f(x), 若积分 绝对收敛，则称此积分值为随机变量X 的数学期望，记为E(X), 即 [注] 数学期望简称为期望，又称为均值.

例1 设X~(), 求 E(X) E(X)= 例2 设X~U(a, b), 求 E(X) E(X)= 解 X的分布律为 解

例4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.记使用寿命为X(以年记), 规定: X1, 一台付款1500元; 1<X 2, 一台付款2000元; 2<X3, 一台付款2500元; X>3, 一台付款3000元. 试求该商店一台电器收费Y的数学期望. 设寿命X服从指数分布, 概率密度为

解 一台收费Y的分布律 Y 1500 2000 2500 3000 pk P{X1} P{ 1<X 2} P{2<X3 } P{X>3} 0.0952 0.0861 0.0779 0.7408 E(Y)=2732.15

随机变量的函数的数学期望 定理1 设Y是随机变量X的函数：Y=g(X) (g为连续函数) (2) X(连续型)的概率密度为 f (x) ,若积分 绝对收敛，则

证 （1）由离散型随机变量的函数的分布，有 Y=g(X) （2）设X是连续型随机变量，Y=g(X)的概率密度为

例6 国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨）是一随机变量，它服从(a, b)上的均匀分布．设每售出该商品一吨可以为国家创汇 s万元，但若销不出去而压于仓库，则每吨亏损 l 万元，问应组织多少货源才使国家收益的期望值最大？ 解 设组织货源为t（吨）,由题意a≤t ≤b, 收益Y是X的函数： 令 得:

(4) 若(X,Y)是连续型，其概率密度为f (x, y)，则 定理推广： 定理推广： 设 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数), (3) 若(X,Y)是离散型，其分布律为 则 (4) 若(X,Y)是连续型，其概率密度为f (x, y)，则

Y 1 2 1 0.4 0.2 X 2 0.3 0.1 例7 设(X,Y)的联合分布律为 求 的数学期望． 1 0.4 0.2 2 0.3 0.1 X 例7 设(X,Y)的联合分布律为 求 的数学期望． 解 (X,Y)的取值及对应的概率如下表: (X,Y) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) XY2 1 4 2 8 X+Y 2 3 3 4 pk 0.4 0.3 0.2 0.1

结论： (1) 若(X,Y)是离散型，其分布律为 则 (2) 若(X,Y)是连续型，其概率密度为f (x, y)，则

y 例8 设(X,Y)的概率密度为 xy=1 x=y o 求数学期望E(Y), E(1/XY). 1 x 解

数学期望的性质: 假设以下随机变量的数学期望均存在． 1. E(C)=C, （C是常数） 2. E(CX)=CE(X), （C是常数） 3. E(X±Y)=E(X) ±E(Y), 4. 设X与Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y) [注] 性质3.4.可推广到有限个的情况.

证 (仅对(X,Y)为连续型随机变量证明性质3,4) 设(X,Y)的概率密度为f（x,y），其边缘概率密度分别为 fX（x,y）， fY（x,y），则 又若X与Y相互独立，则

例9 一民航机场的送客车，载有20名乘客自机场开出，旅客 有10个车站可以下车，如到达一站没旅客下车就不停车．假 设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一站下 车相互独立．以X表示停车次数，求E(X)． 解 引入随机变量 则 由题意 [注] 这种引进新的随机变量，将原随机变量分解成有限个随机变量之和,再求数字特征的方法具有一定的普遍意义.

练习： 设(X,Y)服从G上的均匀分布（如图） 求X、Y及XY的数学期望 1 2 x y G 解法一：由已知得

解法二： 同理

例 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数分 别用X、Y表示，分布律分别为 X 10 9 8 7 Y 10 9 8 7 0.5 0.1 0.2 0.2 0.4 0.3 0.1 0.2 试评定甲、乙的技术水平． 解 甲乙平均命中环数为 E(X)=8.9 (环)，E(Y)=8.9 (环) 从平均水平看，甲、乙的技术水平不相上下， 进一步考虑他们射击的稳定性

§4.2 方差 1.定义 设X是一随机变量，若E{[X-E(X)]2} 存在， 则称为随机变量 X 的方差，记为D(X)或Var(X)．即 并 称为X随机变量的均方差或标准差，记(X)． 1.离散型: 2.连续型: 3.计算公式： [注] 方差刻画了随机变量X的取值与其均值的偏离程度，它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.

计算公式的推导： 由方差的定义及数学期望的性质，有

例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数分 别用X、Y表示，分布律分别为 X 10 9 8 7 Y 10 9 8 7 0.5 0.1 0.2 0.2 0.4 0.3 0.1 0.2 试评定甲、乙的技术水平． 解 甲平均命中环数: E(X)=100.5+90.1+8 0.2+7  0.2=8.9 (环)， 乙平均命中环数: E(Y)=100.4+90.3+8 0.1+7  0.2=8.9 (环)， 故从平均水平看，甲、乙的技术水平不相上下， 进一步考虑他们射击的稳定性，即D(X), D(Y), 由于E(X2)=80.7 , E(Y2)=80.5 于是 D(X)= E(X2)-[ E(X)] 2 D(Y)= E(Y2)-[ E(Y)] 2 =1.49 =1.29 所以，从稳定性来看，射手乙的技术水平略高于射手甲.

例2 设随机变量X有期望E(X)= , 方差D(X)=20. 记 -------称为X的标准化变量， 则 例3 设随机变量X具有(0--1)分布, 则 E(X)= p, D(X)=p(1-p). 例4 设X~() ,求 D(X) =. ( E(X)= ) 例5 设X~U(a,b) ,求 D(X) = (b-a)2/12. (E(X)= (a+b)/2) 例6 设X服从参数为 的指数分布,求E(X)， D(X) =, =  2

泊松分布:

2.方差的性质 (1) D(C)=0, (C为常数) (2) D(C X)=C2 D(X), D(X+C)=D(X), (C为常数) (假设下列方差均存在) (1) D(C)=0, (C为常数) (2) D(C X)=C2 D(X), D(X+C)=D(X), (C为常数) (3) D(X  Y)=D(X)+D(Y)  2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 特别：若X与Y相互独立，有 D(X  Y)=D(X) + D(Y) (4) D(X)=0  P{X=C}=1 ,其中C=E(X). 推广：设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量，则

的 (0-1)分布, 证明： X= X1+...+Xn服从参数为n, p 的二项分布, 并求 E(X)，D(X). 例7 设X1, ... , Xn相互独立，且服从同一参数为 p 的 (0-1)分布, 证明： X= X1+...+Xn服从参数为n, p 的二项分布, 并求 E(X)，D(X). 证 X的所有可能取值为0,1,…,n , X=k表示X1,...,Xn中有k个取1， n-k个取0，共有 种方式，故 即X服从参数为n, p的二项分布.

例8 设X~N(, 2 ) , 则E(X)=  , D(X)= 2 . , 则 E(Z)=0 , D(Z)=1 . 特别 推广: Xi ~ N(i ,  i2 ) , (i=1,2,…n), 且相互独立，则

正态分布X~N(,2) 服从正态分布的随机变量的分布完全由其数学期望和方差所确定．

几种重要随机变量的数学期望及方差 np np(1-p)    2 分布 分布密度 数学期望E(X) 方差D(X) 二项分布 X~b(n,p) np np(1-p) 泊松分布 X~π()   均匀分布 正态分布 X~N(,2)  2

例12 设随机变量X具有概率密度 求D(X) 解: 于是

§4.3 协方差 相关系数 定义1 设(X,Y)为二维随机变量，若 E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} §4.3 协方差 相关系数 定义1 设(X,Y)为二维随机变量，若 E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 存在，则称其为随机变量X与Y的 协方差，记为Cov(X,Y)．即 (1)若(X,Y)为离散型， 则 (2)若(X,Y)为连续型,其概率密度为f(x,y), 则

计算公式： 协方差的性质： 1.Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 2.D(X+Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y) 1.Cov(X,X)=D(X)； 2.Cov(X, Y)=Cov(Y, X)； 3.Cov(aX, bY)=abCov(X, Y)； (a,b为常数) 4.Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1, Y)+Cov(X2, Y)； 5.若X与Y独立，则 Cov(X, Y)=0.

例1 设(X,Y)具有概率密度 求 Cov(X,Y). 答： 解：

定义2 设(X,Y)为二维随机变量，若D(X)>0, D(Y)>0 称 为随机变量X与Y的 相关系数，记为 XY ． 特别，当XY =0时，称X与Y不相关． [注]  XY是一个无量纲的量．  X, Y相互独立  X与Y不相关；反之不一定. X与Y不相关  Cov(X,Y) E(XY)=E(X)E(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)

相关系数的性质： 数 证明： 考虑用X的某个线性函数a+bX来近似表达Y，我们以均方误差 来衡量以 a+bX 来近似表达Y 近似的好坏程度. 选取a，b 使 e 值最小.

[注] (1)相关系数XY刻画了随机变量 Y 与X之间的“线性相关”程度: |XY| 的值越接近于1， Y 与X 的线性相关程度越高； |XY| 的值越接近于0， Y与X 的线性相关程度较弱. (2) 当XY =0时,只说明Y 与X之间没有线性关系,并不能说明Y 与X之间没有其他函数关系,从而不能推出Y 与X独立.

例2 设(X,Y)均匀分布在以坐标原点为中心，R为半径的圆的内部，则随机变量X与Y不相关, 但X与Y也 不相互独立. 解：由已知得

故 所以X与Y不相关

又因为 所以 X与Y也不相互独立

例3 设 则X, Y相互独立  X, Y不相关． 解

由上章§3.4例1知，X, Y相互独立 = 0，即XY=0, 亦即X,Y不相关．由此知二维正态随机变量X与Y相互独立与不相关是等价的．

例4 已知 设 , 求 解

§4.5 矩 协方差矩阵 定义1 设X, Y为随机变量, k, l为正整数，称 为X的k阶原点矩( k阶矩) 为X的 k阶中心矩; §4.5 矩 协方差矩阵 定义1 设X, Y为随机变量, k, l为正整数，称 为X的k阶原点矩( k阶矩) 为X的 k阶中心矩; 为X和Y的k+l 阶混合矩; 为X和Y的k+l 阶混合中心矩 [注] (1)E(X)是X的一阶原点矩； (2)D(X)是X的二阶中心矩； (3)Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.

定义2 设n维随机变量 的二阶混合中心矩都存在，称矩阵 其中 显然：

例4 设服从[，]上的均匀分布，且X=sin，Y=cos , 判断X与Y是否不相关？是否独立？ 答： X与Y不相关；X2+Y2=1 不独立.

例 设 写出其协方差矩阵。 解 由以前结果知 协方差矩阵为