二维变换 计算机科学与技术系

概述 图形变换是计算机图形学基础内容之一 常见变换：几何变换，投影变换，视口变换 几何变换：平移、旋转和缩放等 模型视图变换：世界->观察 投影变换: 3D->2D 视窗变换: 窗口->视口 应用层 几何层 光栅化 3D 2D Pixels 几何变换 模视变换 投影变换 视口变换

几何变换 几何变换是应用图形编程中最常用的变换 几何变换目的 图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形

几何变换 特点 属性不变，拓扑关系不变 变换的两种形式： 图形不变，坐标系改变 图形改变，坐标系不变 点线关系

几何变换 作用 可用于图形复制 减少用户的数据输入 把用户坐标系与设备坐标系联系起来 可由简单图形生成复杂图形 可用二维图形表示三维形体 动态显示 几何变换的基础是点变换

图形的几何变换基础-标量、点和向量 在CG中，主要是处理点和线段这样的几何元素 向量是有向的线段和用表示它们的n元数组 三个常用的实体-抽象数据类型 点：在3D中点是一个位置，数学上的点没有大小，也没有形状 标量：对于几何对象，还需要实数来确定数量 向量：表示既有大小还有方向的量

图形的几何变换基础-空间 向量空间(线性空间) 仿射空间 Euclid空间 对象：向量、标量 运算：标量--向量乘法、向量--向量加法 向量空间的扩展 对象：向量、标量、点（增加位置信息） 运算：点--点减法、向量--点加法 Euclid空间 增加了距离 对象：严格来讲，只包含两个对象，向量、标量 运算：点积（内积）

图形的几何变换数学基础 向量运算：和、点积、长度、叉积 矩阵运算：和、数乘、乘法、零矩阵、单位矩阵、逆矩阵、转置矩阵 齐次坐标

这种用3个代数分量表示2D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。 图形的几何变换基础-齐次坐标 “齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”—— F.S. Hill, JR 对于一个向量v以及基oab，可以找到一组坐标(v1,v2)，使得v = v1 a + v2 b            而对于一个点p，则可以找到一组坐标（p1,p2），使得  p – o = p1 a + p2 b     p = p1 a + p2 b + o 这种用3个代数分量表示2D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。

图形的几何变换基础-齐次坐标 齐次坐标：以 n+1 维向量表示一个 n 维向量问题 在 n 维空间中，点的位置用非齐次坐标表示时，具有 n 个坐标分量(p1, p2, … …, pn)，且是唯一的。若用齐次坐标表示则为(hp1, hp2, … …, hpn, h)， 且不唯一，其中h≠0。

图形的几何变换基础-齐次坐标 若二维点(x, y)的齐次坐标表示为(hx, hy, h)，则(h1x, h1y, h1)，也是同一点的齐次坐标。 三维点的齐次坐标可表示为(hx, hy, hz, h) 例如： 点P(2, 3)的齐次坐标： (1, 1.5, 0.5)、(4, 6, 2)、(6, 9, 3) -〉(2*h，3*h，h) 普通坐标转换成齐次坐标，给x,y乘上同一个非零数h，然后增加第3个分量h； 齐次坐标转换成普通坐标，把前两个坐标同时除以第3个坐标，然后去掉第3个分量。

二维点(x, y)的齐次坐标 h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。 如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)、(4,6,2)、(6,9,3)等等。 (x,y)点对应的齐次坐标为 (x,y)点对应的齐次坐标可理解为三维空间的一条直线

图形的几何变换基础-齐次坐标 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 由普通坐标h→齐次坐标 由齐次坐标÷h→普通坐标 为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。 在二维几何变换中，取 h = 1。即： (x y) 的齐次坐标是 (x y 1)

二维基本几何变换 二维基本几何变换是相对于原点或坐标轴进行的 平移变换 x’ = x + Tx y’ = y + Ty 旋转变换 x’ = x cosθ- y sinθ y’ = x sinθ+ y cosθ 比例变换 x’ = Sxx y’ = Syy (x,y) (x’,y’)

二维基本几何变换 分以y 轴对称、以x 轴对称、以原点轴对称、直线y = x 对称、以直线y = -x 对称五种情况 反射（对称、镜像）变换 例如， sx = -1 sy = 1 原始图 sx = -1 sy = -1 sx = 1 sy = -1

二维基本几何变换 错切变换 分沿x 轴方向错切、沿y 轴方向错切、沿xy 两个轴方向错切三种情况 例：沿x 轴方向错切： x’ = x + by=x + y cot θ y’ = y 注:平移和旋转变换不改变形体的形状和大小，又称为刚体变换, 错切和缩放不是刚体变换

二维基本几何变换的矩阵形式 旋转变换可以表达为矩阵形式： 用矩阵表示变换，不仅书写简单，而且连续施加变换可以写成矩阵连乘的形式。 比例、反射、错切变换都能写成矩阵形式，只有平移变换不能。如何使平移变换也能写成矩阵形式呢？ [x’ y’] = [x y] cosθ sinθ -sinθ cosθ = [ x cosθ- y sinθ x sinθ+ y cosθ]

二维基本几何变换的矩阵形式 二维几何变换的基本方法 将变换矩阵作为一个算子，作用于变换前的图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵上，得到变换后的图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵。 设二维图形变换前坐标为(x,y,1),变换后为(x*,y*,1)   二维变换矩阵 注意：T2D可看作三个行向量 (x*, y*, 1) = (x, y, 1) T2D

基本几何变换的矩阵形式-平移变换 平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状

基本几何变换的矩阵形式-比例变换 以坐标原点为放缩参照点 当Sx=Sy=1时：恒等比例变换 当Sx=Sy>1时：沿x, y方向等比例放大。 当Sx=Sy<1时：沿x, y方向等比例缩小 当SxSy时：沿x, y方向作非均匀的比例变换，图形变形。

基本几何变换的矩阵形式-反射变换 当Sx=-1, Sy=1时与y轴对称的反射变换 当Sx=1, Sy=-1时与x轴对称的反射变换 原始图 当Sx=1, Sy=-1时与x轴对称的反射变换 当Sx=-1, Sy=-1时与原点对称的反射变换

基本几何变换的矩阵形式-旋转变换 注意θ是逆时针旋转角度

（d）沿y正向错切 （e）沿y负向错切 （f）沿x和y正向错切 基本几何变换的矩阵形式-错切变换 （a）正方形 （b）沿x正向错切 （c）沿x负向错切 （d）沿y正向错切 （e）沿y负向错切 （f）沿x和y正向错切 错切变换

基本几何变换的矩阵形式-错切变换 当d=0时，(x* y* 1)=(x+by y 1)，图形的y坐标不变； 当b>0，图形沿+x方向作错切位移。 当b<0，图形沿-x方向作错切位移。

基本几何变换的矩阵形式-错切变换 当b=0时， (x′y′1)=(x dx+y 1)图形的x坐标不变； 当d>0，图形沿+y方向作错切位移。 当d<0，图形沿-y方向作错切位移。

基本几何变换的矩阵形式-错切变换 当b0且d0时，(x′y′1)=(x+by dx+y 1) 图形沿x, y两个方向作错切位移。 错切变换引起图形角度关系的改变，甚至导致图 形发生变形。

二维基本几何变换的矩阵形式 从变换功能上可把T2D分为四个子矩阵 沈阳工业大学信息科学与工程学院 计算机图形学

二维复合变换 基本几何变换的基本二字的含义是指有一定限制的，不适用于所有的变换。 复合变换又称级联变换，指对图形做一次以上的几何变换。 注意：任何一个线性变换都可以分解为上述几类变换。 注意：

复合平移 求点P(x, y)经第一次平移变换（Tx1,Ty1），第二次平移变换（Tx2, Ty2）后的坐标P*（x*, y*） 设点P(x,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P‘(x y 1)，则 经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1) 则复合变换矩阵为Tt=Tt1•Tt2

多种复合组合 例:对一线段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。 设点(x,y)为线段上的任意一点,点(x´,y´)为点(x,y)放大 后的坐标,点(x´´,y´´)为点(x´,y´)平移后的坐标,则: [x´, y´, 1]= [x, y, 1]*S2 [x´´, y´´, 1]= [x´, y´, 1]*T2 [x´´, y´´, 1]= [x, y, 1]*S2*T2 令：M=S2(2,2)*T2(10,0) ，则M即为复合变换

任意点的旋转变换 基本几何变换的旋转θ角是指 “绕原点旋转θ角” 对绕A点旋转θ角的情况要用到复合变换（基本几何变换的组合）。 利用复合变换调整参考点 几何变换不改变图形的连接关系和平行关系

任意点的旋转变换 例： 一个由顶点P1（10，10），P2（30，10）和P3（20，25）所定义的三角形，相对于点Q（10，25）逆时针旋转30°，求变换后的三角形顶点坐标。 Q P3 P2 P1 平移变换 P1 P2 P3 Q 原始图形

任意点的旋转变换 Q P3 P2 P1 Q P3 P2 P1

任意点的旋转变换 P1(17.5,12.01)，P2(34.82,22.01)和P3(18.66,30)

任意方向的二维几何变换 例： 将三角形相对于轴线y=kx+b作反射变换，计算每一步的变换矩阵 y=kx+b （0，b） 原始图形 平移变换

任意方向的二维几何变换 旋转变换 反射变换

任意方向的二维几何变换 反旋转变换 反平移变换

几何变换程序实现 class CP2 { public: CP2(); class CTransform//二维几何变换 CP2(double,double); double x, y, w; }; class CTransform//二维几何变换 { public: CTransform(); virtual ~CTransform(); void SetMat(CP2 *,int); void Identity(); void Translate(double,double);//平移变换矩阵 void Scale(double,double);//比例变换矩阵 void Scale(double,double,CP2);//相对于任意点的比例变换矩阵 void Rotate(double);//旋转变换矩阵 void Rotate(double,CP2);//相对于任意点的旋转变换矩阵 void ReflectO();//原点反射变换矩阵 void ReflectX();//X轴反射变换矩阵 void ReflectY();//Y轴反射变换矩阵 void Shear(double,double);//错切变换矩阵 void MultiMatrix();//矩阵相乘 double T[3][3]; CP2 *POld; int num; };

void CTransform::Identity()//单位矩阵 { T[0][0]=1.0;T[0][1]=0.0;T[0][2]=0.0; T[1][0]=0.0;T[1][1]=1.0;T[1][2]=0.0; T[2][0]=0.0;T[2][1]=0.0;T[2][2]=1.0; } void CTransform::Translate(double tx, double ty)//平移变换矩阵 Identity(); T[2][0]=tx; T[2][1]=ty; MultiMatrix(); void CTransform::Scale(double sx, double sy)//比例变换矩阵 T[0][0]=sx; T[1][1]=sy;

void CTransform::Rotate(double beta)//旋转变换矩阵 { Identity(); double rad=beta*PI/180; T[0][0]=cos(rad); T[0][1]=sin(rad); T[1][0]=-sin(rad);T[1][1]=cos(rad); MultiMatrix(); } void CTransform::Rotate(double beta,CP2 p)//相对于任意点的旋转变换矩阵 Translate(-p.x,-p.y); Rotate(beta); Translate(p.x,p.y); void CTransform::ReflectO()//原点反射变换矩阵 T[0][0]=-1; T[1][1]=-1;

void CTransform::ReflectX()//X轴反射变换矩阵 { Identity(); T[0][0]=1; T[1][1]=-1; MultiMatrix(); } void CTransform::ReflectY()//Y轴反射变换矩阵 T[0][0]=-1; T[1][1]=1; void CTransform::Shear(double b,double c)//错切变换矩阵 T[0][1]=b; T[1][0]=c;

void CTransform::MultiMatrix()//矩阵相乘 { CP2 *PNew=new CP2[num]; for(int i=0;i<num;i++) PNew[i]=POld[i]; } for(int j=0;j<num;j++) POld[j].x=PNew[j].x*T[0][0]+PNew[j].y*T[1][0] +PNew[j].w*T[2][0]; POld[j].y=PNew[j].x*T[0][1]+PNew[j].y*T[1][1] +PNew[j].w*T[2][1]; POld[j].w=PNew[j].x*T[0][2]+PNew[j].y*T[1][2] +PNew[j].w*T[2][2]; delete []PNew;