必修四 第一章 三角函数

月盈则亏是周期现象

由于月球和太阳的引潮力作用，使海洋水面发生的周期性涨落的潮汐现象。 钱塘江一线潮 由于月球和太阳的引潮力作用，使海洋水面发生的周期性涨落的潮汐现象。                                                                                                             

1.1.1 任意角的概念

1、角的概念 初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形. 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。 初中学过的角的范围是：0º至 360º。

然而生活中有很多实例的角会不在该范围： 体操运动员转体720º（即“转体2周”），跳水运动员向内、向外转体1080º （“转体3周”）； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？ 这些例子中有的角不仅不在范围：0º至 360º ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，那么用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。

2．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 如图：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α． 旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．

⑵．“正角”与“负角”、“零角” 我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角即零度角（0º）．此时零角的始边与终边重合。 角的记法：角α或可以简记成∠α，或简记为： α. 如∠α=-1500 ， α=00， α=6600 等等……

⑶角的概念扩展的意义： 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了 ① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660. ② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.

角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角． 要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．

用旋转来描述角，需要注意三个要素： 旋转中心、旋转方向和旋转量 （1）旋转中心：作为角的顶点. （2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；

旋转方向决定角的符号，旋转量决定角的大小。 （3）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º .于是就会出现720º ， － 540º等角度. 旋转方向决定角的符号，旋转量决定角的大小。

3．象限角 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限此时这种角称为：轴线角） 例如：30、390、330是第一象限角， 300、 60是第四象限角， 585、1300是第三象限角， 135  、2000是第二象限角等

4．终边相同的角 ⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同. ⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同. ⑵探究：终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z)个周角的和： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1) 30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4) 1770=305×360 (k=－5)

⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β| β=α+k·360º， k∈Z} 即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成(－30º)+ k·360º ； 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合： {β| β=α+k·360º， k∈Z} 即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。 ⑷注意以下四点： ① k∈Z， K > 0，表示逆时针旋转， K < 0,表示顺时针旋转. ② 是任意角； ③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成(－30º)+ k·360º ； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.

例1. 在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角. 即：[00,3600) 例1. 在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角. (1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′. 解：⑴∵－120º=240º+（-1）×360º， ∴ －120º的角与 240º的角终边相同， 它是第三象限角． ⑵ ∵640º=280º+1 × 360º， ∴ 640º的角与 280º的角终边相同， 它是第四象限角．

∴- 950º12’的角与 129º48’的角终边相同，它是第二象限角． 例1. 在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角. (3) －950º12′. ⑶ 解：∵－950º12’=129º48’ +（-3）×360º， ∴- 950º12’的角与 129º48’的角终边相同，它是第二象限角．

方法二 例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来： (1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′. 解：(1) S={β| β=60º+k·360º ，k∈Z }, S中在－360º～720º间的角是 0×360º+60º=60º； －1×360º+60º=－300º； 1×360º+60º=420º． 方法二

(2) S={β| β= －21º +k·360º，k∈Z } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º． 例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来： (1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′. (3) S=｛β| β= 363º14’ +k·360º，k∈Z } S中在－360º～720º间的角是 0×360º+363º14’=363º14’； －1×360º+363º14’=3º14’； －2×360º+363º14’=－356º46’．

y 0° +K · 360° o x +K· 360° 180° 或360°+ K ·360° 270° +K· 360° 例3写出终边分别落在四个象限的角的集合. +K ·360° 90° 终边落在坐标轴上的情形 x y o 0° +K · 360° 180° +K· 360° 或360°+ K ·360° 270° +K· 360°

第一象限的角表示为 {|k360<< 90 + k360,kZ}； 第二象限的角表示为 {| 90 + k360<<180 +k360，kZ}； 第三象限的角表示为 {| 180 + k360<< 270 + k360，kZ} 第四象限的角表示为 {| 270 + k360<< 360 + k360，kZ}

例4、写出终边落在y轴上的角的集合. y 0° +K · 360° o x +K· 360° 180° 270° +K· 360° 90°

例4解：终边落在ｙ轴非负半轴和非正半轴上的角的集合分别记为为S1，S2 S1={β| β=90º +K∙360º,K∈Z} S2={β| β=270º+K∙360º,K∈Z} ={β| β=90º+180º+K360º,K∈Z} ={β| β=90º+（2K+1）∙180º，K∈Z} 即：S2={β| β=90º+ 180º的奇数倍} 同理S1={β| β=90º+ 180º 的偶数倍} 终边落在ｙ轴上的角的集合为S=S1∪S2 S ={β| β=90º+K∙ 180º ，K∈Z}

课堂练习 1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间(0º,90º)内的角是锐角吗？ 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐角．

2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？ (1)420º，(2) －75º，(3)855º，(4) －510º． 答：(1)第一象限角； (2)第四象限角， (3)第二象限角， (4)第三象限角.

3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（ ） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上 A 4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ ） A {β|β=k·360º (k∈Z) } B {β|β=k·180º (k∈Z) } C {β|β=k·90º (k∈Z) } D {β|β=k·180º+90º (k∈Z) } C

5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( ) A 第一象限角 B 第一、二象限角 C 第一、三象限角 D 第一、四象限角 C 6、若α是第四象限角，则180º－α是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 C

7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（ ） A. β=α+90o B β=α±90o C β=k·360o+90o+α,k∈Z D β=k·360o±90o+α, k∈Z D 8、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是__________，α+β的范围是___________; (0º,45º) (180º,270º)

9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在[0º,360º）范围内，终边与角 的终边相同的角为______________; 解：β=k·360º+60º，k∈Z. 所以 =k·120º+20º， k∈Z. 当k=0时，得角为20º， 当k=1时，得角为140º， 当k=2时，得角为260º.