角平分线的性质 本节内容 本课内容 1.4

角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.

探究 如图1-26，在∠AOB的平分线OC上任取一点P， 作PD⊥OA ， PE⊥OB ， 垂足分别为点D， E， 试问PD与PE相等吗？

将∠AOB 沿OC 对折，我发现PD与PE 重合， 即PD与PE相等. 你能证明吗？ 图1-26

我们来证明这个结论. ∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△PDO和△PEO中， OP = OP， ∴ △PDO≌△PEO. 图1-26 图1-26 ∴ PD = PE.

结论 由此得到角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

动脑筋 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？ 如图1-27，点P 在∠AOB 的内部， 作PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为点D，E. 若PD= PE， 那么点P在∠AOB的平分线上吗？ 图1-27

∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. 如图1-27，过点O，P作射线OC. 图1-27 ∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO. ∴ ∠AOC =∠BOC. ∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 结论 由此得到角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

举 例 例1 如图1-28，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B在∠ADC的平分线上； （2）求证：BD是∠ABC的平分线. 图1-28

证明： （1）求证：点B在∠ADC的平分线上； 在△ABC中， ∵ ∠1=∠2， ∴ BA = BC. 又 BA⊥AD， BC⊥CD， 图1-28

（2）求证：BD是∠ABC的平分线. 证明： 在Rt△BAD和Rt△BCD中， ∵ BA = BC， BD = BD， ∴ ∠ABD =∠CBD. ∴ BD是∠ABC的平分线. 图1-28

练习 如图，在直线MN上求作一点P ，使点P到∠AOB两边 的距离相等. 解 作∠AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所

2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，BD=CD. 求证：AB=AC. 证明 ∵ 点D在∠BAC的平分线上， DE⊥AB，DF⊥AC ， ∴ DE = DF. ∴ AB = AC. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∵ BD = CD， DE = DF， ∴ Rt△BED≌Rt△CFD. ∴ ∠B =∠C.

动脑筋 如图1-29， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM 分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？ 图1-29 图1-29

∴ M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线. 可以添加条件MN =ME （或MN =MF）. ∵ ME⊥CD， MN⊥CA， ∴ M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线. 同理可得AM是∠CAB的平分线. 图1-29

举 例 解 如图1-30，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取 一点P，作PE⊥DB， PF⊥AC， 垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系. 例2 ∵ AP是∠DAC的平分线， 又PE⊥DB， PF⊥AC， 解 ∴ PE=PF. 在△EBP中，BE+PE>PB， 图1-30 ∴ BE+PF>PB.

动脑筋 如图1-31，你能在△ABC 中找到一点P，使其 到三边的距离相等吗？ 图1-31

因为角平分线上的点到角的 两边的距离相等，所以只要作 △ABC 任意两角（例如∠A与∠B） 的平分线，其交点P 即为所求作的 点. 点P也在∠C 的平分线上，如图1-32. 图1-32

练习 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D. 求证：（1）∠ECD=∠EDC； （2）OC=OD.

证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ， ∴ ED =EC. ∴ ∠ECD=∠EDC. ∴ △EDC 是个等腰三角形. （2）在Rt△OED和Rt△OEC中， ∵ OE= OE， ED = EC， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴ OD=OC.

2. 如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC， BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. 证明 作CM⊥AB于点M. ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE， ∴ CD = CM，CE = CM. 在Rt△ACD和Rt△ACM中， ∵ CM = CD，AC = AC， ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM. ∴ AD = AM. 同理， BE = BM. 又 AB=AM+BM， ∴ AB=AD+BE. M

小结与复习 1. 直角三角形的两个锐角有什么关系？ 2. 直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？ 3. 请用自己的语言叙述勾股定理及其逆定理. 4. 判断两个直角三角形全等的方法有哪些？ 5. 角平分线有哪些性质？

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 直角三角形两个锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 性质 勾股定理 直角 三角形 有一个角是直角的三角形是直角三角形 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 勾股定理的逆定理 全等判定方法 HL SAS ASA AAS SSS 角平分线 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上

“斜边、直角边定理” 是判定两个直角三角形全等所独有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条件是两个直角三角形. 2. 要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理及其逆定理等，它们都是互为逆命题. 3. 勾股定理及其逆定理都体现了数形结合的思想. 勾股定理体现了由形到数，而勾股定理的逆定理是用代数方法来研究几何问题，体现了由数到形.

结 束