1.4 多項式的因式分解

1.4 多項式的因式分解 學習目標 利用特殊乘積與因式分解技巧分解多項式。 求根式的定義域。 利用綜合除法因式分解三次或更高次的多項式。 利用有理根定理求多項式的實數根。 第一章　微積分基礎複習 P.1-19

anxn + an－1xn－1 + . . . + a1x + a0, an 0 因式分解的技巧 代數基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra) 是指每個 n 次多項式 anxn + an－1xn－1 + . . . + a1x + a0, an 0 恰有n個根(zeros)(這些根可能為重根或者為虛根)。求多項式之根的問題相當於分解多項式成線性因式的問題。 第一章　微積分基礎複習 P.1-19

因式分解的技巧 第一章　微積分基礎複習 P.1-19

因式分解的技巧 第一章　微積分基礎複習 P.1-19~1-20

用二次公式求下列多項式的實數根。 a. 4x2 + 6x + 1 b. x2 + 6x + 9 c. x2 －6x + 5 範例 1　應用二次公式 用二次公式求下列多項式的實數根。 a. 4x2 + 6x + 1 b. x2 + 6x + 9 c. x2 －6x + 5 第一章　微積分基礎複習 P.1-20

a. 用 a ＝ 4、b ＝ 6 和 c ＝ 1 代入可得 所以，兩個實數根為 和 範例 1 應用二次公式 （解） 第一章 微積分基礎複習 範例 1　應用二次公式 （解） a. 用 a ＝ 4、b ＝ 6 和 c ＝ 1 代入可得 所以，兩個實數根為 和 第一章　微積分基礎複習 P.1-20

c. 就這個二次方程式而言，代入 a ＝ 2、b ＝－6 以及 c ＝ 5。 所以， 範例 1　應用二次公式 （解） b. 將 a ＝ 1、b ＝ 6 以及 c ＝ 9 代入二次公式得 所以，只有一個 (重複的) 根：x ＝ －3 c. 就這個二次方程式而言，代入 a ＝ 2、b ＝－6 以及 c ＝ 5。 所以， 因為 是虛數，所以沒有實數根。 第一章　微積分基礎複習 P.1-20

用二次公式求下列多項式的實數根。 a. 2x2 + 4x + 1 b. x2 － 8x + 16 c. 2x2 － x + 5 檢查站 1 第一章　微積分基礎複習 P.1-20

用因式分解來解範例 1(b)，會得到相同的解嗎？ 學習提示 用因式分解來解範例 1(b)，會得到相同的解嗎？ 第一章　微積分基礎複習 P.1-20

因式分解的技巧 範例 1(a) 的根是無理數，而範例 1(c) 的根是虛數。這兩種情況的二次式稱為不可約的(irreducible)，因為不能分解為有理係數的線性因式。下一範例將說明如何求可約二次式的根，在這個範例中，因式分解是用來求二次式的根。試著用二次公式去求出相同的根。 第一章　微積分基礎複習 P.1-21

求下列二次多項式的根。 a. x2 － 5x + 6 b. x2 － 6x + 9 c. 2x2 + 5x－ 3 範例 2 二次式的因式分解 範例 2　二次式的因式分解 求下列二次多項式的根。 a. x2 － 5x + 6 b. x2 － 6x + 9 c. 2x2 + 5x－ 3 第一章　微積分基礎複習 P.1-21

a. 因為 x2 － 5x ＋ 6 ＝ (x － 2)(x － 3) 所以根為 x ＝ 2 以及 x ＝ 3。 b. 因為 範例 2　二次式的因式分解 （解） a. 因為 x2 － 5x ＋ 6 ＝ (x － 2)(x － 3) 　所以根為 x ＝ 2 以及 x ＝ 3。 b. 因為 x2 － 6x ＋ 9 ＝ (x － 3) 2 　所以只有一個根為 x ＝ 3 c. 因為 2x2 ＋ 5x － 3 ＝ (2x － 1)(x ＋ 3) 　所以根為 x ＝ 和 x＝－3。 第一章　微積分基礎複習 P.1-21

學習提示 以 x 為變數的多項式的根就是將其代入 x 會使多項式為零。求根時，須將多項式分解成線性因式，然後將每一因式設為零。例如，(x － 2)(x － 3) 的根會在 x － 2 ＝ 0以及 x － 3 ＝ 0 時產生。 第一章　微積分基礎複習 P.1-21

求下列二次多項式的根。 a. x2 － 2x － 15 b. x2 + 2x + 1 c. 2x2 － 7x + 6 檢查站 2 第一章　微積分基礎複習 P.1-21

範例 3　求根式的定義域 求 的定義域。 第一章　微積分基礎複習 P.1-21

範例 3　求根式的定義域 （解） 因為 x2 － 3x ＋ 2 ＝ (x － 1)(x － 2) 二次式的根為 x ＝ 1 和 x ＝ 2。所以需要檢驗二次式在區間(－, 1)、(1, 2) 和 (2, ) 的正負，如圖 1.15 所示。檢驗每個區間的正負後，可知二次式在中間的區間為負，而在外面的兩個區間為正。此外，因為 x ＝ 1 以及 x ＝ 2 時，二次式為零，所以 的定義域是 (－, 1]  [2, －) 定義域 第一章　微積分基礎複習 P.1-21

範例 3　求根式的定義域 （解） 第一章　微積分基礎複習 P.1-21 圖1.15

檢查站 3 求 的定義域。 第一章　微積分基礎複習 P.1-21

三次或更高次多項式的因式分解 求三次或更高次多項式的根可能是很困難的。但是若知道其中一個根，那就可以用這個根來降低多項式的次數。例如，x ＝ 2 是 x3 － 4x2 ＋ 5x －2 的一個根，那麼 (x － 2) 就是一個因式，且可用長除法分解多項式，如下所示： x3 － 4x2 ＋ 5x － 2 ＝ (x － 2)(x2 － 2x ＋ 1) 　　　　 　　　＝ (x － 2)(x － 1)(x － 1) 如同選擇長除法一樣，很多人更喜歡使用綜合除法 (synthetic division) 去降低多項式的次數。 第一章　微積分基礎複習 P.1-22

三次或更高次多項式的因式分解 第一章　微積分基礎複習 P.1-22

三次或更高次多項式的因式分解 對多項式 x3 － 4x2 ＋ 5x － 2 使用綜合除法時，由已知根 x ＝ 2 可得 第一章　微積分基礎複習 P.1-22

三次或更高次多項式的因式分解 在使用綜合除法時，要將所有的係數都列入—尤其是係數為零時。例如，如果已知 x ＝ －2 是 x3 ＋ 3x ＋ 14 的一個根，則綜合除法的應用如下所示： 第一章　微積分基礎複習 P.1-22

上頁綜合除法的演算只是針對類型為 x － x1 的除數，其實 x ＋ x1 ＝ x － (－x1) 也就是這種型式。 學習提示 上頁綜合除法的演算只是針對類型為 x － x1 的除數，其實 x ＋ x1 ＝ x － (－x1) 也就是這種型式。 第一章　微積分基礎複習 P.1-22

有理根定理 接下來要介紹求多項式之有理根的系統方法，即有理根定理(Rational Zero Theorem)。 第一章 微積分基礎複習 第一章　微積分基礎複習 P.1-22~1-23

範例 4　有理根定理的使用 求多項式 2x3 ＋ 3x2 － 8x ＋ 3 所有的實數根。 第一章　微積分基礎複習 P.1-23

可能的有理根就是常數項的因數除以首項係數的因數。 範例 4　有理根定理的使用 （解） 可能的有理根就是常數項的因數除以首項係數的因數。 由驗算這些可能的根時，得知 x ＝ 1 就是一個根。 2(1)3 + 3(1)2 － 8(1) + 3 = 2 + 3 － 8 + 3 = 0 第一章　微積分基礎複習 P.1-23

最後，因式分解 2x2 ＋ 5x － 3 ＝ (2x － 1)(x ＋3)，可得 範例 3　有理根定理的使用 （解） 現在，由綜合除法可得到下面的結果。 最後，因式分解 2x2 ＋ 5x － 3 ＝ (2x － 1)(x ＋3)，可得 2x3 ＋ 3x2 － 8x ＋ 3 ＝ (x － 1)(2x － 1)(x ＋ 3) 所以求得的根為 x ＝ 1、x ＝ 和 x ＝ －3。 第一章　微積分基礎複習 P.1-23

在範例 4 中，可將求得的根代入原多項式，以檢驗答案是否正確。 檢驗 x ＝ 1 是否為根 2(1)3 + 3(1)2 － 8(1) + 3 學習提示 在範例 4 中，可將求得的根代入原多項式，以檢驗答案是否正確。 檢驗 x ＝ 1 是否為根 2(1)3 + 3(1)2 － 8(1) + 3 ＝ 2 + 3 － 8 + 3 ＝ 0 第一章　微積分基礎複習 P.1-23

學習提示（續） 檢驗 x ＝ 是否為根 檢驗 x ＝ －3 是否為根 2(－3)3 + 3(－3)2－8(－3) + 3 ＝－54 + 27 + 24 + 3 ＝ 0 第一章　微積分基礎複習 P.1-23

檢查站 4 求多項式 2x3 － 3x2 － 3x ＋ 2所有的實數根。 第一章　微積分基礎複習 P.1-23