自引力体系统计物理的新进展 Ping He 2010-3-2 争取一个半小时完成。

自引力体系（Self-Gravitating System) 自引力体系：孤立体系，只有引力 再无其他作用：无碰撞，没有重子物质； 重要特征：自引力体系是长程力热力学体系； 现实模型：球状星团，椭圆星系，暗物质晕。 孤立：不要有别的天体在附近，否则，会有潮汐的相互作用。 暗物质晕：今天报告的重点。 Globular cluster： Globular Cluster M3 Elliptical galaxy： M87

冷暗物质的宇宙学N-体模拟 -- 宇宙学的分子动力学模拟 大尺度宇宙学的主流研究方法 大尺度：研究星系，星系团尺度上的宇宙学，形成和演化。 结合宇宙的演化，计算在牛顿引力下粒子的运动轨迹。 算法有很多了。 天文观测是被动观察。 大尺度宇宙学可以是实验科学！

宇宙学N-体数值模拟 巨大的低密度空洞； 丝状，片状结构，由冷暗物质晕构成，亮点是星系团； 统计研究，各种数理统计方法和统计检验技术。 拟合，经验结果(empirical laws)。 人工着色，暗物质不发光。 这种技术也发展了好几十年了。

冷暗物质晕 冷暗物质：星系级的成团所满足的条件。 现在主流的暗物质是冷暗物质， 就是从属于结构形成的需要。

冷暗物质晕的经验关系 -- 数值结果的拟合 密度轮廓 (density profile)：密度随半径的关系； 冷暗物质晕的经验关系 -- 数值结果的拟合 密度轮廓 (density profile)：密度随半径的关系； 赝相空间密度 (pseudo-phase-space density); 速度各向异性参数轮廓(velocity-anisotropy parameter); 速度弥散的分布(distribution velocity dispersion); 形状参数的分布(distribution of shape parameter); 自旋参数的分布(distribution of spin parameter)。 自旋参数：今天不涉及，总有自转角动量，而且分布还挺有规律。 有自转，就有对球对称的偏离，三椭球分布。 在我们这里，都是球对称。

冷暗物质晕的经验关系 这些经验关系过去被认为是普适的，即对于任何稳定的暗物质晕，只由两个尺度参数来确定，特征尺度和特征密度： ，如NFW轮廓： 当前的高分辨率的模拟发现，有一定程度的对普适性的偏离。

宇宙学CDM暗晕的N-body模拟 -- I. density profile NFW profile: Navarro, Frenk, White, 1995, 96, 97 (citations: 573, 2227, 3033) 粒子宇宙学，越是需要中心致密区域的密度轮廓， 就越是不精确。 在粒子宇宙学， 引力透镜， 大尺度结构形成等方面，有着极大的应用价值

宇宙学CDM暗晕的N-body模拟 -- I. density profile 面对一个粒子集群，证认出一个暗晕，有理论判据， 切掉，暗晕外面的东西。 拟合结果与模拟结果比，还是有点偏差。 Navarro, Ludlow, Springel, Wang, Vogelsberger, White, Jenkins, Frenk, & Helmi arXiv:0810.1522, MNRAS， unprecedented highest resolution

宇宙学CDM暗晕的N-body模拟 -- II. velocity anisotropy vr vt 各向异性参数，已被定义几十年了: 这是今天报告的重点，大家要熟悉了。 速度分布的各向异性，定义：好几十年了。 在2-D横截面上都是各向同性的。 -∞ < b < 1

宇宙学CDM暗晕的N-body模拟 -- II. velocity anisotropy arXiv:0810.1522, MNRAS Highest resolution

宇宙学CDM暗晕的N-body模拟 -- III. velocity dispersion arXiv:0810.1522 说明： 径向速度弥散，连同 速度分布的各向异性， 意味着没有统一的， 整体的温度定义。

宇宙学CDM暗晕的N-body模拟 -- IV. pseudo-phase space density arXiv:0810.1522

CDM暗晕经验规律 -- 物理起源 迄今为止： 有十几个关于density profile及其普适性的解释， dynamical models, 比如mergers; 没有对velocity anisotropy和velocity dispersion起源的解释； 没有对pseudo-phase-space density起源的解释。 因为现在的结果倾向于普适性有所破坏，所以更没有解释了。

An example by Simon D.M. White The universal density profile “is a fixed point in the process of repeated mergers.” (Syer & White, 1998, MNRAS, 293,337); 11 yeas later: “These results indicate that mergers do not play a pivotal role in establishing the universalities, thus contradicting models which explain them as consequences of mergers.” (Wang & White, 2009, MNRAS, 396, 709) .

自引力体系的统计物理 – 近50年的历史 动力学模型不行，统计物理方法怎样？ 迄今为止：没有这门统计物理； Antonov (1962)：体系全局最大熵 (Boltzmann - Gibbs熵) 不存在。 (Lynden-Bell & Wood, 1968)

自引力体系的统计物理 – 近50年的历史 Lynden-Bell (1967, MNRAS, 136, 101): Total 质量- 和 能量-守恒 约束  “violent relaxation” (激烈弛豫)  “平衡态”: 无限的 质量, 能量, 及 体积  不现实和不可接受  进一步的弛豫机制。 Lynden-Bell：best known for his theories that galaxies contain massive black holes at their centre, and that such black holes are the principal source of energy in quasars. 势阱的时间扰动，引力坍缩。 Gravitational degeneracy

Lynden-Bell (1967, MNRAS, 136, 101) 长程力 统计物理 必引文献

Lynden-Bell (1967, MNRAS, 136, 101) Lynden-Bell的相空间分配方法：其实是连续性的相元方法(phase element) 粒子集群，构成相空间的微观相元。

徐遐生(Frank Shu,1978, ApJ, 225, 83) 批评Lynden-Bell工作，提出自己的粒子分配方法(particulate partition)； 还有其他人的方法：各自的相空间分配方法； 同样的问题：无限质量，能量，体积。

Binney Argument(1986)：Boltzmann-Gibbs熵对于自引力体系无上限 体系总质量和能量： ， 一大部分质量，能量存 放在一个致密的中心区 域, , 剩下的小部分 和 放在 一个低密度的外封皮中， 当 ,该外封皮半径 越来越大，密度越来越低， 使得 This argument briefly states as follows. The total mass and total energy of the system are assumed to be $M_T$ and $E_T$ (negative), respectively. A large fraction of the mass and the energy, say $M_T-\mu$ and $E_T-\epsilon$, are concentrated in a bound static core, whereas the remaining mass $\mu$ and thermal energy $\epsilon$ are deposited in a diffuse outer envelope. As $\epsilon\rightarrow 0$ the envelope becomes larger and larger in radius, but its density becomes more and more tenuous, such that the associated entropy will diverge to infinity \citep{galdyn08}

Simon D.M. White (1987, MNRAS, 229, 103)方法 理想气体热力学熵形式： 流体静力学平衡: Jeans equation with b=0

结果不能接受 Simon D.M. White (1987): 需要额外的约束。

Lynden-Bell（2005, MNRAS, 361, 385） -- 激烈弛豫理论的不自洽 结论： 统计物理不可行，自引力体系的“平衡态”似乎 应该是动力学过程的结果。 Quasi-stationary state

Physics Reports, 480 (2009), 57 - 159 长程力体系：非广延体系。 我前面提的都是天体物理学家。 这些问题，被总结在Physics Reports上， 主要的问题是这些关键词所展示的。 长程力体系：非广延体系。 非广延统计物理(Tsallis, 1988, J. Stat, Phys., 52, 479)

小结一下：对于自引力体系 Simon White： 动力学方法不可行； Antotov & Binney：没有最大熵； Lynden-Bell： 统计物理方法不可行； Tsallis(1988)：非广延统计 – 也没行； 系综：三种系综不等价； 各态历经性：被破坏； 平衡态是否存在； … … … …

熵与熵原理：复杂性动力学的出发点 我相信熵和熵原理对于自引力体系的适用性； 动力学：是物理学的主干； 最小作用量原理和熵原理：是动力学两大根基。 最小作用量原理  基础动力学 熵原理 热力学关系 开始介绍我自己的工作。 我相信熵和熵原理对于自引力体系的适用性；因为动力学是物理学的主干， 熵原理可以不成立吗？那样的话统计物理的根基不牢。Einstein“上帝不掷骰子”。 第一性的变分原理

已有解析理论及热力学宏观参量 Vlasov-Poisson方程体系： 宏观参量（r的函数）： 流体静力学平衡 Jeans equation:

第一性原理：熵原理 ？ 问：如果这些热力学变量的其余两个方程不是某个第一性原理的产物，那么它们能够从其他方式，如吸积，合并，引力坍缩等动力学方式得到吗？ 答：恐怕不能。这些变量是由分布函数得到的，分布函数的演化方式就是Vlasov方程，应该没有第二个了。因此恐怕没有可能性从动力学过程中获得其余两个方程。它们应该是体系平衡时的平衡方程。 这些平衡方程可是不被Vlasov方程所描述的。

新探索: Ping He (2009) 引力的平均场模型：由于长程力的特点，某个粒子同体系中其他任何一个粒子都有引力相互作用，平均场近似可以把引力拆分成长程部分和短程部分。 长程背景势，加短程扰动。

弛豫机理(Relaxation Mechanisms) Violent relaxation：引力势的激烈扰动； Two-body relaxation：粒子-粒子相互作用； Landau damping：粒子-Jeans波动相互作用。 长程弛豫:Violent Relaxation 有了长，短分解后，再研究弛豫机理。 Landau阻尼;1962年，Lynden-Bell引入。 短程弛豫: Two-body Relaxation Landau damping

长程 vs. 短程弛豫 激烈弛豫时标：大约是星系或暗晕的一个震荡周期 两体弛豫时标： N<40, 就很小， Landau damping时标：依赖于波长，短波扰动时标很短。

熵和熵稳方程 The entropy is the same as the one by Simon D.M. White (1987) Let Mass conservation: 把p当作已知函数，不能对其做变分，只能对密度做变分， 这种方法并不很自洽。 Performing the 1st-order variational calculus : Entropy stationary equation

引入牛顿势 得 这个结果很重要，说明每个bit的熵与牛顿 势成正比。

Velocity anisotropy的意义 Total 3 unknown variables: p, r, b (1) Entropy equation: (2) Jeans equation: b is of great significance; No need to truncate artificially;

Velocity anisotropy的意义 Total 3 unknown variables: p, r, b Assuming r is given as Einasto form Gravitational degeneracy

引力简并效应 -- Gravitational degenenacy 两个粒子两体散射 总有偏离b，所以总 有角动量，这使得粒子在相空间中看上去 像是一个具有一定大小的相元。这种不相 容性就是引力简并的起源，由Lynden-Bell 引入来避免Gravothermal catastrophe。 Gravitational degeneracy

Velocity anisotropy的意义 Total 3 unknown variables: p, r, b Assuming r is given as Einasto form Gravitational degeneracy

Theory and simulation的一致性 这是近50年的第一次, 基于熵原理的理论预 言与经验结果比较好 地符合。

对比Simon White (1987) 的结果 Simon D.M. White (1987): 需要额外的约束。

Pseudo-phase-space density: 大体可以接受

一阶变分结果：可以接受 如果一阶变分可以接受，计算 二阶变分

二阶变分：什么样的解？ Let Mass conservation:

鞍点解 一阶变分的解： 否则：鞍点解。 如果A>0， B>0，全局最小值； 如果A<0， B<0，全局最大值。 我们的结果： 看起来是一场灾难，因为鞍点解看起来似乎是不稳定解。 所以，我们所采用的熵形式似乎是错误的。

自引力体系下的新物理 分两种情况: (a), (b)

自引力体系下的新物理 怎样的物理过程可以导致这样大尺度的质量扰动？引力坍缩，径向大幅度振动。 这正是激烈弛豫的特征

自引力体系下的新物理 质量扰动：A>0, B ～ 0，最小熵 激烈弛豫导致大尺度质量扰动， 而如果该扰动停止下来，或者 说，当激烈弛豫停止下来，自 引力体系将达到最小熵态。

自引力体系下的新物理 密度扰动：A～0, B<0，最大熵 在没有激烈弛豫的情况下，小尺度密度扰动导致短程弛豫，使得自引力体系维持在最大熵态。

自引力体系下的新物理 长程激烈弛豫下的最小熵态是全局的，或者说，整体的； 短程弛豫下的最大熵态是局域的，只能存在于体系每一处/任何一处 怎么理解这种看起来很矛盾的结论。 长程激烈弛豫下的最小熵态是全局的，或者说，整体的； 短程弛豫下的最大熵态是局域的，只能存在于体系每一处/任何一处 的一个小区域（粗粒），不可能全局地达到。 后者跟普通的热力学第二定律其实并不矛盾，对于地球大气这样的热力学体系 只能获得局域热动平衡，即局域最大熵态。

互补性热力学第二定律 (Complementary second law of thermodynamics) 表述如下：对于一个孤立的自引力体系，如果长程弛豫(violent relaxation)主导，则熵永远降低；如果短程弛豫(two-body relaxation和Landau damping)主导，则熵永不降低。 辅助解释：自引力体系的平衡态是长程弛豫下的全局最小熵态，短程弛豫下的局域最大熵态。 如果两种模式的扰动同时存在：无关紧要。 工作在不同的尺度上，物理效应不同。

互补原理 (Complementarity Principle) Complementarity：a single quantum mechanical entity can behave either as a particle or as wave 地球大气只是局域的热平衡体系，没可能全局平衡。

思想实验 – 理解热力学第二定律的并协性

与其他工作的相容性 Antonov & Binney argument：两种不同的构造方法，都表明不存在整体最大熵（发散的）。 Soker（1996，ApJ，457，287）一般性H-函数 BG熵： 支持 比较：两相的区分除了稍显模糊和不精确以外，没能把两相激烈弛豫同长程、短程关联起来。最要紧的是：没意识到新的热力学第二定律。没能建立起正确的图像，没有后续的发展。

互补性热力学第二定律的统计物理图像 简言之：最小相空间，最大分布数； 想象气体自由膨胀的时间反演过程是一个实空间减小的过程(熵减的过程)； 想象一个3-D各向异性的麦克斯韦分布； 约束极值 有效速度空间体积 各向同性，即b=0时熵最大；b≠0熵偏离最大。 引力压缩相空间，使得实空间减小，速度分布畸变。

引力压缩相空间 -- 最小相空间，最大分布数

最小相空间，最大分布数 S=ln (W)

长程弛豫熵减 -- 引力压缩相空间 b 是相空间被压缩，或变形的一个指标

长程弛豫熵减 -- 引力压缩相空间

各态历经性 – 平衡态统计物理的存在条件 各态历经：微观状态机会均等的出现。 理想实验-1： 图示为一个粗粒体系：宏观很小， 微观很大； 在该粗粒范围内，没有空间梯度 即： 但 图示的一个粒子集群以同一个速度单向运动； 粒子之间无任何相互作用； 器壁绝对光滑，完全弹性碰撞。 长程力在粗粒范围，或局域范围内不会产生各态历经性

各态历经性 – 平衡态统计物理的存在条件 理想实验-2： 器壁绝对光滑，但粒子之间有碰撞，粗粒化体系内完全热致化， O1, O2静止，在t1时刻突然有了这个F，经过delta t时间后， 所有粒子获得delta v速度， 器壁绝对光滑，但粒子之间有碰撞，粗粒化体系内完全热致化， 随时间激烈变化的长程势场可以对体系做功，但并不会带来， 也不可能破坏各态历经性。

各态历经性 – 平衡态统计物理的存在条件 理想实验-3： 长程引力压缩相空间，导致速度分布各向异性， 但不会破坏各态历经性

各态历经性 – 平衡态统计物理的存在条件 各态历经性在长程力体系下也完全成立，但前提是微观运动状态必须定义在长程力空间梯度为零的范围，即必须在局域（或粗粒化）范围内确立。 长程力没有破坏各态历经性，但确实破坏了速度分布3-D对称性，因此在使用上，只要限定在粗粒化范围内，并进行1+2分解（相空间是2+4分解）就可以，即分别在一维径向和二维横向定义微观单态。

熵的定义方法 Lynden-Bell统计(1967) 先定义比熵： 再定义总熵： Tsallis非广延熵不可行。

热力学量的定义方法 强度性的热力学量自然是局域的， 广延性的热力学量总熵，总内能是有意义的； 其他的广延性热力学量要不要定义是个问题：自由能，热焓，吉布斯自由能等。 自由能： F=U - TS； H=U + pV； G=U – TS + pV

Physics Reports, 480 (2009), 57 - 159

总 结 各态历经性在自引力体系下也完全成立，但必须局域（或粗粒化）地确立，并且在使用上必须进行1+2分解（相空间2+4分解）； 总 结 各态历经性在自引力体系下也完全成立，但必须局域（或粗粒化）地确立，并且在使用上必须进行1+2分解（相空间2+4分解）； 热力学第二定律在自引力体系下必须推广成互补性的热力学第二定律； “最大熵原理”作废，而改称为“熵原理”； 我们的工作对其他长程力体系的统计物理可能有积极的影响； 对其他领域，如引力论，信息论等，可能也有积极的影响。

谢谢！