期权培训课程 期权定价理论 赵玉超 2017年05月

期权定价的意义 同时正确判断标的价格变动方向与变动速度几乎超过了绝大多数交易者的能力。 期权定价模型将影响期权价格的几个因素数量化用精确的数学模型来计算期权价格。 期权定价的目标：基于期权合约条款、当前市场条件及未来预期，对期权价值做出评价。 做市商依据理论价报价，普通投资者参考理论价进行交易。 期权投资者除了要判断标的价格变动的方向还要认真考虑标的价格变动的速度，如果市场价格变化不够快，有利的价格变动可能并不能抵消期权损失的时间价值。计算出理论价值之后，如果判断出某期权被低估，交易者可以调整自己的交易策略，优先考虑买入某期权。

期权价格的上限 期权价格上限 欧式call <= S0 美式call <= S0 欧式put <= K*e^(-rT) 未添加入大纲 Call以约定价格买入股票的权利，权利的价格不会高于股票的价格，如果c大约S，套利者可以通过购买股票并同时出售看涨期权来获取无风险盈利 Put以K卖出股票的权利，权利的价格不会高于卖出股票得到的钱K。对于欧式put，我们知道在T时刻期权的价格不会超出K，因此当前期权不会超出K的折现值。如果p大于K或K的折现值，套利者可以卖出一个put并将所得的期权费以无风险利率进行投资来获得无风险盈利。 S0=20 K=18 r=0.1 T=1 :S0- K*e^(-rT)=3.71 if 欧式call 为3，套利者可以卖空标的并买入call，交易现金流为20-3=17，以10%的利率投资一年，17*e^0.1=18.79, 年末如果股票价格高于18，对call行权，以18买平标的，所得盈利为18.79-18=0.79 年末如果股票价格低于18，假设为17，放弃行权，以17买平标的，所得盈利为18.79-17=1.79

欧式期权价格的下限 欧式call >= max(S0- K*e^(-rT) , 0) 组合A：一个欧式call和一个在时间T提供收益K的零息债券 组合B：一只股票 T时刻组合A的价值为max（ST，K） T时刻组合B的价值为ST 在T时刻组合A的价值>=组合B的价值，则在0时刻组合A的价值>=组合B的价值 有c + Ke ^(-rT)>=S0，而c不会低于0，有欧式call >= max(S0- K*e^(-rT) , 0) 欧式put >= max(K*e^(-rT) -S0, 0) 组合A：一个欧式put和一只股票 组合B：一个在时间T提供收益K的零息债券 T时刻组合B的价值为K 有p + S0>= Ke ^(-rT)，而p不会低于0，有欧式put >= max(K*e^(-rT) -S0, 0)

美式期权价格的下限 美式call >= max(S0- K*e^(-rT) , 0) 美式put >= max(K-S0, 0) 美式call>=欧式call>= max(S0- K*e^(-rT) , 0) 美式put >= max(K-S0, 0) 对于美式put，由于总是可以马上行权，所以用于满足美式put >= max(K-S0, 0)

一个简单的期权定价方法

一个简单的期权定价方法

期望收益与理论价值 掷骰子的期望收益 38格轮盘赌的期望收益 理论价值是交易者愿意支付的长期来看不盈不亏的价格。 金融投资中最常考虑的两个因素是期望收益和持有成本。 掷骰子的期望收益 =（1+2+3+4+5+6）/6=3.5，如果掷骰子的费用低于3.5，长期来讲，玩家会盈利。 38格轮盘赌的期望收益 = 36/38 = 0.9474，如果每次玩轮盘赌场收费1元，长期来讲，玩家会亏损。 如果赌场2个月后支付玩家获得的收入会怎样。利息0.02，轮盘赌游戏的理论价值变成0.93，如果赌场给玩家分红0.01会怎样，轮盘赌游戏的理论价值0.93变成0.94，股票期权需要考虑股息。 期望收益=远期价格-当前市场价格 股票期望收益=持有成本-股利 期货期望收益=0 可将期权认为是一份保险产品。期权的理论价值即是保费。

建立期权定价模型的步骤 列出到期时标的合约的可能价格 对每一个价格结果赋予相应的概率 假设标的合约市场为无套利市场 计算期权的期望收益 期权的理论价值等于期权的期望收益减去持有成本 在无套利市场中，买入或卖出标的都不会获得盈利。包括期望收益在内的所有收入和支出相互抵消。即，远期价格=当前价格+持有成本-股利收入 当标的价格变化后，每一种价格出现的概率也要随之发生变化，if now 100,120的概率是25%，若现在价格下降到80，出现120的概率也会下降到10%

期权定价模型使用要点 期权理论定价模型准确性由两方面的因素决定： 需要了解模型的前提假设 需要为定价模型选取适当的输入变量 模型的基本假设是否正确 输入模型的变量是否正确 需要了解模型的前提假设 需要为定价模型选取适当的输入变量 需要了解真实市场的价格是交易出来的，可能并不会时刻与理论价保持一致，而且长期来看也可能并不会收敛到理论价格 期权交易新手第一次进入市场时就如同进入一个黑屋子，期权定价理论就像是一只小蜡烛。拿着蜡烛进入黑屋子他就能看到屋子的大概轮廓。但由于蜡烛的光过于昏暗，使他并不能看清屋子的细节。而且闪烁的烛光会使他看到的东西发生扭曲。投资者在使用定价模型时必须牢记模型能做什么和不能做什么弄清楚模型的局限和优势。

期权定价模型的输入变量 期权理论价格 定价模型 波动率 行权价格 到期时间 标的价格 利率 利用理论定价模型计算期权理论价，我们至少需要知道期权及其标的合约的5个变量数据。 利用理论模型得到期权理论价值依赖于模型的输入变量，我们有必要对每个变量逐一讨论分析 1）标的资产的市场价格与期权的行权价      由于看涨期权在执行时，其收益等于标的资产当时的市价与行权价之差。因此，标的资产的价格越高、行权价越低，看涨期权的价格就越高。  对于看跌期权而言，由于执行时其收益等于行权价与标的资产市价的差额，因此，标的资产的价格越低、行权价越高，看跌期权的价格就越高。   2）期权的有效期      对于美式期权而言，由于它可以在有效期内任何时间执行，有效期越长，多头获利机会就越大，而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会，因此有效期越长，期权价格越高。      对于欧式期权而言，由于它只能在期末执行，有效期长的期权就不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂。但在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况），由于有效期越长，标的资产的风险就越大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高。 输入变量T需要进行年化出来。如果还有36天到期T=36/365=0.1,如果还有20个交易日到期应输入20/252=0.0794 3）波动率对期权价格的影响      由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与行权价的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高。 4)执行价格有买价、卖价、最新价，应该选用哪个价格输入模型 如果我们想要买call 卖put，这两种情况是在看多市场，需要卖出标的进行对冲，此时输入模型时应选用标的的买入价。如果我们想卖出call或买入put,需要买入标的进行对冲，此时输入模型时应选用标的卖出价 5）利率 理论上正确的利率水平取决于交易者银行账户上的资金是流出还是流入，if产生资金流出，应使用贷款利率，如果产生资金流入，应使用借款利率  

传统定价模型的前提假设 市场是无摩擦的 期权存续期内利率保持不变 期权存续期内波动率保持不变 交易是连续的，标的价格变化不存在缺口 标的合约可以无限制地自由买入或卖出 交易不受税收因素影响 每个交易者都可以自由借入、借出资金，且所有资金借入、借出利率相同 没有交易费用 期权存续期内利率保持不变 期权存续期内波动率保持不变 交易是连续的，标的价格变化不存在缺口 波动率与标的合约价格大小无关 到期时标的合约价格为对数正态分布 在股票市场上，存在对卖空的限制，如果交易者不能自由得卖空股票，与call相比，put价格会虚高，并且所有转换套利与反转套利都会偏离其理论价值。 在现实世界中，交易者借贷资金的能力是有限的。如果到期前交易者不能满足保证金的要求就会被迫平仓。经验丰富的交易者知道，在考虑头寸风险时，不但要考虑市场情况变化后头寸可能产生的损失，还要考虑在头寸存续期间需要多少保证金维持头寸。期权期权市场中转换套利与反转套利可能并非delta中性的。理论定价模型并不考虑借入与借出资金的差值。差值越大，理论定价模型也将越不可靠。 利率的变动会对深度实值的期权产生较大的影响 （。。。。未完成。。。。。。。）需继续看440页

Black-Scholes-Merton模型的前提假设 标的价格服从对数正态分布，μ 、σ为常数 没有交易费用或税收 所有证券都是无限可分的 市场有效，不存在无风险套利的机会 交易是连续的 投资者能够以同样的无风险利率借款或贷款 无风险利率为常数且对所有到期日都相同 u股票年收益率期望sigma是股票价格的年波动率，lnS服从正态分布 S服从对冲正态分布

Black-Scholes-Merton模型 模型优点： 计算简单、 输入变量有限、 输入变量数据容易获得 BSM模型的版本 1、适用于标的为不支付股利的股票的欧式期权的版本 2、适用于标的支付股利的股票欧式期权的版本 3、适用于标的为期货的欧式期权的版本 4、适用于标的为外汇的欧式期权的版本 各版本之间的区别主要在于标的合约远期价格的计算 1973年产生。计算简单、输入变量有限且数据容易获得 模型引入Delta。 当标的价格变化后，每一种价格出现的概率也要随之发生变化，if now 100,120的概率是25%，若现在价格下降到80，出现120的概率也会下降到10%,通过引入Delta，并根据市场条件变化调整Delta，可将这种概率变化纳入到考虑范围之内。 各版本之间的区别主要在于标的合约远期价格的计算

BS微分方程的推导

B-S微分方程的推导

欧式期权边界条件

无股息的欧式看涨期权的BS公式

无股息的欧式看跌期权的BS公式

欧式看涨期权的BS公式的含义 我们可以从三个角度来理解欧式看涨期权BS公式的金融含义： 首先，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现值。 其次， 是复制交易策略中股票的数量，SN(d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。 最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权（Asset-or-noting call option）多头和现金或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资产或无价值看涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或无价值看涨期权空头的价值。

含股息欧式股票期权定价公式 当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（S－I）代替BS公式中的S即可求出有收益资产欧式看涨和看跌期权的价格。 当标的证券的收益为按连续复利计算的收益率q（单位为年）时，我们只要将 代替式BS公式中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。

欧式期货期权定价公式 对于欧式期货期权，其定价公式为： 其中：

BAW模型 由Barone-Adesi 和Whaley提出的美式期权近似解模型被称为BAW模型。 按照金融意义，美式期权可以分解成两部分，一部分是欧式期权，另一部分是由于合约增加提前行权的条款而需要增付的权利金。 fA(S,t) = fE(S,t) + e(S,t) , fA为美式期权价格， fE为欧式期权价格， fA 、fE都满足Black-Scholes微分方程，故e(S,t)也满足Black-Scholes微分方程。 当e(S,t)=0时，可以提前行权，需要找到提前行权的标的价格临界点S*，当达到S*时，美式期权可以提前行权。

BAW模型 BAW美式看涨期权近似解定价模型如下

BAW模型 BAW美式看跌期权近似解定价模型如下 1

二叉树模型 既适用于欧式期权，又使用于美式期权 使用了标的资产价格随时间变化的离散时间模型 优点：使用范围广 确定：计算量大、计算时间长

一个简单的二叉树模型 股票的现价为 $20 三个月之后股票的价格或为 $22 或为 $18 Stock Price = $22

一份看涨期权 一份基于该股票的三个月到期的看涨期权，其执行价格为$ 21. Stock Price = $22 Option Price = $1 Stock price = $20 Option Price=? Stock Price = $18 Option Price = $0

构造无风险资产组合 考虑一个资产组合: 持有 D 份股票 成为一份看涨期权的空头 当 22D – 1 = 18D or D = 0.25，资产组合是无风险的 22D – 1 18D

资产组合的估值 无风险利率为 12% 无风险组合为: 持有 0.25份股票 成为一份看涨期权的空头 三个月后组合的价值为 22*0.25 – 1 = 4.50 组合在时刻0的价值为 4.5e – 0.12*3/12 = 4.3670

期权的估值 资产组合为 组合在时刻0的价值为4.3670 股票的价值是 5.000 (= 0.25×20 ) 持有 0.25份股票 成为一份看涨期权的空头 组合在时刻0的价值为4.3670 股票的价值是 5.000 (= 0.25×20 ) 0.25*20-c = 4.3670 从而，期权的价格c为 0.633

推广到一般情形 一个依赖于股票的衍生证券，到期时间为 T Su ƒu Sd ƒd S ƒ

推广到一般情形 (continued) 考虑一个组合：持有D份股票，成为一份衍生证券的空头 SuD – ƒu SuD – ƒu = Sd D – ƒd or SuD – ƒu SdD – ƒd

推广到一般情形 (continued) 组合在时刻 T的价值为 Su D – ƒu 组合在时刻0的价值为 (Su D – ƒu )e–rT 组合在时刻0 的价值又可以表达为 S D– f 从而 ƒ = S D – (Su D – ƒu )e–rT

推广到一般情形 (continued) 于是，我们得到 ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e–rT 其中

Risk-Neutral Valuation ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e-rT 变量 p和 (1 – p ) 可以解释为股票价格上升和下降的风险中性概率 衍生证券的价值就是它的到期时刻的期望收益的现值 Su ƒu Sd ƒd S ƒ p (1 – p )

最初例子的修正 Su = 22 ƒu = 1 p 由于 p 是风险中性概率，所以 20e0.12 *3/12 = 22p + 18(1 – p ); p = 0.6523 或者，我们可以利用公式 S ƒ Sd = 18 ƒd = 0 (1 – p )

期权的估值 期权的价值为 e–0.12×0.25 [0.6523´1 + 0.3477´0] = 0.633 Su = 22 ƒu = 1 Sd = 18 ƒd = 0 S ƒ 0.6523 0.3477 期权的价值为 e–0.12×0.25 [0.6523´1 + 0.3477´0] = 0.633

两步二叉树模型 20 22 18 24.2 19.8 16.2 每步长为3个月

欧式看涨期权的估值 24.2 3.2 在节点 B的价值 = e–0.12*0.25(0.6523*3.2 + 0.3477*0) = 2.0257 在节点 A的价值 = e–0.12*0.25(0.6523*2.0257 + 0.3477*0) = 1.2823 D B 22 20 1.2823 19.8 0.0 2.0257 A E 18 C 0.0 16.2 0.0 F

欧式看跌期权的例子：X＝52 50 4.1923 60 40 72 48 4 32 20 1.4147 9.4636 A B C D E F

美式看跌期权 在树的每一个节点上都需要检验提前行权是否为最优，即在每个节点上期权的价格应该为继续持有期权的价值与立即行权的收益的最大值。 50 5.0894 60 40 72 48 4 32 20 1.4147 12.0 A B C D E F

二叉树原理图解

二叉树计算步骤 第一步：创建价格二叉树 价格二叉树的创建由估值日向期权到期日一步一步向前推。 第二步：找出每个最终节点上的期权价值 在二叉树的每一个最终节点上，即期权的到期日，期权的价格为它的内在价值，也就是执行价值。 对于认购期权：Max [(Sn-K), 0 ] 对于认沽期权：Max [ (K–Sn), 0 ] 第三步：找出更早节点上期权的价值 在风险中性假设下，今天一个衍生品的公允价格等于它以无风险利率来折现的未来收益的期望价值。因此，期望价值的可由之后的两个节点计算得出，分别给价格向上运动赋予概率p，给价格向下运动的赋予概率（1-p）。 期权价值 = [ p × Option up + (1-p) × Option down] × exp (- r × Δt) 第四步：根据期权类型的不同，判断每一个节点上期权提前执行的概率：如果期权能够执行，且行权价值高于二项树价值；那么节点价值为行权价值。 对于欧式期权，期权不能提前执行，二项树价值可应用于所有节点。 对于美式期权，因为期权可以持有，也可在到期日前行权，所以在每个节点上，期权价值为 Max(二项树价值，行权价值)。

蒙特卡洛方法原理 期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理：在风险中性条件下，期权价格能够表示为其到期回报的贴现的期望值，蒙特卡洛方法便是用于估计期望值。 传统的蒙特卡洛方法只适用于欧式期权，经过改良可以适用于美式期权定价，蒙特卡洛方法的计算量也比较大。 假设所求量 是随机变量 的数学期望 ，那么近似确定 的蒙特卡洛方法是对 进行n次重复抽样，产生独立同分布的随机变量序列 ，并计算样本均值。 那么根据Kolmogorov强大数定律有 因此，当n充分大时，可用 作为所求量 的估计值。

欧式期权蒙特卡洛法步骤 在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径 计算在这条路径下期权的到期回报，并根据无风险利率求得回报的贴现 重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本 求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值

定价公式代码 Github ：Doriszhaotutu

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