23.3 相似三角形 23.3.2 相似三角形的判定

创设情景 尝试探索 智海扬帆 小结思考

我们已学习了判定一般三角形相似的哪几种方法？ 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似 A A1 B C B1 　C1

下面我们着重研究怎样运用这三个判定定理来判定两三角形相似 例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结 CP，　　 　(1)∠ACP满足什么条件时△ACP∽△ABC (2)AC∶AP满足什么条件时△ACP∽△ABC A P B C

A P B C 分析：这是一道探索性题目 (1)要使△ACP∽△ABC的条件已有了∠A＝∠A，找∠ACP满足的条件，只能根据判断定理1，即∠ACP＝∠B 　 (2)要使△ACP∽△ABC，已有∠A＝A，找出AC∶AP满足什么条件，只能根据判定定理2即AC/AP=AB/AC

△ACP∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似） 解：(1)∵∠A＝∠A　 ∴当∠ACP＝∠B时，　　　　 △ACP∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似） (2)∵∠A＝∠A ∴当AC/AP=AB/AC 时，△ACP∽△ABC

c A A’ 2 O 4 1 B’ C’ 3 B 例2：已知如图，AB∥A'B'，BC∥B'C' 求证：△ABC∽△A'B'C’ 证明：  A’B’/AB＝OB’/OB     　∵BC∥B’C’ 　∴∠3＝∠4， B’C’/BC ＝  OB’/OB  ∴∠ABC＝∠A’B’C  A’B’/AB ＝B’C’/BC     　　　　　　　　 ∴△ABC∽△A'B'C' A A’ 2 O 4 1 B’ C’ 3 B c

A F B D C E 例3：已知如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF⊥AD于点F，AF＝FD。 求证：DE2＝BE·CE 证明：连结AE 　　　　　　　 ∵EF⊥AD，AF=FD ∴AE＝DE 　　　∴∠ADE＝∠DAE 　　　　∵∠BAD＝∠CAD 　　∴∠B＝∠CAE 　　　又∵ ∠BEA＝∠CEA 　　　　　　∴△ACE∽△BAE 　　　∴ AE/BE   ＝ CE/AE　　 　 即AE2＝BE·CE ∴DE2＝BE·CE A F B D C E

D 4 C 1 O E 2 3 B A F 1、已知如图，DC∥AB，AC、BD相交于点O，AO＝BO，DF＝FB 求证：DE2＝EC·EO 证明： ∵OA＝OB　∴∠3＝∠2 ∵DF＝FB ∴∠1＝∠2 ∵DC∥AB ∴∠3＝∠4 ∴∠1＝∠4 又∵∠DEO＝∠DEC ∴△DEO∽ △CED  ∴  DE/CE ＝ EO/DE　 ∴DE2＝EC·EO D 4 C 1 O E 2 3 B A F

A A’ 2 1 C O 4 C’ 3 B’ B 2、如图，已知BC∥B'C'，AC∥A'C' 求证：△ABC∽△A'B'C' 证明：∵BC∥B’C’ 　　　 ∴∠3＝∠4， B’C’/BC   ＝ OC’/OC ∵AC∥A’C’ 　 ∴∠1＝∠2　　 ∴  A’C’/AC   ＝   OC’/OC　 　　　 ∴∠ACB＝∠A’C’B’   B’C’/BC   ＝    A’C’/AC   ∴△ABC∽△A’B’C’ A A’ 2 1 C O 4 C’ 3 B’ B

C D E F A B 3、已知如图，∠BAC＝90°，BD＝CD，DE⊥BC交AC于E，交BA延长线于F 求证：AD2＝DE·DF 证明：∵∠BAC＝90°，BD＝CD 　　　∴AD＝CD，∠C＝∠DAC 　　∵DE⊥BC，∠B＋∠F＝90° 　　　又∵∠B＋∠C＝90° 　　　∴∠F＝∠C＝∠DAC 　　∵∠FDA＝∠EDA 　　∴△FDA∽△ADE 　　∴  DF/AD ＝ AD/DE    　　∴AD2＝DE·DF C D E F A B

思 考 题 C 1．下列题设中能判定△ABC∽△A’B’C’的是( ) 思　考　题 1．下列题设中能判定△ABC∽△A’B’C’的是(　 ) A ∠A＝50°，∠B＝40°　∠A‘＝50°，∠C’＝80° 　 　 B ∠A＝∠A’＝130°，AB＝4，A’B’＝10，A’C’＝24 　 C AB＝48，BC＝80，AC＝60，A’B’＝24，A’C’＝30， B’C’＝40 　D ∠A＝∠A’＝90°，AB＝5，BC＝A’C’＝7 2． 下列命题中正确的是(　 ) 　　A 底角相等的两个等腰三角形相似 　　B 有一个角相等的两个等腰三角形相似 　　C 两边对应成比例的两直角三角形相似 　 　　D 有一条对应边相等的两个直角三角形相似 　　 C C

3．如图，不能判定△ACD∽△ABC的条件是(　 ) A ∠ACD＝∠B 　　 B ∠ADC＝∠ACB C AC·BC＝AB·DC 　 D AC2＝AD·AB 4．如图，DE∥BC，则图中一共有( )对相似三角形。 　　　　　　　　　　　                        C 2 A A D D E B C C B (3) (4)

5 如图，Rt△ABC中，CD⊥AB，DE⊥BC 则图中与△CDE相似的三角形一共有( ) 个。 　　　　　　　　　　　                                  4 C E B A D

这节课我们主要学习了什么？              　　本讲我们学习了三角形相似判定定理的应用，应掌握: 1、探索性问题的思维方法。   2、 掌握相似三角形的判定中，运用中间比作为桥梁的解题的思维方法。  3、  从例题的学习中，还要掌握分析问题的思维方法，提高解决问题的能力。