在某點上之應變轉換 (strain transformation) 與應力轉換相似，將討論各種量測應變方法及推導一些重要材料 - 性質關係，包含虎克定律 (Hooke’s law) 一般式，再討論一些用來預測材料破壞之理論。

第10章 應 變 轉 換 398 10.1　平面應變 　　如2.2節中所詳述，物體內某點上之應變一般狀態係由三個正向應變分量 (normal strain components)，x , y , z 及三個剪應變分量 (shear strain components)，xy , xz , yz等組合表示。某點上之應變通常利用應變規 (strain gauges) 在特定方向上量測這些分量值。

398 　　為瞭解如何轉換，首先吾人限制我們的注意力於平面應變 (plane strain) 的研究。特別地，吾人將不考慮分量 z , xz , yz 及之影響。一般上，一平面應變元素係承受二個正向應變分量，x , y 及一個剪應變分量 xy。 　　正向應變係由元素在 x 及 y 方向之長度變化而產生，而剪應變則係由元素上兩相接面之相對旋轉 (relative rotation) 而產生。 　　平面應力不須產生平面應變，一般除非  = 0，否則蒲松效應將阻止平面應變及平面應力同時發生。吾人亦須指出，因剪應力及剪應變不受蒲松比 (Poisson’s ratio) 影響，若 xz = yz = 0 則 xz = yz = 0。 第10章 應 變 轉 換

第10章 應 變 轉 換 398

398 第10章 應 變 轉 換 10.2　平面應變轉換之一般方程式 慣用符號 此習慣與在2.2節中所設定相同，吾人將重新描述以用於平面應變條件。參考圖10-2(a) 中微元素，若正向應變 x 及 y 分別使沿 x 及 y 軸伸長，則其為正，而且若內角 AOB 變成比 90 小則剪應變 xy 為正。此慣用符號亦可用於平面應力之對應習慣推斷之，圖9-5(a)，亦即，正的 x , y , xy 將使元素分別以正的 x , y , xy 變形。 　　已知在某點上相對於 x , y 軸所量測之 x , y , xy 則欲定出該點相對於 x , y 軸所量測之正向及剪應變 x , y , xy。若介於 x 及 x 間角度為 ，如同平面應力情況，若  順沿右手四指旋轉則其為正的，亦即，逆時鐘旋轉，如圖10-2(b) 中所示。

第10章 應 變 轉 換 399

為推導應變轉換方程式以定出 x，吾人須求沿 x 軸且承受應變分量 x , y , xy 之微線段 dx 之伸長量 399 第10章 應 變 轉 換 正向及剪應變 為推導應變轉換方程式以定出 x，吾人須求沿 x 軸且承受應變分量 x , y , xy 之微線段 dx 之伸長量 (10-1) 若將此三伸長量加在一起，則 dx 之合伸長量 由式 (2-2)，沿線 dx 之正向應變為 x =  x / d x。利用式 (10-1)，故得 (10-2)

第10章 應 變 轉 換 399

399 考慮下列三種作用在 y 方向之位移分量：其一由於 x，產生 x dxsin，圖10-4(b)；另一由於 y，產生 y dycos，圖10-4(c)；最後由於 xy，產生 xy dysin，圖10-4(d)，因此，由此三應變分量所產生之 y 為 利用式 (10-1)，代入，吾人得 (10-3) 第10章 應 變 轉 換

第10章 應 變 轉 換 399 如圖10-3(e) 所示，線 dy 旋轉一  量。吾人利用相同分析或簡單地以 90 取代  代入式 (10-3)，可定出此角度。利用恆等式 sin (90) = cos , cos(90) = sin ，吾人得 利用三角恆等式 sin2 = 2sin cos , cos2 = (1+cos2) /2 及 sin2 + cos2 = 1，吾人可重新寫出式 (10-2) 及 (10-4) 為 (10-5) (10-6)

若欲求在 y 方向之正向應變，其可由式 (10-5) 簡單地以 90 取代  而獲得。其結果為 第10章 應 變 轉 換 400 若欲求在 y 方向之正向應變，其可由式 (10-5) 簡單地以 90 取代  而獲得。其結果為 (10-7)

從式 (9-4) 及 (9-5)，及上面所提應力與應變之對應性，吾人可定出軸之方向及主應變 及 為 第10章 應 變 轉 換 401 主應變　在某點上元素之方位，元素之變形係由正向應變表示，不具剪應變。在此情況下，正向應變稱之為主應變 (principal strains)，而且若材料為等向性 (iso-tropic)，則這些應變發生所沿之軸與定義主應力平面之軸重合。 　　從式 (9-4) 及 (9-5)，及上面所提應力與應變之對應性，吾人可定出軸之方向及主應變 及 為 (10-8) (10-9)

最大同平面剪應變 利用式 (9-6)、(9-7) 和 (9-8)，可由下列方程式求得： 第10章 應 變 轉 換 401 最大同平面剪應變 　利用式 (9-6)、(9-7) 和 (9-8)，可由下列方程式求得： (10-10) (10-11) (10-12)

 在平面應力例子時，利用應變規分析瞭解平面應變可用來作為平面應力的分析。記得，仍有一正向應變會因蒲松效應而垂直於應變規。 第10章 應 變 轉 換 401  在平面應力例子時，利用應變規分析瞭解平面應變可用來作為平面應力的分析。記得，仍有一正向應變會因蒲松效應而垂直於應變規。  當應變狀態是以主應變來表示時，不會有剪應變作用在元素上。 任一點的應變狀態可以用最大同平面剪應變來表示之。在此情況下，平均正應變將會作用在元素上。  表示最大同平面剪應變及其相關的平均正應變元素與表示主應變之元素相差45°。

第10章 應 變 轉 換 402 10-1

第10章 應 變 轉 換 402

第10章 應 變 轉 換 402

第10章 應 變 轉 換 403 10-2

第10章 應 變 轉 換 403

第10章 應 變 轉 換 403

第10章 應 變 轉 換 404 10-3

第10章 應 變 轉 換 404

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