平面任意力系： 各力的作用线在同一平面内，但既不交于 同一 点，又不相互平行 如：简支梁 A B q F1 FAx FAy FNB F2 M 工程中的许多问题都可以简化为平面任意力系问题，研究平面任意力系问题在工程中有重要的理论意义。

4. 1 力对点之矩 4. 2 力线平移定理 4. 3 平面任意力系的简化 4. 4 平面任意力系的平衡方程 4. 5 刚体系统的平衡 4 4.1 力对点之矩 4.2 力线平移定理 4.3 平面任意力系的简化 4.4 平面任意力系的平衡方程 4.5 刚体系统的平衡 4.6 平面桁架 4.7 摩擦

F F C C 平移 平移+转动 O d 实例 F 矩心：O 点 力臂：O 点到力 F 作用线的垂直距离 力 F 对点 O 的矩：

力对点之矩是力使物体绕矩心转动效应的度量，它是一个代数量。单位：N·m 一般情况 A F B O d 力 F 对点 O 的矩： 力对点之矩是力使物体绕矩心转动效应的度量，它是一个代数量。单位：N·m 力使物体绕矩心产生逆时针转动效应时取正号；反之取负号。 力的作用线通过矩心，力对点之矩为零。 力沿作用线移动，不改变力对点之矩。

力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心的位置无关。 某一平面内作用有力偶（F，F’） O x d F 力偶对其作用面内任一点 O 的矩： 力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心的位置无关。

力对点之矩的解析式： F A x y O F y F x y x q r a a -q d

定理：作用于刚体上 A 点的力 F 可以等效地平移到此刚体上的任意一点 B，但必须附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力 F 对 B 点的矩。 证： F A B F A B F M d 力线平移定理 应用： 一个力 一个力 + 一个力偶 是力系简化和平衡的基础

4.3.1 平面任意力系向一点的简化 —— 主矢 —— 主矩 FR F1 F2 F3 F2 A2 A1 F1 F3 A3 M1 M2 O O

推广： 主矢： 主矩： 结论：一般情况下，平面任意力系向平面内任一点简化，得 到一个力和一个力偶。 此力通过简化中心，等于原力系的主矢； 此力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。 主矢与简化中心的位置无关，而主矩与简化中心的位 置有关。

主矢的解析计算： 主矢： 主矢的大小： 主矢的方向余弦：

4.3.2 平面任意力系简化结果讨论 （1）主矢 ，主矩 原力系为一平衡力系。 （2）主矢 ，主矩 原力系最终简化为一合力。该合力的作用线通过简化中心 （3）主矢 ，主矩 原力系最终简化为一合力偶。此时，主矩与简化中心的位置无关。

原力系最终简化为一合力。合力的作用线通过 O1。 （4）主矢 ，主矩 O FR MO O FR O O1 FR d FR O1 d 原力系最终简化为一合力。合力的作用线通过 O1。 合力对 O 点的矩 对 O 点的主矩 合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于各分力对该点矩的代数和。

平面任意力系的简化结果 简化结果 主矢 ，主矩 平衡 合力偶 过简化中心 合力

例1 （1）试将平面任意力系向 O 点简化；（2）确定合力作用线的方程。 x y O 30° F1=40N F2=60N F4=80N 45° F3=60N 1m 求主矢

x y O 30° F1=40N F2=60N F4=80N 45° F3=60N 1m FR MO 求主矩

原力系最终简化为一合力 FR 。该合力的作用线通过点（x，y）。 （2）作用线方程 主矢 ，主矩 原力系最终简化为一合力 FR 。该合力的作用线通过点（x，y）。 x y O 30° F1=40N F2=60N F4=80N 45° F3=60N 1m FR (x, y) 作用线方程为：

物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束称为固定端约束 4.3.3 力系简化理论的应用 （1）固定端约束 物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束称为固定端约束 MA A FA MA A FAy FAx A

两种常见的线荷载 均布（矩形）荷载： Fq dF 合力等于矩形的面积 l q x dx s A 由合力矩定理得 合力作用线通过矩形形心

三角形荷载： Fq l q dF 合力等于三角形的面积 s A x dx 由合力矩定理得 合力作用线通过三角形的形心

4.4.1 平面任意力系的平衡方程 必要与充分条件：平面任意力系的主矢和主矩同时为零。 —— 平面任意力系平衡方程 必要与充分的解析条件：力系中各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零，各力对平面内任一点的矩的代数和等于零。

—— 平面任意力系平衡方程 基本形式：两个投影方程，一个力矩方程。3 个独立方程，解 3 个未知量 A 和 B 的连线不垂直于 x 轴 二力矩式： 三力矩式： A 、B 、C 三点不共线

例2 图示简支梁。求支座 A 和 B 的约束反力。 解：取简支梁为研究对象 解得 验算结果正确 F=100kN M =20kN·m FAx FNB FAy 解得 验算结果正确

例3 图示悬臂刚架。求固定端 A 的约束反力。 解：取悬臂刚架为研究对象 解得 （与图示相反） q =10kN/m F=10kN 1m B 2m 1m q =10kN/m MA FAx FAy 解得 （与图示相反）

例4 图示刚架。求支座 A 和 B 的约束反力。 解：取刚架为研究对象 A B 1.5l q l FAx FAy FNB 解得

投影轴和矩心的选择： 投影轴尽量与多个未知力垂直，两个投影轴不一定要求正交 矩心尽量选在多个未知力的交点处

平面平行力系：各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系 4.4.2 平面平行力系的平衡方程 平面平行力系：各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系 O x y F1 F2 Fn Fi 平面平行力系的平衡方程： 基本形式 二力矩式 AB 连线不平行于各力作用线

例5 塔式起重机，机身重量为G1=700kN，作用线通过塔架中心。起吊的最大重力G2=200kN，最大悬臂长12 m，轨道A、B的间距为4 m，平衡块重G3，作用线距塔架中心6 m。试求使起重机满载和空载不至于翻倒时，起重机平衡块重G3的值。 解：（1）取起重机为研究对象 （2）列平衡方程，满载时 6 m 12 m G 3 G 1 G 2 解得 A B F NA F NB 2 m 2 m

F NB G 1 A 3 2 12 m 6 NA B 起重机满载时不绕点B翻倒的条件 解得 空载时

F NB G 1 A 3 2 12 m 6 NA B 起重机空载时不绕点 A 翻倒的条件 解得 起重机平衡块重的值为

4.5.1 静定与超静定问题 n 个物体构成的物体系统，若整个系统处于平衡，每个物体都处于平衡状态。 如果每个物体受平面任意力系作用，每个物体都可以列出 3 个独立的平衡方程，则可写 3n 个独立的平衡方程，求解 3n 未知量。 如果每个物体受平面汇交力系、平面平行力系或平面力偶系作用，可写出的独立平衡方程个数将减少，求解的未知量也随之减少。

3个未知量 3个独立平衡方程 4个未知量 3个独立平衡方程 全部未知量可由平衡方程求出 由平衡方程不能求出全部未知量 例如 A B C F M q A B C F M q FAx FAy FAx FAy FNB FNB FNC 3个未知量 3个独立平衡方程 4个未知量 3个独立平衡方程 全部未知量可由平衡方程求出 由平衡方程不能求出全部未知量

6个未知量 6个独立平衡方程 全部未知量可由平衡方程求出 8个未知量 6个独立平衡方程 由平衡方程不能求出全部未知量 A q C A B q C B C q FCx FCy FCy FCx 6个未知量 6个独立平衡方程 FAx FAy FBx FBy 全部未知量可由平衡方程求出 A q C A B q C B C q FCx FCy FCy FCx FAx FAy MA FBx FBy MB 8个未知量 6个独立平衡方程 由平衡方程不能求出全部未知量

静定问题：未知量的个数 不多于 独立平衡方程的数目， 所有未知量均可由独立平衡方程求出。 超静定问题：未知量的个数 超过 独立平衡方程的数目， 所有未知量不能全部由独立平衡方程求出。 超静定问题在求解时，需要引入补充方程，已超出理论力学的研究范畴，将后续《材料力学》、《结构力学》课程中学习。

例6 图示刚架结构，求支座 B 的约束反力 q F q FCx FCy FAx FAy FBy FBx FAx FAy A B C a

A B q F C a a / 2 B F C FCy FCx FAx FAy FBy FBx FBx FBy

解：取整体为研究对象 取 BC 为研究对象 F F FCx q FCy FAx FBx FBx FAy FBy FBy A B C a

例7 图示组合结构，求支座 A 的约束反力 解：取 CD 为研究对象 q q FNB FCy FCx FAx FAy FND FND B C

A D q C a B D C q FNB FCy FCx E FAx FAy FND FND 取整体为研究对象

例8 如图所示结构（各杆自重不计）。若 F1=F2=200kN，l =2m，C、D、E 处均为中间铰支约束。试求 A、B、C 处的约束反力。 解 ：(1) 取整体为研究对象。 列平衡方程求解： l F 1 2 A B C D E F Ax A y F B 解得 （与假设相反） （与假设相反）

(2) 取 ADC 杆为研究对象 解得 （与假设相反） (3) 取 BCE 杆为研究对象 解得 （与假设相反） F C C D E A F 1 A C D Dy Cy Dx Cx Ax y F B E Ex Ey Cx Cy C 解得 （与假设相反） (3) 取 BCE 杆为研究对象 解得 （与假设相反）

先整体，后局部 通过分析整体能够求解出部分未知量，再由局部分析求解其他未知量。 最佳求解方案： 先局部，后整体 通过分析整体不能求解出部分未知量，先取局部分析求出部分未知量，再由整体分析求解出其他未知量。

4.6.1 概述 桁架：由若干直杆铰接而成的几何不变体系。 基本假设： （1）所有各结点都是光滑铰结点； （2）各杆的轴线都是直线并通过铰链中心； （3）荷载均作用于结点上； （4）各杆的自重不计，或均匀的作用在两端的结点上。 桁架中各杆均为二力杆，只受轴向的拉力或压力作用。

4.6.2 平面桁架的内力 结点法：以桁架的结点为分离体，根据结点平衡计 算各杆的内力 整体桁架 支座反力 两杆结点 所有结点 各杆内力 基本方法 截面法：用一适当截面将桁架截为两部分，以其中 一部分为分离体，用平面任意力系平衡方 程求解被断杆件的内力 整体桁架 支座反力 某一部分 截断杆内力

（1）不共线的两杆结点，无荷载作用，则此二杆均为零杆。 零杆（零力杆）：内力为零的杆件。 零杆的直接判定 （1）不共线的两杆结点，无荷载作用，则此二杆均为零杆。 x y F2 A 1 2 F1

（2）无荷载作用的三杆结点，如果其中二杆共线，则第三杆是零杆。 x y F3 A 2 3 1 F1 F2

（3）不共线的两杆结点，有荷载作用且荷载与其中一杆共线，则另一杆必为零杆。 x y F2 A 1 2 F F1

判定结构中的零杆 FAx FAy FNB

例9 求图示桁架各杆的内力。 解：（1）求支座反力 取整体为研究对象 FAy FNB B A 2 3 1 8 5 4 7 6 2m 5kN 例9 求图示桁架各杆的内力。 B A 2 3 1 8 5 4 7 6 30° 2m 5kN 10kN FAy FNB 解：（1）求支座反力 取整体为研究对象

（2）求各杆内力 利用对称性，只需计算一半桁架 判定零杆，杆 23 和杆 67 为零杆 对于结点 1 FAy FNB FAy B A 2 3 8 5 4 7 6 30° 2m 5kN 10kN FAy FNB （2）求各杆内力 利用对称性，只需计算一半桁架 判定零杆，杆 23 和杆 67 为零杆 对于结点 1 5kN F13 1 F12 FAy

对于结点 2 对于结点 3 解得 F23 = 0 F21=25.98kN 2 F25 10kN F34 3 F35 F31=－30kN

对于结点 4 桁架的内力如图 桁架的上弦杆受压，下弦杆受拉。 FAy FNB 10kN 4 F45 F43=－20kN F47=－20kN 25.98 －30 －20 －10 桁架的内力如图 桁架的上弦杆受压，下弦杆受拉。

例10 求图示桁架中 1、2、3 杆的内力。 解：（1）求支座反力 取整体为研究对象 FAy FNB B A 2 3 1 4 10kN C 例10 求图示桁架中 1、2、3 杆的内力。 B A 2 3 1 4 10kN C D E G 2m 4m FAy FNB 解：（1）求支座反力 取整体为研究对象

用一假想平面 mm 把桁架截开，取截面左部分为研究对象 B A 2 3 1 4 10kN C D E G H m A F1 D F2 FDH FAy 判定杆 DG 为零杆 用一假想平面 mm 把桁架截开，取截面左部分为研究对象

用一假想平面 nn 把桁架截开，取截面左部分为研究对象 B A 2 3 1 4 10kN C D E G H n A F3 D F4 FDH FAy 10kN 用一假想平面 nn 把桁架截开，取截面左部分为研究对象

4.7.1 概述 两个相互接触的物体沿接触面切线方向滑动，或有相对滑动趋势时，在接触面上就会产生阻碍相对滑动的阻力，称为滑动摩擦力，简称为摩擦力。 仅有相对滑动趋势而没有滑动时的摩擦力称为静滑动摩擦力；物体在相对滑动时的摩擦力称为动滑动摩擦力。 摩擦力的方向总是沿接触面的切线方向，与物体滑动或相对滑动趋势方向相反。

摩擦既有有害的一面，又有有利的一面 摩擦的分类： (1)按物体相互运动形式分： 1) 滑动摩擦； 2) 滚动摩擦。 (2)按有无相对运动分： 1) 静摩擦； 2) 动摩擦。 (3) 按有无润滑剂分： 1) 干摩擦； 2) 湿摩擦。

与两接触物体的材料，接触面间的粗糙程度、湿度、温度和润滑条件有关，而与接触面的形状、面积大小无关。 fS 称为静摩擦因数， 4.7.2 静滑动摩擦力 FN W F FS 静止 临界状态 最大静滑动摩擦力： 与两接触物体的材料，接触面间的粗糙程度、湿度、温度和润滑条件有关，而与接触面的形状、面积大小无关。 fS 称为静摩擦因数，

f d，称为动摩擦因数， 与两接触物体的材料，接触面间的粗糙程度、湿度、温度和润滑条件有关，其值一般小于静摩擦因数。 FN W FS 运动 动滑动摩擦力 f d，称为动摩擦因数， 与两接触物体的材料，接触面间的粗糙程度、湿度、温度和润滑条件有关，其值一般小于静摩擦因数。

全约束反力：法向约束反力 FN 和摩擦力 FS 的合力 4.7.3 摩擦角与自锁现象 全约束反力：法向约束反力 FN 和摩擦力 FS 的合力 摩擦角：当摩擦力达到最大值 FSmax时其全反力 FR与法线 的夹角 FN FS A FN FSmax A FRA FRA jm 摩擦角 jm j

FR jm jm FR FRA FRA 自锁 不平衡

滚动比滑动省力，采用滚动代替滑动可减轻劳动强度，提高效率 4.7.4 滚动摩擦 滚动比滑动省力，采用滚动代替滑动可减轻劳动强度，提高效率 假设轮子和路面为刚体 O G F 构成力偶 轮子产生滚动 FN FS 当力 F 较小时，轮子处于静止 轮子与路面并非刚体 O G F

是法向反力的作用线偏离轮子最低点的最大距离 当力 F 增大到某一值时，轮子处于临界状态 O G F M 达到最大值 Mmax O G F FN FS M A d 滚动摩阻因数，具有长度量纲 是法向反力的作用线偏离轮子最低点的最大距离 滑动 O G F FN FS d A 滚动 省力

4.7.5 考虑摩擦时的平衡问题 求解有摩擦时的平衡问题与不考虑摩擦时基本相同。 不同之处在于分析问题时须将摩擦力考虑在内。 静滑动摩擦力的大小有一定的范围，其解答也应是一个范围值。 为了便于计算，总是假设物体处于临界状态来计算，然后再考虑解答的范围。

例11 物体 A 重为 G，放在倾角为 q 的斜面上。物体与斜面间的摩擦因数 fS = m，且摩擦角 jm< q。为了使物体在斜面上保持静止，在其上作用一水平力 F，试求 F 的大小。 (1)求最小值 Fmin Fmin G A FSmax FN 摩擦条件 解得

讨论：当q <jm 时，Fmin< 0，即无论 G 多大，无需力 F 作用物体也能静止于斜面上，斜面自锁。 (2)求最大值 Fmax Fmax G A FSmax FN 摩擦条件 解得 讨论：当q <jm 时，Fmin< 0，即无论 G 多大，无需力 F 作用物体也能静止于斜面上，斜面自锁。 斜面自锁的条件

The End