数学实验 李尚志 教授 中国科学技术大学 数学系
何谓“数学实验” 对数学进行折腾 连蒙带猜找规律 从问题出发 学生自己动手、动眼、动脑 借助于计算机（成千上万次折腾） 尝试数学的探索、发现和应用
实验一：微积分基础 函数图象： sin(x)及其Tylor逼近。 sin(x)+sin(3x)/3+… sin(1/x)在x=0附近的性状。
Sin(x) 及其 Tylor 逼近 2018/11/22
sin x+sin3x/3+…+sin nx/n 2018/11/22
Sin (1/x) 在 x=0 附近 2018/11/22
d=Table[{1/n,Sin[n]}, {n,1,1000}] (定义点集） ListPlot[d] （画出点集） 画数据点集合 d=Table[{1/n,Sin[n]}, {n,1,1000}] (定义点集） ListPlot[d] （画出点集） 点集中显现出什么曲线？
Table[{1/n,Sin[n]}, {n,1,10000}] 2018/11/22
实验二: 的计算 想一想：怎样算 ？ 当一回祖冲之！
圆的面积 单位圆的面积等于 计算第一象限内的单位圆的面积，方法为：把它分成n个窄的曲边梯形，计算S大，S小，其中n可以为1000, 10000, ...
S小 S大 2018/11/22
数值积分： 2018/11/22
无穷级数法 arctan x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-... 收敛太慢！ |x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。 /4 = arctan 1/2 + arctan1/3 /4 = 4 arctan 1/5 - arctan 1/239
蒙特卡洛方法 求出S=/4占S正方形ACBO的比例。 随机投点P(x,y) P在圆内x2+y21 /4的近似值为落在圆内 的点数与总投点数的 比值 B C S A O
某次随机投点的结果 2018/11/22
实验三: 最佳分数近似值 问题： 祖冲之的圆周率为 A. 3.141592， B. 355/113 ? 上述哪一个值更佳？
评选最佳 何为最佳？误差d小，分母v小。 选法1：递增选v，使d 递减。 选法2：递增选v，使 vd 递减。
快速寻佳 2018/11/22
音阶的频率比 声音越高，频率越高。 1，2，3，4，5，6，7，i 频率各是多少？ 高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12。比例都是无理数。 但为了音乐和谐，比例应是简单分数。 矛盾的解决办法：用最佳分数近似值！
音阶的频率比 高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12: 1, 22/12, 24/12, 25/12, 27/12, 29/12, 211/12, 2 比例都是无理数: 1, 1.12246, 1.25992, 1.33484, 1.49831, 1.68179, 1.88775, 2 但为了音乐和谐，比例应是简单分数 怎样解决矛盾：用分母尽可能小的分数近似值： 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2
实验八: 天体运动 万有引力定律 --> 开普勒定律 实验八: 天体运动 万有引力定律 --> 开普勒定律 太阳位置 (0,0) 时刻 ti: 天体位置(xi,yi), 速度 (vix,viy) ri2=xi2+yi2,加速度大小 | ai|=k/(ri2), 加速度矢量（ aix,aiy)=(-|ai| xi/ri,-|ai| yi/ri) ti+1= ti+ d: vi+1,x=vix+aixd , vi+1,y=viy+aixd; xi+1 = xi + vi+1,x d, yi+1 = yi + vi+1,y d 从初始位置和初速度开始,一段段画出轨道
万有引力定律 --> 开普勒定律 2018/11/22
不同的初速度对轨道的影响 2018/11/22
凹面镜的正确形状 画图观察球面镜是否将平行光线聚于一点？ 要求凹面镜将平行光线聚于一点F，画出凹面镜截面曲线：从顶点 P0出发，向垂直于入射光线的方向前进一小段到 P1。一般的，设曲线已到Pi，则反射光线为P i F。按反射定律确定镜面曲线的走向，前进一小段到 P i+1 点。重复此过程。 观察猜测上面画出的是什么曲线？验证。
球面镜的反射 2018/11/22
球面镜的反射 正确的聚光镜 形状 2018/11/22
点电荷组的电力线与等势线 从一个点电荷的位置 P0 向任一方向出发走一小段到 P1 点。 利用库伦定律计算 P1点电场强度方向，从 P1点出发向此方向走一小段到 P2 点。 重复此过程可画出一条电力线。 换另外的方向出发可画出另外的电力线。 同理可画出等势线。
异种电荷 同种电荷 2018/11/22
微分方程 dy/dx=x2+y2的解 2018/11/22
实验七: 几何变换 (x,y) (x’,y’) x’=f1(x,y), y’=f2(x,y) 曲线C: x=x(t),y=y(t) 曲线C’：x=f1(x(t),y(t)), . y=f2(x(t),y(t))
线性变换 x’=a1x+b1y, y’=a2x+b2y. 画出由平面直线段或曲线段组成的图形C及其象C’。 观察：直线、平行、垂直、长度、角度、圆 ?
线性变换前后的图形 2018/11/22
线性变换的特征向量 观察向量方向变化情况：左偏，右偏，不变，反向。 变换作用多次，观察趋势。
向量方向的变化 2018/11/22
变换的迭代 2018/11/22
射影变换 x’ = x / (1-x), y’= y / (1-x). 直线、相交、平行 ？ 相交于x=1的直线 ？
相交直线变成平行直线 2018/11/22
圆变成圆锥曲线 2018/11/22
代数基本定理 复多项式 f (z)有复零点 z0. f (x+y i) = x’+ y’ i 决定实变换 j : (x,y) (x’,y’). 画半径R的圆CR CR’. R很大,CR’含原点。R 0时 CR’连续缩为一点。必扫过原点。
复多项式f(z)引起的变换： 变换前为半径r的圆 2018/11/22
实验十一: 最速降线 重力场中高度不同的两点A，B。 在A静止的质点沿怎样的路径下滑到B点，时间最少？
最速降线的形状 2018/11/22
《数学实验》教材目录 微积分基础 怎样计算 最佳分数近似值 数列与级数 素数
概率 几何变换 天体运动 迭代（一）：方程求解 寻优
最速降线 迭代（二）：分形 迭代（三）：混沌 密码 初等几何定理的机器证明
网址： 202.38.68.76/~mathexp/ 网上教材 或：http://www.ustc.edu.cn 院系介绍数学系常用连接 网上数学实验 2018/11/22
再见 2018/11/22