2-1 直線方程式及其圖形 直線的斜率 1 直線的方程式 2 兩直線關係 3 2-1 直線方程式及其圖形 page.1/22

1 直線的斜率 直線的斜率： 設直線 L 不是鉛垂線，且 ， 為 L 上 相異兩點，則 L 的斜率 。 為 0。所以我們不規定鉛垂線的斜率。 2-1 直線方程式及其圖形 page.2/22

1 坐標平面上六點 A(2,1) ，B(3,1) ， C(3,2)，D(3,3) ，E(1,2) ， F(1,3) ，試求下列直線的斜率： (1) 直線 AB。 (2) 直線 AC。 (3) 直線 AD。 (4) 直線 AE。 (5) 直線 AF。 直線 AB 的斜率為 。（水平線的斜率為0） (2) 直線 AC 的斜率為 。 (3) 直線 AD 的斜率為 。 2-1 直線方程式及其圖形 page.3/22

1 坐標平面上六點 A(2,1) ，B(3,1) ， C(3,2)，D(3,3) ，E(1,2) ， F(1,3) ，試求下列直線的斜率： (1) 直線 AB。 (2) 直線 AC。 (3) 直線 AD。(4) 直線 AE。 (5) 直線 AF。 (4) 直線 AE 的斜率為 。 (5) 直線 AF 的斜率為 。 2-1 直線方程式及其圖形 page.4/22

1 直線的斜率 斜率的特性: (1)水平線的斜率為 0。 (2)直線由左下往右上傾斜時，斜率為正。 (3)直線由左上往右下傾斜時，斜率為負。 (4)直線愈接近鉛垂線，其斜率的絕對值也愈大。 2-1 直線方程式及其圖形 page.5/22

2 直線的方程式 點斜式： 過點 ，且斜率為 的直線方程式為 。 2-1 直線方程式及其圖形 page.6/22

2 試求滿足下列條件之直線方程式： (1) 斜率為-2，且過點 (1,3) 的直線。 (2) 通過 (-1,2)，(2,1) 兩點的直線。 由點斜式可得所求直線方程式為 ， 即 。 (2) 因為 (-1,2)，(2,1) 為所求直線上兩點， 所以直線的斜率為 。 又直線過點 (2,1)，故由點斜式得直線方程式為 ， 即 。 2-1 直線方程式及其圖形 page.7/22

2 直線的方程式 截距： 當直線 L 與 軸交於點 (a,0) 時， 稱 a 為 L 的 截距；當直線 L 與 軸交於點 (0,b) 時，稱 b 為 L 的 截距。 2-1 直線方程式及其圖形 page.8/22

3 設直線 L 的斜率為 2， 截距為 3，試求 L 的直線方程式。 (2) 設直線 的 截距為 3， 截距為 4，試求 的直線方程式。 (2) 設直線 的 截距為 3， 截距為 4，試求 的直線方程式。 因為 L 的 截距為 3， 所以 L 過點 (0,3)。 由點斜式得 L 的方程式為 ， 即 。 2-1 直線方程式及其圖形 page.9/22

3 設直線 L 的斜率為 2， 截距為 3，試求 L 的直線方程式。 (2) 設直線 的 截距為 3， 截距為 4，試求 的直線方程式。 (2) 設直線 的 截距為 3， 截距為 4，試求 的直線方程式。 (2) 因為 的 截距為 3， 截距為 4， 所以 過點 (3,0)， (0,4)，故斜率為 由點斜式得 的方程式為 即 。 (注意到將上式各項同除以12，可得 ) 2-1 直線方程式及其圖形 page.10/22

2 直線的方程式 若直線方程式 則： (1)當 時，方程式化為 此時直線 L 的斜率為 ，y截距為 。 若直線方程式 則： (1)當 時，方程式化為 此時直線 L 的斜率為 ，y截距為 。 (2)當 時， ，此時直線 L 為沒有斜率的鉛垂線。 2-1 直線方程式及其圖形 page11/22

3 兩直線關係 平行直線的斜率相等： 設兩相異直線(非鉛垂線) 、 的斜率分別為 、 ， (1) 若 ，則 。 (2) 若 ，則 。 設兩相異直線(非鉛垂線) 、 的斜率分別為 、 ， (1) 若 ，則 。 (2) 若 ，則 。 兩垂直直線的斜率乘積為 ： 設兩相異直線(非水平或鉛垂線) 、 的斜率分別為 、 ， (1) 若 ，則 。 (2) 若 ，則 。 2-1 直線方程式及其圖形 page.12/22

4 (1) 試求過 P(1,2) 且與直線 平行之直線方程式。 (2) 試求過 Q(-2,1) 且與直線 垂直之直線方程式。 (1) 直線 L 的斜率為 ， 因為兩平行線斜率相等， 所以所求直線的斜率為 ， 如圖。 由點斜式可得過 P 且與 L 平行的 直線方程式為 ， 即 。 2-1 直線方程式及其圖形 page.13/22

4 (1) 試求過 P(1,2) 且與直線 平行之直線方程式。 (2) 試求過 Q(-2,1) 且與直線 垂直之直線方程式。 (2) 直線 L 的斜率為 ， 因為兩垂直線斜率乘積為-1， 所以所求直線的斜率為 ， 如圖。 由點斜式可得過 Q 且與 L 垂直的 直線方程式為 ， 即 。 2-1 直線方程式及其圖形 page.14/22

5 已知一點 A(2,1) 與直線 ，試求點 A 到直線 L 的垂足坐標。 如圖所示， 設點 A 到直線 L 的垂足為點 B， 則直線 AB 與直線 L 垂直， 且點 B 即直線 AB 與直線 L 的交點； 又 L 的斜率為 ， 故直線 AB 的斜率為1。 由點斜式得直線 AB 的方程式為 ， 即 ， ① 又 ， ② 解 ①、② 得 (x,y) = (1,0)， 故垂足點 B 的坐標為 (1,0)。 2-1 直線方程式及其圖形 page.15/22

6 解下列聯立方程式： (2) (3) (1) ① ② 將①式加②式，得 5x=10，即 x=2， (2) (3) (1) ① ② 將①式加②式，得 5x=10，即 x=2， 再將 x=2 代入②式，得 6+y=7，即 y=1， 故聯立方程式的解為 (x,y)＝(2,1)。 (2) ③ ④ 將③式乘以 2 減去④式，得 0=3，矛盾， 故聯立方程式無解。 2-1 直線方程式及其圖形 page.16/22

6 解下列聯立方程式： (2) (3) (3) ⑤ ⑥ 將⑤式乘以 2，得 ，與⑥式一模一樣， 所以⑤式(或⑥式)有無限多個解。 (2) (3) (3) ⑤ ⑥ 將⑤式乘以 2，得 ，與⑥式一模一樣， 所以⑤式(或⑥式)有無限多個解。 如（1,-1）、（2,1）、（3,3）、……等， 故聯立方程式有無限多組解。 2-1 直線方程式及其圖形 page.17/22

3 兩直線關係 聯立方程式解的幾何意義： 聯立方程式： 設 代表直線 ， 代表直線 ， (1)若聯立方程式恰有一組解，則 與 恰交於一點。 設 代表直線 ， 代表直線 ， (1)若聯立方程式恰有一組解，則 與 恰交於一點。 (2)若聯立方程式無解，則 與 平行。 (3)若聯立方程式有無限多組解，則 與 重合。 2-1 直線方程式及其圖形 page.18/22

7 如圖所示，在坐標平面上有四點 A(0,3)，B(2,0)， C(0,-1)，D(-4,0)。今欲作一矩形 PQRS 使得A，B， C，D 分別落在 ， ， ， 上。已知 S， R的連線通過點 E(3,0)，試求： (1) 直線 方程式。 (2) 直線 方程式。 (3) Q點坐標。 (1) 如圖所示， 直線 RS 的斜率＝直線 CE 的斜率＝ 又直線 RS 過點C(0,-1)， 故直線 RS 的方程式為 。 2-1 直線方程式及其圖形 page.19/22

7 如圖所示，在坐標平面上有四點 A(0,3)，B(2,0)， C(0,-1)，D(-4,0)。今欲作一矩形 PQRS 使得A，B， C，D 分別落在 ， ， ， 上。已知 S， R的連線通過點 E(3,0)，試求： (1) 直線 方程式。 (2) 直線 方程式。 (3) Q點坐標。 (2) 因為直線 QR 與直線 RS垂直， 故直線 QR 的斜率＝-3 ； 又直線 QR 通過點B(2,0) ， 所以直線 QR 的方程式為 。 2-1 直線方程式及其圖形 page.20/22

7 如圖所示，在坐標平面上有四點 A(0,3)，B(2,0)， C(0,-1)，D(-4,0)。今欲作一矩形 PQRS 使得A，B， C，D 分別落在 ， ， ， 上。已知 S， R的連線通過點 E(3,0)，試求： (1) 直線 方程式。 (2) 直線 方程式。 (3) Q點坐標。 (3) 因為直線 PQ 平行直線 RS， 故直線 PQ 的斜率也是 ； 又直線 PQ 通過點A(0,3) ， 所以直線 PQ 的方程式為 。 2-1 直線方程式及其圖形 page.21/22

7 如圖所示，在坐標平面上有四點 A(0,3)，B(2,0)， C(0,-1)，D(-4,0)。今欲作一矩形 PQRS 使得A，B， C，D 分別落在 ， ， ， 上。已知 S， R的連線通過點 E(3,0)，試求： (1) 直線 方程式。 (2) 直線 方程式。 (3) Q點坐標。 Q為直線 PQ 和直線 QR 交點， 解 得 。 2-1 直線方程式及其圖形 page.22/22