平行四边形的判别

学习目标 1、探索并掌握平行四边形的判别条件：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 2、在探索过程中，发展自己的合情推理意识、主动探究的习惯，逐步掌握说理的基本方法。

知识回顾 A B D C 已知：平行四边形ABCD。 则可得： AB∥CD AD∥BC 边： AB＝CD AD＝BC 角： O AB∥CD　AD∥BC 边： （平行四边形的定义） AB＝CD　 AD＝BC （平行四边形的两组对边分别相等） 角： ∠A＝ ∠C　 ∠B＝ ∠D （平行四边形的对角相等） 对角线： AO＝CO　BO＝DO 平行四边形的对角线互相平分 怎样来判断一个四边形是平行四边行呢？

平行四边形的判定方法： 　　两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 还有其他判定方法吗？

探究 小明的爸爸在钉制平行四边形框架时采用了下面2种方法。方法1：如图，平移线段AB至线段DC，得到的四边形ABCD 是平行四边形吗？ Ｄ Ｃ 方法2：如图，将两根木条AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形。 Ａ Ｂ

探究一 已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，AB ∥ CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形。 △ABC ≌△CDA 连结AC 角相等 ⌒ 1 ︵ 3 ⌒ 2 △ABC ≌△CDA ︶ 4 连结AC 角相等 AD ∥ BC且AB ∥ CD 两组对边分别平行 四边形ABCD是平行四边形

探究 已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，AB ∥ CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：连结AC。 ⌒ 1 ︵ 3 证明：连结AC。 ⌒ 2 ︶ 4 ∵ AB ∥ CD （已知） ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） 又∵ AB＝CD（已知） 　　AC＝AC（公共边） ∴△ABC≌△CDA（SAS） ∴∠3＝∠4（全等三角形的对应角相等） ∴ AD ∥ BC（内错角相等，两直线平行） ∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义） 　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

探究二 已知：在四边形ABCD中，OB＝OD，OA=0C， 求证：四边形ABCD是平行四边形。 △AOB ≌△COD ∠ABO＝∠CDO 角相等 AB ∥ CD且AB = CD 一组对边平行且相等 四边形ABCD是平行四边形

探究二 已知：在四边形ABCD中，OB＝OD，OA=0C， 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明: ∵ OB=OD OA=OC （已知） ∠AOB＝∠COD（对顶角相等） ∴△AOB≌△COD（SAS） ∴∠ABO＝∠CDO AB=CD（全等三角形的对应角 相等、对应边相等） ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形） 　对角线互相平分的四边形是平行四边形

探究三 已知：在四边形ABCD中，AB＝CD， AD＝BC ， 求证：四边形ABCD是平行四边形。 △ABC ≌△CDA 分析： 连结AC ⌒ 1 ︵ 3 ⌒ 2 ︶ 4 连结AC 角相等 AD ∥ BC或AB ∥ CD 两组对边分别平行 一组对边平行且相等 四边形ABCD是平行四边形

探究三 已知：在四边形ABCD中，AB＝CD， AD＝BC ， 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：连结AC。 ∵ AB＝CD（已知） ⌒ 1 ︵ 3 ∵ 　AB＝CD（已知） 　　　AD＝BC（已知） 　　AC＝AC（公共边） ⌒ 2 ︶ 4 ∴△ABC≌△CDA（SSS） ∴∠1＝∠2（全等三角形的对应角相等） ∴ AB ∥ CD （内错角相等，两直线平行） ∴ AB 　CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）　 ∴∠1＝∠2 　∠3＝∠4（全等三角形的对应角相等） ∴ AB ∥ CD 　AD ∥ BC（内错角相等，两直线平行） ∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）　 一组对边平行且相等的四边行是平行四边形 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形

探究四 假命题 已知：在四边形ABCD中， AD∥ BC， AB＝CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：连结AC。 得：∠1＝∠2 　　　AB＝CD 　　AC＝AC A B E D A B C D ⌒ 3 4 ︵ 1 ︶ 2 E 可能是假命题！ 等腰梯形ABED

文字语言 图形语言 符号语言 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 判 别 O 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD,AD= BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD,AＢ＝ＤC 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵ AB∥CD,, AD∥BC 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC,OB=OD Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ O

例题 例1：如图，AC ∥ ED, 点B在AC上且AB=ED=BC,找出图中的平行四边形 解： 四边形ABDE,BCDE都是平行四边形。 理由是： E A C B D AB∥ED AB = ED 四边形ABDE是平行四边形 BC∥ED BC= ED 四边形ABDE是平行四边形

例2、已知： 　　如图，四边形ABCD和四边 　　形AEFD都是平行四边形。 　　求证： 　　四边形BCFE是平行四边形。 A D E F B C 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 　　　∴AD　BC （平行四边形的对边平行且相等） 　　　∵四边形AEFD是平行四边形 　　　∴AD　EF （平行四边形的对边平行且相等） ∴BC　EF ∴四边形BCFE是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ）

练习 一、填空： 1、∵AB＝CD ＿＿∥＿＿ ∴四边形ABCD是平行四边形。 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 　　＿＿∥＿＿ 　　∴四边形ABCD是平行四边形。 　　（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 2、 ∵AB ∥ CD 　　＿＿ ∥ ＿＿ 　　∴四边形ABCD是平行四边形 　　（　　　　　　　　　） 3、∵AB＝CD 　　＿＿＝＿＿ 　　（　　　　　　　　　　　　　　　　　　）　 A B C D AB∥CD AD ∥ BC 平行四边形的定义 AD＝BC 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

大显身手 A D B C 二、解答题 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。 求证：四边形BFDE是平行四边形 证明：连结BD，交AC于点O。 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO，BO=DO ∵AE=CF ∴AO-AE=CO-CF 即EO=FO ∵ BO=DO ，EO=FO ∴ 四边形BFDE是平行四边形 A D E O F B C

大显身手 1、已知：平行四边形ABCD中，E， F分别是边AD，BC的中点（如图） 求证：EB=DF

ＤE⊥AC于E，ＢF⊥AC于F D C A B 2：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且 此时四边形BFDE是否仍是平行四边形？ ＤE⊥AC于E，ＢF⊥AC于F D C F E A B