二次函数复习 x y

本课知识小结 二次函数 抛物线 相关概念 定义 对称轴 顶点 性质和图象 开口方向、对称轴、顶点坐标 图象 增减性 三点式 解析式的确定 顶点式 交点式

二次函数的定义 提示: 定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数. 思索归纳 (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项.

? 随堂练习 (3) s=3-2t². (5)y=(x+3)²-x². 1.下列函数中,哪些是二次函数？ (1）y=3(x-1)²+1; （是） 怎么判断？ （不是） (3) s=3-2t². （是） ? (5)y=(x+3)²-x². （不是） （不是）

二次函数的图象和性质 y = ax 2+k x=0 (0,0) （0，k） X=0 （一）形如y = ax 2 (a≠0) 的二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标 y = ax 2 a ＞ 0 a ＜ 0 向上 x=0 (0,0) 向下 （二）形如y = ax 2+k　(a≠0) 的二次函数 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = ax 2+k a ＞ 0 a ＜ 0 向上 （0，k） X=0 向下

x=h （h，0） （h，k） x=h （三）形如y = a (x-h) 2 ( a≠0 ) 的二次函数 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = a（x-h) 2 a ＞ 0 a＜0 向上 x=h （h，0） 向下 (四) 形如y = a (x-h) 2 +k (a ≠0) 的二次函数 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = a（x-h) 2+k a ＞ 0 a ＜ 0 向上 （h，k） x=h 向下

二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系 1、平移关系 当h>0时,向右平移 y=ax2 当k>0时,向上平移 y=a(x－h)2 y=a(x－h)2+k 当h<0时,向左平移 当k<0时,向下平移 2、顶点变化 （0,0) （h,0) （h,k)

观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6x+7的图象是怎样由y=x2的图象平移得到的？ -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 • 5 6 y=x2-6x+7 =x2-6x+9-2 =(x-3)2-2

-2 巩固练习1： （1）抛物线y = x 2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限 ； 上 y轴 (0,0) 一、二 不可能 （2)已知y = - nx 2 (n＞0) , 则图象 ( )（填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。 X Y A B O （3）抛物线y =x 2+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛物线y =x 2向 平移 个单位得到的； 上 x=0 （0，3） 上 3 （4）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象，则a 0，k 0；若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = ,k = ；函数关系式是y = 。 ＞ ＜ -2 0.5 0.5x 2-2

（5）抛物线 y = 2 (x -1/2 ) 2+1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标是 上 （5）抛物线 y = 2 (x -1/2 ) 2+1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标是 （6）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n 0。 x=1/2 （1/2，1） ＜ ＜ ＜

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 向上 当 时 y随x的增大而减少 向下 开口方向 y随x的增大而增大 当 时 顶点 y随x的增大而增大 当 时 y随x的增大而减少 当 时 对称轴 增减性 当 时 当 时 最 值

1.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的值总为负，那么a、c应满足的条件是（ ） A.a>0且b2-4ac≥0 B.a>0且b2-4ac>0 C.a<0且b2-4ac<0 D.a <0且b2-4ac ≤0 C 2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式的符号：a 0 ,b 0, c 0 ,∆ 0 , a-b+c 0,a+b+c 0 < < > > > =

3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） 4.已知二次函数y=ax2+bx+c中a>0,b<0,c<0,请画一个能反映这样特征的二次函数草图.

二次函数解析式的三种表示方式 1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ y=ax2+bx+c(a≠0) 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________ y=a(x-h)2+k(a≠0) 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________ y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

1、二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求a、b、c。 解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x

2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下 平移4个单位,再向左平移5个单位所得到的新 抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式. 分析: (1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0) (2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线 答案:y=-x2+6x-5

3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。 解： ∵点A在正半轴，OA=4， ∴点A（4，0） ∵点B在负半轴， OB=1， ∴点B（-1，0） 又 ∵ ∠ACB=90° ∴OC2=OA·OB=4 ∴OC=2，点C（0，-2） 抛物线的解析式为 A B x y O C

4、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。 (1)当x为何值时，y随x的增大而增大？ (2)当x为何值时，y<0？ (3)求它的解析式和顶点坐标。 y O x

作业：课本复习题1－5