二次函数复习课 龙文教育 ——
二次函数考点分析 二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，是江苏中考热点之一。 二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，是江苏中考热点之一。 二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。 其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。 利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题以解答题形式出现：一类是二次图象及性质的纯数学问题，一类是利用二次函数性质结合其它知识解决实际问题的题目，
二次函数知识导航 本次复习知识点1——5 1、二次函数 的定义 2、二次函数 的图像及性质 3、求解析式的三种方法 4、a，b，c及相关符号的确定 5、抛物线的平移 6、二次函数 与一元二次方程的关系 7、二次函数 的应用题 8、二次函数 的综合运用 本次复习知识点1——5
1、二次函数的定义 定义：y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5 x²， y=3 x²-2x+5,其中是二次函数的有 个。 3 例1：当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？ =1
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 2、二次函数的图像及性质 x y x y y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 由a,b和c的符号确定 由a,b和c的符号确定 开口方向 a>0,开口向上 a<0,开口向下 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 增减性 最值
例2： 已知二次函数y=—x2+x-— （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 1 2 3
例2： 解:（1）∵a= —>0 1 2 3 2 已知二次函数y=—x2+x-— （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 解:（1）∵a= —>0 ∴抛物线的开口向上 ∵y= — (x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2 ∴对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2） 1 2
例2： 解: 1 2 3 2 已知二次函数y=—x2+x-— （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 解: (2)由x=0，得y= - -— 抛物线与y轴的交点C（0，- -—） 由y=0，得—x2+x- —=0 x1=-3 x2=1 与x轴交点A（-3，0）B（1，0） 3 2 1
• • 例2： 解 已知二次函数y=—x2+x-— （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 1 2 3 y ①画对称轴 x=-1 解 (3) • (0,-–) ③确定与坐标轴的交点 及对称点 (-3,0) (1,0) 3 2 ④连线 ②确定顶点 • (-1,-2) x
• • • • • 例2： 解 已知二次函数y=—x2+x-— （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 1 2 3 y 解 ：（4）由对称性可知 MA=MB=√22+22=2√2 AB=|x1-x2|=4 ∴ ΔMAB的周长=2MA+AB =2 √2×2+4=4 √2+4 ΔMAB的面积=—AB×MD =—×4×2=4 1 2 • A(-3,0) B(1,0) • x D • • 3 • C(0,-–) 2 M(-1,-2)
• • • • • 例2： 解 解 已知二次函数y=—x2+x-— （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随x的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 1 2 3 解 解 x=-1 :(5) 当x＜-1时，y随x的增大 而减小; • (-3,0) (1,0) • x 当x=-1时，y有最小值为 y最小值=-2 • • 3 • (0,-–) 2 (-1,-2)
• • • • • 例2： 解: 已知二次函数y=—x2+x-— （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 1 2 3 y 解: (6) 由图象可知 当x< -3或x>1时，y > 0 • (-3,0) (1,0) • x 当-3 < x < 1时，y < 0 • • 3 • (0,-–) 2 (-1,-2) 返回
3、求抛物线解析式的三种方法 1.一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ y=ax2+bx+c(a≠0) 2.顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________ 求出表达式后化为一般形式. y=a(x-h)2+k(a≠0) 3.交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________ 求出表达式后化为一般形式. y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
及时巩固：求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ； (3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
例3:已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。 解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
4、抛物线的平移 y=2x2+1与y=2x2的图象有什么关系? y=2x2+1 y=2x2 1. 2. 3. -1 -2 -3. 0. 4. 5 y=2x2 y=2x2+1与y=2x2的图象有什么关系?
二次函数y=3x2-1图像可以由y=3x2 的图象向下平移一个单位得到 这两函数的图像有什么关系？ 二次函数y=3x2-1图像可以由y=3x2 的图象向下平移一个单位得到 y=3x2 0.25. 0.25. 0.5. 0.75. -0.25 -0.5. -0.75. 0. x -1 1 y=3x2-1 -0.25. -0. 5. -0.75. -1.
上加下减 二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？ 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0时,向上 y=ax2 y轴 二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象 当c > 0 时 向上平移c个单位得到. 当c < 0 时 向下平移-c个单位得到. 上加下减 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数 a>0时,向上 y=ax2 y轴 （0,0） a<0时,向下 a>0时,向上 y=ax2+c y轴 （0,c） a<0时,向下
观察图象,回答问题 (1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?
左加右减 y=3x² 把y=3x²的图像沿x轴向右平移1个单位就得到y=3(x-1)²的图像 函数 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 y随x变化规律 y=3x² 抛物线 向上 （0，0） 直线x=0 以直线x=0为界线 y=3(x-1)2 （1，0） 直线x=1 以直线x=1为界线 y=3(x+1)2 （-1，0） 直线x=-1 以直线x=-1为界线
综合：配方法 例4：由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象. y=x2-5x+6 y=x2
习题及时巩固 引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2 ⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 下 3 右 3 左 1 上 2 引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2
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5、二次函数系数a，b，c与图象的关系 a （左同右异） c a决定开口方向：a＞０时,开口向上，a＜０时,开口向下 a,b a、b同时决定对称轴位置：对称轴在y轴左侧时a、b同号 对称轴在y轴右侧时a、b异号 对称轴是y轴时b＝０ （左同右异） c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴 c＝０时抛物线过原点 c＜０时抛物线交于y轴的负半轴 △决定抛物线与X轴的交点： △＞0时抛物线与X轴有两个交点 △=0时抛物线与X轴有一个交点 △＜0时抛物线与X轴有没有交点 △
探究 ①abc<0 ⑥ ②a+b+c < 0 ⑦ ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤ 例4. 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则在下列 各不等式中正确的是____________ ①④⑤⑥⑦ y 探究 1 -1 x · ①abc<0 ⑥ ②a+b+c < 0 ⑦ ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤ 2 开口方向:向上a<0; 对称轴:在y轴右侧a、b异号，所以b>0 与y轴的交点:在y轴正半轴，所以c>0; www.czsx.com.cn · abc<0 ∵ =1,∴-b=2a ∴2a+b=0 a+b+c：当x=1时，y=a+b+c; a-b+c:由当x=-1时,y=a-b+c, a+b+c>0 a+c<b 与x轴的交点:两个不同的交点，所以 25
· B A C 练习及时到！ １、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c的符号为（ ） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 B · o c 2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ ） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 x y A o 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c 、 △的符号为（ ） A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0 C x y o 熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系 (上正、下负） (左同、右异)
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0， o 4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况： a 0,b 0,c 0. < < = x y o 5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点, 且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足 的条件是：a 0,b 0,c 0. > > = 6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0， 那么这个二次函数图象的顶点必在第 象限 四 x y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
小结: 1、二次函数的图象及性质 抛物线 x=h时 y最小值=0 y最大值=0 y最小值=k y最大值=k a b ac 4 2 - 时 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 a>0 a<0 增减性 1、二次函数的图象及性质 当a>0时开口向上，并向上无限延伸； 当a<0时开口向下，并向下无限延伸. (0,0) (0,k) (h,0) (h,k) 直线 y轴 在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小 x y 直线x=h x=h时 y最小值=0 y最大值=0 y最小值=k y最大值=k 最小值 = 时， k a b ac 4 2 - 最大值 时 ∣ a∣越大开口越小 2、系数与图像的关系 a决定开口方向，a>0开口向上， a<0开口向下 a,b同时决定对称轴的位置 左同右异 C决定抛物线与y轴交点 c>0 与y轴交于正半轴 c<0与y轴交于负半轴 c=0时 图像经过原点 a+b+c 当x=1时 y=a+b+c a-b+c 当x=-1时y=a-b+c 4a+2b+c 当x=2时y=4a+2b+c 4a-2b+c 当x=-2时y=4a-2b+c 3、平移规则：左加右减，上加下减
谢谢大家！ 再见