第十讲 空间群(II)：非点式操作

点对称操作：r’ = Rr r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc 非点式对称操作 点对称操作：r’ = Rr r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc 空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移，而对于点式操作t =  = 0 ۞ 螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65 ۞ 滑移面：a、b、c；n；d

点对称操作 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n 1 (E, L1) 1 (i, C) + , 2 (C2, L2) 2 (σ, P), m + _ , 3 (C3, L3) 3 (S65, Li3) 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 6 (C6, L6) 6 (S35, Li6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n

对称轴符号 沿轴向的右手螺旋平移特征 符号 对称轴 图示符号 沿轴向的右手螺旋平移特征 四次旋转轴 4 四次反演轴 四次螺旋轴 六次旋转轴 六次螺旋轴 六次反演轴 43 6 61 65 无 c/4 c/6 5c/6 41 42 2c/4 3c/4 62 63 64 2c/6 3c/6 4c/6 符号 图示符号 对称轴 1 一次旋转轴 无 无 1 一个反演轴 无 无 2 二次旋转轴 平行于纸面 c/2 21 二次螺旋轴 a/2或b/2 平行于纸面 3 三次旋转轴 无 31 c/3 三次螺旋轴 32 2c/3 3 三次反演轴 无

对称面符号 m a, b c n d 图示符号 符号 对称面 滑移特征 (a或b轴) (c轴) 反映面(镜面) 轴滑移面 无 垂直于投影面 平行于投影面 (a或b轴) (c轴) 反映面(镜面) m 没有(如果平面在z=1/4的高度，就在符号边标注1/4) a, b 沿[100]滑移a/2，或沿[010]滑移b/2，或两个沿<100>滑移 轴滑移面 c 沿z轴滑移c/2，或在菱形轴中沿[111]滑移(a+b+c)/2 无 n 对角滑移面(网) (a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2, 或 (a+b+c)/2(四方和立方) d “金刚石”滑移面 (a±b)/4, (b±c)/4, (a±c)/4,或(a±b±c)/4(四方和立方) 1/8 3/8

复习： 点对称操作、7种晶系、32种点群、14种布拉菲格子、点式空间群

!!! n = 1n (iCn), Sn = σCn 点对称操作 1 (E) 1 (i) 2 (C2) 2 (σ), m 3 (S65) (σh, σv, σd) (C21, C22) 3 (S65) 3 (C3) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 (C31, C32, C33) 4 (S43) 4 (C4) (C41, C42, C43, C44 ) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E) 6 (C6) 6 (S35) (C61, C62, C63, C64 , C65, C66 ) S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66

附录 1 r r’ a b c     = 90o 直角坐标  = 120o 六角坐标 参考轴： 对称算符 r’ = Rr (x,y,z) (x’,y’,z’) r r’ a b c     = 90o 直角坐标  = 120o 六角坐标 参考轴： 对称算符 r’ = Rr a, b, c (无需正交) x’ y’ z’ x y z a11 a21 a31 = r = xa + yb + zc r’ = x’a + y’b + z’c 恒等 1 镜面{m[001]}，反映 x’ y’ z’ x y z -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 = x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 附录 1

对称条件 晶系 特点 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 1(E)或1(i) 三 斜 a≠ b≠ c, ≠≠ 1 2(C2)或2(m) 单 斜 a≠b≠c,  =  = 90o≠ 2/m 两个2(C2)或2(m) 正 交 a≠b≠c,  =  =  = 90o mmm 4(C4)或4(S43) 四 方 a = b≠c,  =  =  = 90o 4/mmm a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o 3m 3(C3)或3(S65) 三 方 a = b = c,  =  =  菱形 6(C6)或6(S35) 六 方 a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o 6/mmm 四个三次轴 立 方 a = b = c,  =  =  = 90o m3m

1(L1) 2(L2) 222(3L2) 4(L4) 6(L6) 3(L3) 23(3L24L3) 1(C) m(P) mm2 (L22P) 4/m (L4PC) 6/m (L6PC) 3m (L33P) m3 (3L24L33PC) 2/m (L2PC) mmm (3L23PC) 4mm (L44P) 6mm (L66P) 32(L33L2) 43m (3Li44L36P) 32种点群及其点对称操作 4/mmm(L44L25PC) 6/mmm (L66L27PC) 3(Li3) 432 (3L44L36L2) 422 (L44L2) 622 (L66L2) 3m (Li33L23P) m3m (3L44L36L29PC) 4 (Li4) 6 (Li6) 42m (Li42L22P) 62m (Li63L23P)

附录 4 4/mmm(L44L25PC) 6/mmm (L66L27PC) m3m (3L44L36L29PC) E, 2C4, C2, 2C2’, 2C2”, σh, 2σv, 2σd , i, 2S4 6/mmm (L66L27PC) 6/mmm (L66L27PC) E, 2C6, 2C3, C2, 3C2’, 3C2”, σh, 3σv, 3σd, i, 2S3, 2S6 m3m (3L44L36L29PC) E, 8C3, 3C2, 6C4, 6C2, 3σh, 6σd i, 8S6, 6S4, m3m (3L44L36L29PC) 附录 4

点群各符号的顺序 晶系 在 国 际 符 号 中 的 位 置 1 2 3 4或4沿c 3或3沿c 6或6沿c 3或3沿<111> 三斜 只用一个符号 单斜 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴 正交 2或2沿a 2或2沿b 2或2沿c 四方 4或4沿c 2或2沿a和b 2或2沿a±b 三方 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b 六方 6或6沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b 4、4、2或2沿<100> 立方 3或3沿<111> 2或2沿<110>

新的点阵(有心 8 种) 14种布拉菲点阵 第八讲 14种布拉菲格子 旋转对称性 满足点阵条件 + 晶系不变 有心化 旋转对称性 晶系、参考轴初基P单胞 (6) 有心化 P点阵中高对称位置加心(体心I, 全面心F, 单面心A, B或C 双面心) 六方格子特殊心 菱形(三方)单胞 新的点阵(有心 8 种) 14种布拉菲点阵 旋转对称性

四方晶系 四方 P 四方 I 立方晶系 立方 P 立方 I, bcc 立方 F, fcc 四方 C = P ≠A ≠B 四方 F = I 非点阵 四方 P 四方 I 立方晶系 立方 P 立方 I, bcc 立方 F, fcc 单面心破坏4个3次对称性！非点阵

基元Basis 点阵，Lattice a b 1 2 3 4 初基晶胞，primitive unit cell 晶胞，lattice unit cell Oblique, a ≠ b  ≠ 90o

晶体结构 = 点阵 (布拉菲格子) + 基元 (点群) 何种格子、何种基元？

晶系 点群 点对称条件 布拉菲点阵 四个三次轴 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 6(C6)或6(S35) 布拉菲点阵 P P, B P, C, I, F P, I P, I, F 1(C1), 1(Ci) m(C1h), 2(C2), 2/m(C2h) 222(D2), mm2(C2v), mmm(D2h) 42m (D2d) 4 (S4), 422 (D4), 4/mmm(D4h), 4mm(C4v), 4/m(C4h), 4(C4), 3m(D3d) 3(C3), 3m (C3v), 32(D3), 3(S6), 622 (D6), 6/mmm (D6h), 6mm(C6v), 6/m(C6h), 6(C6), 62 (D3h) 6 (C3h), 23(T), m3 (Th), 432 (O), m3m (Oh) 43m (Td),

73种点式空间群 晶系 点群 布拉菲点阵 三 斜 P P1, P1 单 斜 P P2, Pm, P2/m B B2, Bm, B2/m 正 交 222, mm2, mmm P P222, Pmm2, Pmmm C C222, Cmm2, Cmmm, Amm2 I I222, Imm2, Immm F F222, Fmm2, Fmmm 四 方 4, 4/m, 4mm, 422, P P4, P4/m, P4mm, P4/mmm, P422, P4, P42m, P4m2 4, 42m, 4/mmm I I4, I4/m, I4mm, I4/mmm, I422, I4, I42m, I4m2 三 方 3, 3m, 32, P P3, P3m1, P312, P3, P31m, P31m, P321, P3m1 3, 3m R R3, R3m, R32, R3, R3m 六 方 6, 6/m, 6mm, 622, P P6, P6/m, P6mm, P6/mmm, P622, P6, P6m2, P62m 6, 62m, 6/mmm 立 方 23, m3, 43m, P P23, Pm3, P43m, P432, Pm3m 432, m3m I I23, Im3, I43m, I432, Im3m F F23, Fm3, F43m, F432, Fm3m

空间群：结晶学空间群就是能使三维周期物体(无限大晶体)自身重复的所有几何对称操作的集合，它构成数学意义上的群。 第九讲 空间群(I)：点式空间群 晶体的宏观外形可视作一个连续整体的有限图形，而晶体微观结构是不连续排列的原子在三维空间的无限展开。晶体宏观对称性是晶体结构(原子排列对称性)即微观对称的反映。 点群中对称要素必须交于一点，只有方向的概念。微观对称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和位置的概念。 空间群：结晶学空间群就是能使三维周期物体(无限大晶体)自身重复的所有几何对称操作的集合，它构成数学意义上的群。

点对称操作：r’ = Rr r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc 非点式对称操作 点对称操作：r’ = Rr r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc 空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移，而对于点式操作t =  = 0 ۞ 螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65 ۞ 滑移面：a、b、c；n；d

点式空间群：由全部作用于同一个公共点上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操作和平移对称操作组合而产生。 空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移 对于点式操作t =  = 0 {R|t}、 {1|tn}、 {R|0} 、{R|} 点式空间群：由全部作用于同一个公共点上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操作和平移对称操作组合而产生。 ۞ 螺旋轴或滑移面不是其基本操作。 ۞ 点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与空间群点群相同的位置对称性

{1|tn} P1 + + c b a + +

P1 , _ , _ + + , _ , _ + + + _ ,

P2 + + + + a b c + + + +

+ , - P2/m 反映面，镜面

Pm + , - + , - + , - + , -

+ , - + , - Bm 1/2+ , 1/2- 1/2+ , 1/2- + , - + , - 1/4 滑移面 单斜 B

P222 + _ + _ a b c + _ + _ 纸面内二次轴

C222 + _ + _ + _ a b c + _ + _ 螺旋轴,21

+ , + , Pmm2 + , + + + , + , 反映面

+ , - + , - Pmmm + , - + , -

P4 + a b c

+ _ , + _ , P4 a b c + _ , + _ ,

a b c P42m + , _ 滑移面, n

+ , _ + , _ P4m2 a b c + , _ + , _ x y

+ _ P422 a b c 螺旋轴,21

+ , + , P4mm a b c + , + ,

+ + P3 + +

+ , - + , - P6 + , - + , -

第十讲 空间群(II)：非点式操作

点对称操作 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n 1 (E, L1) 1 (i, C) + , 2 (C2, L2) 2 (σ, P), m + _ , 3 (C3, L3) 3 (S65, Li3) 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 6 (C6, L6) 6 (S35, Li6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n

螺旋操作：螺旋操作是一种对称操作，它是由真旋转与平行于旋转轴的非初基平移结合而成的。{RI}r=Rr +  二次螺旋轴 21 + + _ 2 (C2, L2) + _ + 2 二次旋转轴 二次螺旋轴 2 21 平行于纸面 无 c/2 a/2或b/2 + 1/2+ + _ a/2或b/2 21 +

31 32 三次螺旋轴 3 31 32 3 (C3, L3) 3 31 32 3 1/3+ 2/3+ 2/3+ 1/3+ 三次旋转轴 无 三次反演轴 无

四次螺旋轴 41 42 43 四次旋转轴 4 四次反演轴 四次螺旋轴 43 无 c/4 41 42 2c/4 3c/4 4 (C4, L4) + 1/2+ 42 1 2 3 4 + 1/4+ 3/4+ 1/2+ 41 + 3/4+ 1/4+ 1/2+ 43 + 4

65 + 5/6+ 2/3+ 1/2+ 1/3+ 1/6+ 六次螺旋轴 64 + + 2/3+ 1/3+ 63 6 + 1/2+ 6 (C6, L6) + 1/3+ 2/3+ 六次旋转轴 六次螺旋轴 六次反演轴 6 61 65 无 c/6 5c/6 62 63 64 2c/6 3c/6 4c/6 + 1/6+ 1/3+ 1/2+ 2/3+ 5/6+ 62 61

四次螺旋轴 41 42 43 (41)1 (41)2 (41)3 (41)n (41)2 (42)1

滑移面：滑移面是由非真旋转2(m)与非初基平移结合而成的新对称操作，同样可由赛兹算符{RI}r=Rr+描述。晶体中有三种不同的滑移面：轴滑移、对角线滑移、金刚石滑移。 轴向滑移：平移矢量平行于反映面(方向?)，大小是单胞轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移。 a b + ， b/2 a/2 _ n滑移 a滑移 b滑移 P 21/n 21/m 21/a No. 62 P nma 滑移面的方向由空间群符号确定！

对称轴符号 1 4 1 2 4 21 6 3 31 32 3 6 符号 图示符号 符号 图示符号 对称轴 对称轴 41 42 43 61 沿轴向的右手螺旋平移特征 沿轴向的右手螺旋平移特征 符号 图示符号 符号 图示符号 对称轴 对称轴 1 4 一次旋转轴 无 无 四次旋转轴 无 1 41 一个反演轴 无 c/4 42 无 四次螺旋轴 2c/4 2 二次旋转轴 43 3c/4 平行于纸面 4 四次反演轴 无 c/2 21 二次螺旋轴 6 六次旋转轴 无 a/2或b/2 平行于纸面 61 c/6 3 三次旋转轴 无 62 2c/6 63 31 六次螺旋轴 3c/6 c/3 三次螺旋轴 64 4c/6 32 2c/3 65 5c/6 3 三次反演轴 无 6 六次反演轴 无

对称面符号 m a, b c n d 图示符号 符号 对称面 滑移特征 (a或b轴) (c轴) 反映面(镜面) 轴滑移面 无 垂直于投影面 平行于投影面 (a或b轴) (c轴) 反映面(镜面) m 没有(如果平面在z=1/4的高度，就在符号边标注1/4) a, b 沿[100]滑移a/2，或沿[010]滑移b/2，或两个沿<100>滑移 轴滑移面 c 沿z轴滑移c/2，或在菱形轴中沿[111]滑移(a+b+c)/2 无 n 对角滑移面(网) (a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2, 或 (a+b+c)/2(四方和立方) d “金刚石”滑移面 (a±b)/4, (b±c)/4, (a±c)/4,或(a±b±c)/4(四方和立方) 1/8 3/8

P222 + _ a b c

P 222 Orthorhombic 222 P 2 2 2 No. 16 D2 1 Origin at 222 + _

P 2221 D2 Orthorhombic 222 P 2 2 21 2 P 2 2 2 ¼ Origin at 2121 ½ ½+ No. 17 D2 2 P 2 2 2 ¼ ½+ + ½ _ Origin at 2121

P 21212 Orthorhombic 222 P 21 21 2 No. 18 D2 3 P 2 2 21 Origin at 112 in plane of 2121 + _

P 212121 Orthorhombic 222 P 21 21 21 No. 19 D2 4 P 21 21 2 Origin halfway between three pairs of non-intersecting screw axes ½+ + _ ½ ¼

+ P41 a b c + 3/4+ 1/4+ 1/2+

P42 P43 ? + 1/2+ + 1/2+ + 1/2+ + 1/2+ + 1/4+ 3/4+ 1/2+ + 1/4+ 3/4+

P61 (C6, No. 169) 61 Origin on 61 2 Origin on 6 1/3+ 1/6+ 1/2+ + 2/3+ 5/6+ Origin on 6 61 + 1/6+ 1/3+ 1/2+ 2/3+ 5/6+ Origin on 61

+ 5/6+ 2/3+ 1/2+ 1/3+ 1/6+ P65 (C6, No. 170) 3 + 1/3+ 2/3+ P62 (C6, No. 171) 4 + 2/3+ 1/3+ P64 (C6, No. 172) 5 + 1/2+ P63 (C6, No. 173) 6

Pban (D2h, No. 50) Pmmm P 2/b 2/a 2/n 4 , + , - Origin at 222, at ¼, ¼, 0 from 1 Pmmm

+ , + , Cmm2 + , + + + , + , + , 滑移面a, b 反映面

Amm2 Cmm2 + , 1/2+ + , 螺旋轴，滑移面(c) 滑移面(a, b)

Cmmm + , - + , - + , - + , - + , - 螺旋轴,21 滑移面, n

Cmma + , _ _ , + + , _ + , _ _ , + _ , + + , _ _ , + + , _ Cmca ? 1/4

P4nc No. 104 P4nc 4mm Tetragonal 6 C4v + , ½+ Origin on 4

+ , _ P42m a b c 滑移面, n

作业： 作下面非点式空间群的俯视图（一般等效位置和对称操作），并作出分析： Pmcn, C2/c, P21212