第八章 圆锥曲线方程 第1节 椭圆

要点·疑点·考点 1.椭圆的定义 (1)椭圆的第一定义为：平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 (2)椭圆的第二定义为：平面内到一定点F与到一定直线l的距离之比为一常数e(0＜e＜1)的点的轨迹叫做椭圆 2.椭圆的标准方程的两种形式x2/a2+y2/b2=1，x2/b2+y2/a2=1,(a＞b＞0)分别表示中心在原点，焦点在x轴和y轴上的椭圆

3.椭圆的几何性质：以x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)为例，其几何性质如下：(1)范围是-a≤x≤a，且-b≤y≤b；(2)关于x轴、y轴和原点对称； (3)四个顶点坐标是(±a,0) (0,±b)；(4)离心率e=c/a∈(0,1)其中c=√a2-b2；(5)准线方程是x=±a2/c 4.椭圆的焦半径公式 在椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上，点M(x0，y0)的左焦半径为|MF1|=a+ex0，右焦半径为|MF2|=a-ex0 在椭圆x2/b2+y2/a2=1(a＞b＞0)上点p(m,n)的下焦半径|PF1|=a+en,上焦半径为|PF2|=a-en

课 前 热 身 1.椭圆x2/100+y2/64=1上一点P到左焦点F1的距离为6，Q是PF1的中点，O是坐标原点，则|OQ|= _____  7 2.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于 短半轴长的2/3，则椭圆的离心率为_______ 3.已知方程 表示焦点y轴上的椭圆，则m的 取值范围是( ) (A)m＜2 (B)1＜m＜2 (C)m＜-1或1＜m＜2 (D)m＜-1或1＜m＜3/2 D

4.已知动点P、Q在椭圆9x2+16y2=144上.椭圆的中心为O，且OP·OQ=0，则中心O到弦PQ的距离OH必等于( ) (A) (B) (C) (D) → C 5.已知F1、F2是椭圆x2/25+y2/9=1的焦点，P为椭圆上一点.若∠F1PF2=60°.则△PF1F2的面积是________.

能力·思维·方法 【例1】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到 两焦点的距离分别为 和 ，过P作长轴的垂线恰好 过椭圆的一个焦点，求椭圆方程 【解题回顾】本题因椭圆焦点位置未定，故有两种情况，不能犯“对而不全”的知识性错误

2.如图，从椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=√10+√5，求此椭圆方程 【解题回顾】求椭圆的方程，先判 断焦点的位置，若焦点位置不确定 则进行讨论，还要善于利用椭圆的 定义和性质结合图形建立关系式

【解题回顾】|AF2|与|BF2|为焦半 径，所以考虑使用焦半径公式建 立关系式，同时结合图形，利用 平面几何知识在应用椭圆第二 3.已知椭圆C中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为45，F2是椭圆右焦点，A、B、C三点 均在椭圆上，若A、C、B三点到F2的距离成等差数列，A、B两点到F2的距离之和等于椭圆长 轴长的45，弦AB的中点N到椭圆左准线的距离为32. (1)求此椭圆的方程； (2)求C点坐标. 【解题回顾】|AF2|与|BF2|为焦半 径，所以考虑使用焦半径公式建 立关系式，同时结合图形，利用 平面几何知识在应用椭圆第二 定义时，必须注意相应的焦点和准线问题

4.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2 =60° (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关 【解题回顾】椭圆上的点与两个焦点F1、F2所成的三角形，常称之为焦点三角形，解焦点三角形问题经常使用三角形边角关系定理．解题中，通过变形，使之出现|PF1|+|PF2|，这样便于运用椭圆的定义，得到a、c关系，打开解题的思路

延伸·拓展 5.如图，等腰RtΔAPB的一条直角边AP在y轴上，A点在x轴下方，B点在y轴右方，斜边AB的边长为3√2，且A、B 两点均在椭圆C： (a＞b＞0)上 (1)若点P的坐标为 (0，1)，求椭圆C 的方程； (2)若点P的坐标为 (0，t)，求t的取值 范围 

【解题回顾】椭圆的取值范围是进行不等放缩，或建立不等关系的一种依据和途径，在与椭圆有关的问题中，若没有明确给出不等条件而要求某种变量的取值范围时，常据此构造不等式 误解分析 (1)充分利用题设中的已知条件△PAB为等腰直角三角形，寻找A、B、P三点坐标之间的关系是求解第1小题的关键. (2)注意联系第一小题中P为定点时的求法，同时要注意利用椭圆中的平方关系，构造不等式，是解决第二小题之关键

第2课时 双曲线 要点·疑点·考点 课 前 热 身   能力·思维·方法   延伸·拓展 误 解 分 析

要点·疑点·考点 1.双曲线的定义 (1)双曲线的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 (2)双曲线的第二定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l的距离比是常数e(e＞1)的点的轨迹叫做双曲线 2．双曲线标准方程的两种形式 x2/a2-y2/b2=1, -x2/b2+y2/a2=1(a、b＞0) 分别表示中心在原点、焦点在x轴、y轴上的双曲线

3．双曲线的几何性质：以x2/a2-y2/b2=1(a、b＞0)表示的双曲线为例，其几何性质如下：(1)范围：x≤-a，或x≥a(2)关于x轴、y轴、原点对称，(3)两顶点是(±a,0)(4)离心率e=c/a∈(1,+∞).c=√a2+b2(5)渐近线方程为y=±bx/a，准线方程是x=±a2/c 4．双曲线的焦半径公式 (1)双曲线x2/a2-y2/b2=1上一点P(x0，y0)的左焦半径为|PF1|=|ex0+a|；右焦半径为|PF2|=|ex0-a| (2)双曲线-x2/b2+y2/a2=1上一点P(x0,y0)的下焦半径为|PF1|=|ey0+a|，上焦半径为|PF2|=|ey0-a| 5．双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐近线方程为x2/a2-y2/b2=0；双曲线x2/a2-y2/b2=1的共轭双曲线为x2/a2-y2/b2=-1.

课 前 热 身 1．如果方程 表示双曲线，则实数m的取值 范围是( ) (A)m＞2 (B)m＜1或m＞2 (C)-1＜m＜2 (D)-1＜m＜1或m＞2 D 2.已知F1(-3，0)，F2(3，0)，满足条件｜PF1｜-｜PF2｜=2m-1的动点P的轨迹是双曲线的一 支，有下列数据：①2；②-1；③4；④-3.则m可以是( ) (A)①② (B)①③ (C)①②④ (D)②④ A

3.⊙O1与⊙O2的半径分别为1和2，｜O1O2｜=4,动圆与⊙O1内切而与⊙O2外切，则动圆圆心 轨迹是( ) A椭圆 B抛物线 C双曲线 D双曲线的一支 D 4.如图，已知OA是双曲线的实半轴，OB是虚半轴，F为 焦点，且S△ABF= ,∠BAO=30°，则双曲线的方 程为__________________

5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( ，0)直线y=x- 1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为 ，则此 双曲线的方程是( ) (A) (B) (C) (D) D

能力·思维·方法 1. 求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线，且过点M(2,-2)的双曲线的共轭双曲线的方程 【解题回顾】与 有公共渐近线的双曲线系方程是 (k∈R,k≠0),这种设法可简化运算、避免不必 要的讨论

2.在双曲线x2/13-y2/12=-1的一支上有不同的三点A(x1 , y1), B(x2 , 6),C(x3 , y3),它们与焦点F(0，5)的距离成等差数列 (1)求y1+y3；(2)求证线段AC的垂直平分线经过一定点 【解题回顾】过焦点的弦或半径使用双曲线的第二定义进行转化或使用焦半径公式可简化运算

3. 已知双曲线x2/a2-y2/b2=1的离心率e＞1+√2，左、右焦点分别为F1，F2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得|PF1|是P到l 的距离d与|PF2|的等比中项? 【解题回顾】1＜e≤1+√2是双曲线x2/a2-y2/b2=1 ，左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|·d成立的充要条件，例如双曲线x2/20-y2/25=1的离心率e=3/2＜1+√2，则这样的P点一定存在

 4. 已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A(2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双 曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称  4.已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A(2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双 曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称.设直线l过点A，斜率为k. (1)求双曲线S的方程； (2)当k=1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为2； (3)当0≤k＜1时，双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为2，求斜率k的值及相 应的点B的坐标. 【解题回顾】本题涉及的知识点较多，有利于提高学生综合运用知识的能力，其中第(2)( 3)题说明求圆锥曲线到一直线的距离为定长的点可转化为求与已知直线平行的一直线与圆锥 曲线的交点.

延伸·拓展 5.已知双曲线 (a＞0，b＞0)的离心率e= ， 过点A(0，-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为 (1)求双曲线的方程； (2)直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围 【解题回顾】圆锥曲线与直线的关系的问题由于是几何问题，往往利用图形的一些平面几何性质，如本题，CD是圆的弦，圆心与弦中点的连线垂直于弦，垂直关系可以较方便地用斜率互为负倒数而表示出来，解析几何不等的关系通常由判别式大于、等于零而得到

误解分析 (1)不能由题设条件建立k与m两变量之间关系，导致第二小题无法入手而圆心与弦中点的连线垂直于弦以及根与系数之间关系的应用是建立k与m两变量间关系的关键. (2)若求出k与m之间的关系但没有考虑Δ＞0会出现解答不全，导致错误

第3节 抛物线

要点·疑点·考点 1.抛物线的定义：平面内到定点F与到定直线l(Fl l )的距离之比为1的点的轨迹叫做抛物线 2.抛物线标准方程的四种形式y2=2px , y2=-2px , x2=2py , x2=-2py，当p＞0时分别表示焦点在x轴上，开口向右、开口向左，和焦点在y轴上，开口向上、开口向下的抛物线

3.抛物线的几何性质，以y2=2px(p＞0)表示抛物线为例，其几何性质如下：(1)范围是x≥0(2)关于x轴对称(3)顶点坐标为(0，0)(4)离心率是e=1,(5)焦点坐标是(p/2，0)准线方程是x=-p/2 4.抛物线y2=2px(p＞0)上一点P(x0,y0)的焦半径为|PF|=x0+p/2

课 前 热 身 1.焦点在直线3x-4y+12=0上的抛物线的标准方程是________ ___________________ 2.过抛物线y2=4x的焦点，作直线L交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|=______. 3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为( ) (A)1/8 (B)-1/8 (C)8 (D)-8 y2=-16x或x2=12y 8 B

4.已知抛物线x2=4y的焦点F和点A(-1，8)，P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是( )  (A)16 (B)6 ©12 (D)9 D 5.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点距离等于6；④抛物线的 通径为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1).能使抛物线方程为y2=1 0x的条件是_______ (要求填写适合条件的序号). ②⑤

能力·思维·方法 1.已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A(m,-3)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程 【解题回顾】注意焦点在x轴或y轴上抛物线方程可统一成y2=2ax(a≠0)或x2=2ay(a≠0)的形式，对于方向、位置不定的抛物线，求其方程时要注意分类讨论

2.已知圆x2+y2-9x=0与顶点在原点O、焦点在x轴上的抛物线C交于A，B两点，ΔOAB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C的方程. 【解题回顾】(1)注意运用平面几何的知识 (2)平面几何中的垂直在解析几何中可转化为斜率之积为-1

3.若一直线与抛物线y2=2px(p＞0)交于A、B两点且OA⊥OB，点O在直线AB上的射影为D(2，1)，求抛物线的方程 【解题回顾】OA⊥OBxA·xB+yAyB=0

4. 如图，AB是过抛物线y2=2px(p＞0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥l,N 为垂足 4.如图，AB是过抛物线y2=2px(p＞0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥l,N 为垂足.求证： (1)AN⊥BN; (2)FN⊥AB; (3)设MN交抛物线于Q，则Q平分MN； (4)1/｜FA｜+1/｜FB｜=2/p; (5)若BD⊥l,垂足为D，则A、O、D三点共线. 【解题回顾】由抛物线的焦点弦、准线、弦端点到准线的垂线段构成的直角梯形有许多有 趣的性质，借助抛物线的定义及平面几何知识可以一一加以证明，如本题中的前3小题.该图 形还有其他一些性质，同学们不妨归纳一下.

延伸·拓展 5.已知探照灯的轴截面是抛物线x=y2. 如图所示，表示平行于对称轴y=0(即x轴)的光线于抛物线上的点P、Q的反射情况.设点P的纵坐标为a(a＞0). a取何值时，从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短. 【解题回顾】将实际问题量化，建立恰当的数学模型，使用准确的语言加以描述，是数学应用能力的主要体现.

误解分析 (1)不了解光学性质致使解题无法入手，由光学性质知PQ为抛物线过终点的弦. (2)目标函数的正确建立是解题之关键同时要能根据具体目标函数选择适当的方法求最值.

第4节 直线与圆锥曲线的位置关系(一)

要点·疑点·考点 1.直线和圆锥曲线的位置关系及判断、运用设直线l的方程为：Ax+By+C=0圆锥曲线方程为：f(x，y)=0 由 若消去y后得ax2+bx+c=0，若f(x，y)=0表示椭圆，则a≠0，为此有 (1)若a=0，当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合.当圆锥曲线是抛物线时直线l与抛物线对称轴平行或重合. (2)若a≠0，设Δ=b2-4ac ①Δ＞0时，直线与圆锥曲线相交于不同两点 ②Δ=0时，直线与圆锥曲线相切于一点 ③Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有公共点 Ax+By+C=0 f(x，y)=0 消元(x或y)

2.能运用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系

课 前 热 身 1.直线y=kx-k+1与椭圆x2/9+y2/4=1的位置关系为( ) (A) 相交 (B) 相切 (C) 相离 (D) 不确定 2.已知双曲线方程x2-y2/4=1，过P(1，1)点的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线条数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 A A D

4.若椭圆mx2+ny2=1与直线x+y-1=0交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为 / 2， 则n/m的值等于___. 5. 设A为双曲线x2/16-y2/9=1右支上一点，F为该双曲线的右焦点，连结AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点( ) (A (B) (C)(4，0) (D) 2 A

能力·思维·方法 1. 直线y-ax-1=0与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点. (1)当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上? 【解题回顾】注意直线与双曲线渐近线的关系，注意一元二次方程首项系数是否为零的讨论

2. 已知椭圆 ，l1、l2为过点(0，m)且相互垂直的 两条直线，问实数m在什么范围时，直线l1、l2都与椭圆有公共点 【解题回顾】注意运用过封闭曲线内的点的直线必与此曲线相交这一性质.

3. 若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点，求实数a的值. 【解题回顾】对于开放的曲线，Δ=0仅是有一个公共点的充分但并不一定必要的条件，本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：当a=0时，曲线y2=ax蜕化为直线y=0，此时与已知直线y=x -1，恰有一个交点(1，0)；当a=-1时，直线y=-1与抛物线y2=-x的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次 方程中二次项系数为零)；当a= 时，直线 与抛物线 相切

4.椭圆 与直线x+y-1=0相交于两点P、Q， 且OP⊥OQ(O为原点) (1)求证： 等于定值； (2)若椭圆离心率e∈ 时，求椭圆长轴的取值范围 【解题回顾】在解决第2小题时，注意利用第1小题的结论利用(1)的结论，将a表示为e的函数

延伸·拓展 5.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为 且经过点 (1)求双曲线方程 5.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为 且经过点 (1)求双曲线方程 (2)过点P(1，0)的直线l 与双曲线交于A、B两点(A、B都在x轴下方)．直线 过点Q(0，-2)和线段A、B中点M. 且 与x轴交于点N(x0，0)求x0的取值范围 【解题回顾】第二小题中用k表示为x0的函数，即求函数x0的值域. 本小题是转化为给定区间上二次函数的值域求法

误解分析 1.关于直线与双曲线、抛物线的交点个数问题，一般不能只根据判别式Δ来判定，还要考察渐近线或对称轴 2.在用根与系数关系解题时一定要关注Δ≥0.

第5节 直线与圆锥曲线的位置关系(二)

要点·疑点·考点 1.在计算直线与圆锥曲线相交弦长或弦中点等有关问题时，能够运用一元二次方程根与系数的关系简化运算，如在计算相交弦长时，可运用公式(其中k为直线的斜率） 或 2. 计算圆锥曲线过焦点的弦长时，注意运用曲线的定义“点到焦点距离与点到准线距离之比等于离心率e”简捷地算出焦半径长

课 前 热 身 1.椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为 的弦AB则AB的长是________. 16 2.顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为 ，则此抛物线的方程为____ _____________________ 3.已知直线y=x+m交抛物线y2=2x于A、B两点，AB中点的横坐标为2，则m的值为___________ 16 y=12x或y2=-4x -1

4.曲线x2-y2=1的左焦点为F，P为双曲线在第三象限内的任一点，则kPF的取值范围是( ) (A)k≤0或k＞1 (B)k＜0或k＞1 (C)k≤-1或k≥1 (D)k＜-1或k＞1 5.椭圆x2/4+y2/2=1中过P(1，1)的弦恰好被P点平分，则此弦所在直线的方程是____________. B x+2y-3=0

能力·思维·方法 1.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B，C是 AB的中点，若|AB|= ，OC的斜率为 ，求椭 圆的方程． 【解题回顾】当直线的倾斜角为特殊角(特别是45°，135°)时，直线上点坐标之间的关系可以通过投影到平行于x轴、y轴方向的有向线段来进行计算．事实上，kOC·kAB=-a/b.

2. 已知椭圆C的一个顶点为A(0，-1)，焦点在x轴上，且其右焦点到直线x-y+ =0的距离为3. (2)试问能否找到一条斜率为k(k≠0)的直线l，使l与椭圆交于两个不同点M、N且使|AM|=|AN|，并指出k的取值范围 【解题回顾】求k的取值范围时，用m来表示k本题k和m关系式的建立是通过|AM|=|AN|得出AP⊥MN再转化为kAP·kMN=-1

3.已知双曲线c： B是右顶点，F 是右焦点，点A在x轴的正半轴上，且满足|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P (1)求证：PA·OP=PA·FP (2)若l与双曲线C的左、 右两支分别相交于D、 E，求双曲线C的离心 率e的取值范围. →

【解题回顾】(1)求出P、A两点坐标后，若能发现PA⊥x轴，则问题可简化， (2)联立方程组从中得到一个一元二次方程是解决此类问题的一个常规方法 本题也可以比较直线l的斜率和二四象限渐近线斜率获得更简便的求法.

【解题回顾】利用根系关系定理解决弦的中点问题时，必须满足方程有实根，即直线与圆锥曲线有两个交点的条件. 4.给定双曲线 (1)过点A(2，1)的直线l与所给双曲线交于两点P1、P2，如果A点是弦P1P2的中点，求l的方程 (2)把点A改为(1，1) 具备上述性质的直线是否存在，如果存在求出方程，如果不存在，说明理由 【解题回顾】利用根系关系定理解决弦的中点问题时，必须满足方程有实根，即直线与圆锥曲线有两个交点的条件.

延伸·拓展 【例5】如图，已知椭圆 ．过 其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|-|CD|| (1)求f(m)的解析式； (2)求f(m)的最值；

【解题回顾】在建立函数关系式时，往往要涉及 韦达定理、根的判别式等，许多情况下，它们是 沟通研究对象与变量的桥梁，此外还要注意充分 挖掘曲线本身的某些几何特征，与代数手段配合 解题

误解分析 (1)本题解决的关键之一是焦点的确定.进而确定直线方程.要能从变化中寻求出不变的量是数学解题能力的一个体现. (2)本题解题的要点是经过巧妙的变形，仍是通过根与系数之间的关系，获得f(m)的表达式，所以对数学解题中的一些常规的.基本的方法要有强化意识.

第6节 轨迹方程(1)

要点·疑点·考点 1.掌握曲线方程的概念，了解曲线的纯粹性和完备性 2.能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程 3.熟练掌握求轨迹方程的常用方法——直接法、定义法

课 前 热 身 1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则P点的轨迹方程是______________. 2.已知OP与OQ是关于y轴对称，且2OP·OQ=1，则点P(x、y)的轨迹方程是______________________ 3.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是______________________. → y=0(x≥1) -2x2+y2=1 y2=8x(x＞0)或y=0(x＜0)

4.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长a、b、c成等差数列，公差d＜0；则动点B的轨迹方程为_____________ _____________________. 5.动点M(x,y)满足 则点M轨迹是( ) (A)圆 (B)双曲线 (C)椭圆 (D)抛物线 D

能力·思维·方法 1.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2+2y2=4交于A、B两点，P是l 上满足PA·PB=1的点，求点P的轨迹方程 → 【解题回顾】求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者要挖去多余的点.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)

2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使MP·MN，PM·PN , NM·NP成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM与PN的夹角，求tanθ. → 【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的角或三角函数值.

3.一圆被两直线x+2y=0，x-2y=0截得的弦长分别为8和4，求动圆圆心的轨迹方程 【解题分析】本例中动点M的几何特征并不是直接给定的，而是通过条件的运用从隐蔽的状态中被挖掘出来的

延伸·拓展 4.已知动点P与双曲线x2/2-y2/3=1的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为-1/9. (2)若已知D(0，3)，M、N在动点P的轨迹上且DM=λDN , 求实数λ的取值范围. 【解题回顾】(1)本小题是由条件求出定值，由定值的取值情况，由定义法求得轨迹方程. (2)本小题先设点的坐标，根据向量的关系，寻找各变量之间的联系，从中分解主变量代入并利用辅助变量的范围求得λ的范围

误解分析 (1)第一小题的关键问题是建立关系求得定值，而其中的变形求最值是出错主要原因. (2)本小题设出点的坐标后，引入的变量较多，能否从中找出相关变量之关系，用一个变量来表示λ是解决问题的要点.

第7节 轨迹方程(2)

要点·疑点·考点 1. 掌握求轨迹方程的另两种方法——相关点法(又称代入法)、参数法 2. 学会选用适当的参数去表达动点的轨迹，并掌握常见的消去参数的方法

课 前 热 身 1.当θ∈［0,π/2］时，抛物线y=x2-4xsin θ-cos 2θ的顶点的轨迹方程是_____________ 2.已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=3，点P是AB上一点，且|AP|=1，则点P的 轨迹方程是_________________________  3. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为 4，则动椭圆中心的轨迹方程为_________________ X2=-2y-2

5.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0 B

能力·思维·方法 1. 点Q为双曲线x2-4y2=16上任意一点，定点A(0，4)，求内分AQ所成比为12的点P的轨迹方程 【解题回顾】此题中动点 P(x,y)是随着动点Q(x1 ,y1) 的运动而运动的，而Q点 在已知曲线C上，因此只 要将x1，y1用x、y表示后 代入曲线C方程中，即可得P点的轨迹方程.这种求轨迹的方法称为相关点法(又称代入法).

2. M是抛物线y2=x上一动点，以OM为一边(O为原点)，作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程. 【解题回顾】再次体会相关 点求轨迹方程的实质，就是 用所求动点P的坐标表达式 (即含有x、y的表达式)表示 已知动点M的坐标(x0 , y0)， 即得到x0=f(x,y)，y0=g(x,y)， 再将x0 , y0的表达式代入点M的方程F(x0 ,y0)=0中，即得所求.

3.过椭圆x2/9+y2/4=1内一定点(1，0)作弦，求诸弦中点的轨迹方程 利用点P(x0 , y0)在直线y=k(x-1)上消去k. 解二中把弦的两端点坐标分别代入曲线方程后相减，则弦的斜率可用中点坐标来表示，这种方法在解有关弦中点问题时较为简便，但是要注意这样的弦的存在性

4. 过抛物线y2=4x的顶点O作相互垂直的弦OA，OB，求抛物线顶点O在AB上的射影M的轨迹方程. 【解题回顾】本题由题设OM⊥AB、 OA⊥OB及作差法求直线AB的斜率， 来寻找各参数间关系，利用代换及整体性将参数消去从而获得M点的轨迹方程.

延伸·拓展 5.在△ABC中，已知B(-3，0)，C(3，0)，AD⊥BC于D，△ABC的垂心H分有向线段AD所成的比为1/8. (2)设P(-1，0)，Q(1，0)那么 能成等差 数列吗?为什么? 【解题回顾】本小题充分利用了三角形垂心这一已知条件由AD⊥BC得A、D坐标相同. 由BH⊥AC建立等量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。

误解分析 能指出P、Q为椭圆的焦点，即抓住了本小题的 关键，所以对于此类问题，思维要敏捷要有洞 察力 2. 对椭圆的焦半径公式要掌握并运用自如

第8节 系数含参变量的曲线方程

要点·疑点·考点 1.掌握含参数的曲线方程进行讨论的方法. 2.会研究含参数的曲线方程所表示曲线的几何性质.归纳出这些曲线的共性，应用于解决圆 锥曲线中的一些综合性问题. 3.了解方程中参系数的变化，引起方程表示的曲线的形状或大小或位置的变化，而x、y的变 化则引起P(x,y)在曲线上的变化，x、y为曲线上的点.

课 前 热 身 1.方程x2+my2=1的曲线，当m=1时是圆，当m=-1时是 双曲线，当m=2时是椭圆，当m=0时是两 条平行直线. 2.若方程kx2+(5-k)y2=k+3表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是_____________________ -3＜k＜0 3.动点P分别与两个定点A(-1，0)，B(1，0)连线的斜率之积等于k,则当______时，动点P在一 个圆周上运动；当k＜0，且k≠-1时,动点P在一个椭圆上运动；当______时，动点P在一条双 曲线(除去点A(-1，0)，B(1，0))上运动. K=-1 K>0

4.若椭圆(x2/(k+4))+(y2/9)=1的离心率为e=1/2，则k的值是( ) (A)12 (B)8 C)1/2或14 (D)8或11/4 5.设θ∈(0,π4)，则二次曲线x2cot θ-y2tan θ=1的离心率的取值范围为( ) (A)(0，1/2) (B)1/2， /2 (C) /2， (D)( ， +∞) D D

能力·思维·方法 1.试就k的不同取值，讨论方程(k-2)x2+(6-k)y2=(6-k)(k-2)所表示曲线的形状，并指出其 焦点坐标. 【解题回顾】化方程为标准形式是解题的基本思路.所以要熟悉圆锥曲线的各种形式，这 样展开讨论时才有方向.

2.设关于x、y的方程为x2+y2-2x-4y+m=0， (1)当m为何值时，此方程表示圆C； (2)若圆C与直线x+2y-4=0的两交点M、N，满足OM⊥ON(O为坐标原点)，求此时m的值. 【解题回顾】在第(2)小题的解答中，条件“OM⊥ON”的使用方式是解题的关键.这里把它 化成可利用一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)的形式.

3.已知圆K过定点A(a,0)(a＞0)，圆心K在抛物线C:y2=2ax上运动，MN为圆K在y轴上截得的弦 . (2)当｜OA｜是｜OM｜与｜ON｜的等差中项时，抛物线C的准线与圆K有怎样的位置关系? 证明你的结论.. 【解题回顾】对题(2)，将目标转化为判断d=x0+a/2与 的大小，需确定x0的范围， 这里综合了韦达定理、等差中项、绝对值不等式、一元二次不等式等知识，体现了科间综合 .

4.直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，直线l经过点(-2，0)和AB的中点，求 直线l在y轴上的截距离b的取值范围 解题回顾】由题设可知，l在y轴上的截距b随动直线方程中的k的变化而变化，故b=f(k) ,因此，要设法根据条件得到函数b=f(k)及自变量k的取值范围，然后通过研究函数的值域得 到b的取值范围. 此题还可增加一问.若y轴上有一线段PQ与直线l无公共点，求线段PQ长度的最大值.

延伸·拓展 5.已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O为AB的中点.点E、F、G分别在BC、CD、DA上 移动，且BE/BC=CF/CD=DG/DA,P为GE与OF的交点(如图).问是否存在两个定点，使P到这两点的距 离的和为定值?若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.  【解题回顾】本题主要是根据已知条件求轨迹，采用的是参数法，求出的方程中有字母系 数，要判别曲线形状，要对字母系数分类讨论，一般是先化方程为标准形式，再判断其形状 在解此题过程中蕴含着方程思想、分类讨论思想和化归思想，特别是化归思想在解综合题时 的应用特别普通.

第9节 最值问题

要点·疑点·考点 1.能够根据条件恰当地选择自变量建立目标函数，然后利用求函数最值的方法(如配方法、基本不等式法、三角函数的值域、函数的单调性、判别式法等)求出最大、最小值 2.能够结合曲线的定义和几何性质，运用“数形结合”或者用“几何法”求出某些最大、最小值.

课 前 热 身 1. 定长为12的线段AB的端点在双曲线 的右支上， 则AB中点M的横坐标的最小值为_____. 2.已知点 ，F是椭圆 的左焦点，一动点M 在椭圆上移动，则|AM|+2|MF|的最小值为_____. 3.若动点P在直线2x+y+10=0上运动，直线PA、PB与圆x2+y2=4分别切于点A、B，则四边形PAOB面积的最小值为_______. 10 8

4.椭圆 且满足 ，若离心率为e， 则 的最小值为( ) (A)2 (B) (C) (D) B 5.设点P是椭圆 上的动点，F1、F2是椭圆的两个 焦点，则sin∠F1PF2的最大值为_________________

能力·思维·方法 1.过椭圆2x2+y2=2的一个焦点作直线交椭圆于P，Q两点，求△POQ面积S的最大值.

2.已知定点A(a,0)，其中0＜a＜3，它到椭圆 上 的点的距离的最小值为1，求a的值. 【解题回顾】本题是通过建立二次函数求最值，基本手法是配方，要注意顶点横坐标是否在此区间内的讨论.

延伸·拓展 5.在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x (1)设点A的坐标为(2/3，0)，求曲线上距点A最近的点P之坐标及相应的距离|PA|； (2)设点A的坐标为(a,0),a∈R，求曲线上的点到点A距离之最小值d，并写出d=f(a)的函数表达式. 【解题回顾】一般而言，对抛物线y2=2px，则有

误解分析 (1)误以为抛物线上距A最近的点一定为抛物线的顶点是导致第二小题出错原因之一 (2)建立目标函数后，d2是关于x的二次函数，要进行分类讨论求得d2的最小值，否则会出现 的错误结果.