主讲人： 吕敏 Email: { lvmin05@ustc.edu.cn } Spring 2012，USTC 算法基础 主讲人： 吕敏 Email: { lvmin05@ustc.edu.cn } Spring 2012，USTC

第二讲 函数增长 内容提要： 渐进记号 常用函数 级数求和 2018/12/4

n →∞, 归并排序Θ(nlgn), 算法性能优于 插入排序Θ(n2) 利用函数增长率来描述算法效率，并可以用来比较各种算法的相对性能； 算法的渐近效率，即极限情况下的函数行为 通常忽略低阶项和常数因子 如何描述算法的运算时间 比较函数大小的方法 2018/12/4

第二讲 函数增长 内容提要： 渐进记号 定义：O, Ω, Θ, o, ω 证明例子 常用函数 级数求和 2018/12/4

Asymptotic notation（渐近记号） 表示渐近运行时间的记号用定义域为自然数集的函数定义。 为了方便，可以将定义域扩充至实数域或缩小到自然数集 的某个受限子集上。 注意：要清楚这些表示法的准确含义，以保证越规使用但 不误用。 2018/12/4

Θ-notation: asymptotically tight bound（渐近紧界） What this notation T(n)=Θ(n2) means For a given function g(n), we denote by Θ(g(n)) the set of functions Θ(g(n)) = {f(n): there exist positive constants c1, c2 , and n0 such that 0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n) for all n≥n0}. we could write “f(n)∈Θ(g(n))” to indicate that f(n) is a member of Θ(g(n)). Instead, we will usually write “f(n)=Θ(g(n))” to express the same notion. The abuse may at first appear confusing, but it has advantages. 2018/12/4

Θ-notation: asymptotically tight bound（渐近紧界） T(n)=Θ(n2) For a given function g(n), we denote by Θ(g(n)) the set of functions Θ(g(n)) = {f(n): there exist positive constants c1, c2 , and n0 such that 0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n) for all n≥n0}. We say that g(n) is an asymptotically tight bound for f(n). 2018/12/4

Θ-notation: asymptotically tight bound（渐近紧界） Θ(g(n)) = { f(n): there exist positive constants c1, c2 , and n0 such that 0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n) for all n≥n0 }. In this chapter, assume that every asymptotic notations are asymptotically nonnegative.（设所有的渐近符号为渐近非负） Example: How to show that n2/2-3n=Θ(n2) ? We must determine positive constants c1, c2, and n0 such that by choosing c1 =1/14, c2=1/2, and n0=7, we can verify that n2/2-3n=Θ(n2) Other choices for the constants may exist. The key is some choice exists.（可能有多个值，只要存在某个值就可以了） 2018/12/4

Θ-notation: asymptotically tight bound（渐近紧界） Θ(g(n)) = {f(n): there exist positive constants c1, c2 , and n0 such that 0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n) for all n≥n0 }. How verify that ? Suppose for the purpose of contradiction that c2 and n0 exist such that for all . But then , which cannot possibly hold for arbitrarily large n, since c2 is constant. 2018/12/4

Θ-notation: asymptotically tight bound（渐近紧界） Θ(g(n)) = { f(n): there exist positive constants c1, c2 , and n0 such that 0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n) for all n≥n0 }. The lower-order terms, the coefficient of the highest-order term can be ignored. Example: , where a>0, b, c are constants. Throwing away the lower-order terms and ignoring the constant yields . (Page44) In general, for any polynomial , where the ai are constants and ad >0, we have . We can express any constant function as or . often mean either a constant or a constant function. 2018/12/4

O-notation: asymptotic upper bound（渐近上界） O – notation: For a given function g(n), we denote by O(g(n)) the set of functions O(g(n)) = {f(n): there exist positive constants c and n0 such that 0≤f(n)≤c g(n) for all n≥n0}. 一些文献中用 O-notation 来表示一致紧界。为表示f(n)属于集合O(g(n))，通常可以记为f(n)=O(g(n))。如果f(n)=theta(g(n))，则也蕴含着f(n)=O(g(n))，因为theta记号比O记号来得强。按照集合论中的写法，theta(g(n))属于O(g(n))。 11

O-notation: asymptotic upper bound O – notation: For a given function g(n), we denote by O(g(n)) the set of functions O(g(n)) = {f(n): there exist positive constants c and n0 such that 0≤f(n)≤c g(n) for all n≥n0}. Example: 2n2 = O(n3), with c=1 and n0=2 Example of functions in O(n2) 一些文献中用 O-notation 来表示渐近确界，但是本课程利用theta记号来表示。O记号表示的是渐近上界，并没有不反映该上界是如何接近。 12

Ω-notation: asymptotic lower bound（渐近下界） Ω – notation: For a given function g(n), we denote by Ω(g(n)) the set of functions Ω(g(n)) = {f(n): there exist positive constants c and n0 such that 0≤c g(n)≤f(n) for all n≥n0}. Ω记号给出了一个函数的渐近下届，图（c)说明了Ω记号的直观意义。对所有在n0右边的n值，函数f(n)的数值等于或者大于cg(n)。 13

Ω-notation: 渐近下界 Ω – notation: For a given function g(n), we denote by Ω(g(n)) the set of functions Ω(g(n)) = {f(n): there exist positive constants c and n0 such that 0≤c g(n)≤f(n) for all n≥n0}. Example of functions in Ω(n2) 14

Ω-notation: 渐近下界 Theorem 3.1 For any two functions f(n) and g(n), we have f(n)=Θ(g(n)) if and only if f(n)=O(g(n)) and f(n) =Ω(g(n)). Prove: 根据到目前为止我们所见过的各渐近记号的定义，容易证明下面重要定理。 15

Ω-notation: 渐近下界 Theorem 3.1 For any two functions f(n) and g(n), we have f(n)=Θ(g(n)) if and only if f(n)=O(g(n)) and f(n) =Ω(g(n)). In practice, rather than using the theorem to obtain asymptotic upper and lower bounds from asymptotically tight bounds, we usually use it to prove asymptotically tight bounds from asymptotic upper and tower bounds. （定理作用：实际中，通常根据渐近上界和渐近下界来证明渐近紧界，而不是根据渐近紧界来得到渐近上界和渐近下界。） 这里我们是利用渐近确界导出渐近上界和渐近下界，但是实际应用中一般都是用渐近上界和渐近下届来证明出渐近确界。 16

Ω-notation: 渐近下界 因为Ω记号描述了渐近下界，当它用来对一个算法最佳情况运行时间限界时，也隐含给出了在任意输入下运行时间的界。 插入排序的最佳情况运行时间是Ω(n)，这隐含着该算法的运行时间是Ω(n)。 我们不能说插入排序算法的运行时间为Ω( )。这是因为存在一个输入（也就是已经排好序情况下），插入排序时间为Θ(n)。但是，可以说该算法的最坏运行时间为Ω( )。 当我们说一个”算法的运行时间为Ω(g(n))”时，我们是指对足够大的n值，对输入规模为n的任意输入，其运行时间至少是g(n)的一个常数倍。 因为Ω记号描述了渐近下界，当它用来对一个算法最佳情况运行时间限界时，也隐含给出了在任意输入下运行时间的界。 例如，插入排序的最佳情况运行时间是Ω(n)，这隐含着该算法的运行时间是Ω(n)。 同样地，我们不能说插入排序算法的运行时间为Ω(n2)。这是因为存在一个输入（也就是已经排好序情况下），插入排序时间为Θ(n)。但是，可以说该算法的最坏运行时间为Ω(n2)。 当我们说一个”算法的运行时间为Ω(g(n))”时，我们是指对足够大的n值，对输入规模为n的任意输入，其运行时间至少是g(n)的一个常数倍。 17

等式和不等式中的渐近记号 我们已经见过了渐近记号在数学公式中的应用。如n=O( )，2 +3n+1= 2 +Θ(n)等，如何来解释这些公式呢？ 1）当渐近记号出现在等式的右边时，则等号表示左边的函数属于右边函数集合中的元素，即等号表示集合的成员关系。 2）一般来说，当渐近记号出现在某个公式中时，我们将其解释为一个不在乎其名称的匿名函数。如公式“2 +3n+1=2 +Θ(n)” 即表示“2 + 3n+1=2 +f(n)”, 其中f(n)是某个属于集合Θ(n）的函数。这里3n+1也确实在Θ(n）中。 3）当渐近记号出现在等式左边的时候，这时候我们用如下规则来解释：无论等号左边的匿名函数如何选择，总有办法选取等号右边的匿名函数使等式成立。这样，对于任意函数f(n) ∈Θ(n)，存在函数g(n) ∈Θ( ) ，使得对所有的n，有2 +f(n)=g(n)成立。换而言之，等式右边提供了较左边更少的细节。 4）利用2）3）我们就可以得到这么一个等式“2 + 3n+1=2 +Θ(n)=Θ( )”.该等式的解释是：第一个等式说明存在函数f(n) ∈Θ(n),使对所有的n有2 + 3n+1 = 2 +f(n) 。第二个等式说明，对任意函数g(n) ∈Θ(n ) ,存在某个函数h(n) ∈Θ( ) ,使对所有的n有 2 +g(n)= h(n)。当然了，这个解释也蕴含着2 + 3n+1=Θ( ). 我们已经见过了渐近记号在数学公式中的应用。如n=O(n2)，2n2+3n+1= 2n2+Θ(n)等，如何来解释这些公式呢？ 1）当渐近记号出现在等式的右边时，则等号表示左边的函数属于右边函数集合中的元素，即等号表示集合的成员关系。 2）一般来说，当渐近记号出现在某个公式中时，我们将其解释为一个不在乎其名称的匿名函数。如公式“2n2+3n+1=2n2+Θ(n)” 即表示“2n2+ 3n+1=2n2+f(n)”, 其中f(n)是某个属于集合Θ(n）的函数。这里3n+1也确实在Θ(n）中。 3）当渐近记号出现在等式左边的时候，这时候我们用如下规则来解释：无论等号左边的匿名函数如何选择，总有办法选取等号右边的匿名函数使等式成立。这样，对于任意函数f(n) ∈Θ(n)，存在函数g(n) ∈Θ(n2 ) ，使得对所有的n，有2n2 +f(n)=g(n)成立。换而言之，等式右边提供了较左边更少的细节。 4）利用2）3）我们就可以得到这么一个等式“2n2+ 3n+1=2n2+Θ(n)=Θ(n2)”.该等式的解释是：第一个等式说明存在函数f(n) ∈Θ(n),使对所有的n有2n2+ 3n+1 = 2n2+f(n) 。第二个等式说明，对任意函数g(n) ∈Θ(n ) ,存在某个函数h(n) ∈Θ(n2 ) ,使对所有的n有 2n2 +g(n)= h(n)。当然了，这个解释也蕴含着2n2+ 3n+1=Θ(n2). 18

o-notation: (非渐近紧确上界） 例如， 2n2=O(n2)是渐近紧确的, 但 2n=O(n2) 却不是. 我们利用小o记号来表示非渐近紧确的上界，其定义如下 （渐近非紧上界） o(g(n)) = {f(n): for any positive constants c>0, there exits a constant n0>0 such that 0≤f(n)<c g(n) for all n≥n0}. For example, 2n=o(n2), but 2n2≠o(n2). 大O记号所提供的渐近上界可能是、也可能不是渐近紧确的。 如2n2=O(n2)是渐近紧确的，而2n=O(n2)却不是。 我们利用小o记号来表示非渐近紧确的上界，其定义如下： 19

ω-notation — 非渐近紧确下界 ω-notation is to Ω-notation as o-notation is to O-notation. Theω-notation denotes an lower bound that is not asymptotically tight. Formally, define ω(g(n)) as the set ω(g(n)) = { f(n): for any positive constants c>0, there exits a constant n0>0 such that 0≤c g(n)<f(n) for all n≥n0}. One way to define it is by f(n)∈ω(g(n)) if and only if g(n)∈o(f(n)) For example, n2/2=ω(n), but n2/2≠ω(n2). The relation f(n)=ω(g(n)) implies that 1）小ω记号与Ω记号的关系就好像小o和大O记号的关系一样。 2）小ω记号表示非渐近紧确下界，其形式化定义为： 也可以利用小o记号来定义。 3）同样地小ω记号也表示了一种极限关系，relation f(n)=ω(g(n))表示当n趋于无穷时，f(n)相对g(n)来说变得任意大了。 20

Comparison of functions（函数比较） Many of the relational properties of real number apply to asymptotic comparisons. For the following, Assume that f(n) and g(n) are asymptotically positive. Transitivity（传递性） 实数的许多关系属性可以应用于渐近比较下面假设f(n)和g(n)是渐近正值函数。 21

Comparison of functions（函数比较） Reflexivity（自反性） Symmetry（对称性） Transpose symmetry（反对称性） 22

Comparison of functions（函数比较） An analogy between the asymptotic comparison of two functions and the comparison of two real numbers （函数渐近性比较与实数比较的类比） 因为这些性质对渐近记号也成立，我们可以将两个函数f与g的渐近比较和两个实数a与b的比较作一类比： 如果f(n)=o(g(n))，则f(n)比g(n)渐近较小；如果f(n)=ω(g(n))，则f(n)比g(n)渐近较大。 23

Comparison of functions（函数比较） One property of real numbers, does not carry over to asymptotic notation Trichotomy（三分法）: any two real numbers a and b, one of the following must holds: a<b, a=b, or a>b. Not all functions are asymptotically comparable. That is, for two functions f(n) and g(n), it may be the case that neither f(n)=O(g(n)) nor f(n)=Ω(g(n)) holds. For example, the functions n and cannot be compared using asymptotic notation. 虽然很多情况下可以把实数集上的属性类比与渐近记号，但是实数上的“三分性”却不能用到渐近记号上。 三分性（三分法）：对于两个实数a和b，下列三种情况恰有一种成立：a<b，a=b，或a>b； 虽然任何两个实数都可以做比较，但并不是所有的函数都是渐近可比较的。也就是说，对于两个函数f(n)和g(n)，可能f(n)=O(g(n))和f(n)=Ω(g(n)) 都不成立。比如：n和n^(1+sinn). 24

第二讲 函数增长 内容提要： 渐进记号 常用函数 级数求和 2018/12/4

Standard notation and common function Monotonicity（单调性） Floors and ceilings Modular arithmetic (remainder or residue) （模运算） Polynomials（多项式） Exponentials（指数） Logarithms（对数） Factorials（阶乘） 本节我们回顾一些标准的数学函数和记号，并给出他们之间的关系。见书本Page31。 这里需要注意如下几个记号：1）下取整和上取整；2）取模运算；3）对数运算：对数的表示方法。 斯特林近似公式 26

Standard notation and common function Functional iteration（迭代函数） We use the notation f(i)(n) to denote the function f(n) iteratively applied i times to an initial value of n. For non-negative integers i, we recursively define For example, if f(n)=2n, then 迭代函数相对比较新，可以重点了解一下。 27

Standard notation and common function The iterated logarithm function（多重对数函数） We use the notation lg*n to denote the iterated logarithm. Let lg(i)n be iterated function, with f(n)=lgn, that is lg(i)(n)=lg(lg(i-1)(n)) . lg(i)n is defined only if lg(i-1)n>0. Be sure to distinguish lg(i)n from lgin. lg*n is defined as The iterated logarithms is a very slowly growing function: 265536 >>1080. Rarely encounter an input size n such that lg*n>5. Fibonacci numbers 人类能够观测到的宇宙中的原子总数约为1080 28

第二讲 函数增长 内容提要： 渐进记号 常用函数 级数 求和 2018/12/4

级数求和 定义：有限和、无限和、级数收敛、级数发散的、绝对收敛级数 等差级数： 平方和与立方和： 几何级数： 调和级数： 级数的积分和微分： 2018/12/4

确定求和时间的界 数学归纳法 确定级数各项的界 分割求和：可以将级数表示为两个或多个级数，按下标的范围进行划分，然后再对每个级数分别求界。 1）计算级数的准确值 2）计算和式的界，如：证明几何级数 的界是 3）一个容易犯的错误，如：证明 确定级数各项的界 1）一个级数的理想上界可以通过对级数中的每个项求界来获得； 2）一个级数实际上以一个几何级数为界时，可以选择级数的最大项作为每项的界（注意防止犯错！） 分割求和：可以将级数表示为两个或多个级数，按下标的范围进行划分，然后再对每个级数分别求界。 2018/12/4

谢谢！ Q & A 作业： 3.2-3 第三章思考题 3-2，3-3 2018/12/4