7.1 多边形表面 7.2 二次曲面和超二次曲面 7.3 样条表示 7.4 三次插值样条 7.5 Bézier曲线和曲面 第七章 三维对象的表示 7.1 多边形表面 7.2 二次曲面和超二次曲面 7.3 样条表示 7.4 三次插值样条 7.5 Bézier曲线和曲面 第七章 1

7.1 多边形表面 边界表示 (Boundary representation,B-reps)： 用一组平面或曲面来描述一个三维物体。 　　用一组平面或曲面来描述一个三维物体。 多边形网格 样条曲面 图7-1 边界表示 7.1.1 平面方程 　　 平面方程可表示为： A x + B y + C z + D = 0 其中，(x, y, z) 是平面上任意点，A，B，C，D 为常数 第七章 2

A＝ y1(z2-z3) + y2 (z3-z1) + y3 (z1-z2) 为求解系数 A， B， C， D， 可从平面中选取三个不共线点 (x1 , y1 , z1)，(x2 , y2 , z2)，(x3 , y3 , z3) 代入方程中得： (A/D) xk + (B/D) yk + (C/D) zk = -1　　　　k=1,2,3 运用 Cramer 法则，上述方程组的解可由行列式表示为： 展开得： A＝ y1(z2-z3) + y2 (z3-z1) + y3 (z1-z2) B＝ z1 (x2-x3) + z2 (x3-x1) + z3 (x1-x2) C＝ x1 (y2-y3) + x2 (y3-y1) + x3 (y1-y2) D＝ - x1 (y2z3-y3z2) - x2 (y3z1-y1z3) - x3 (y1z2-y2z1) 第七章 3

设平面法向量为 N(A，B，C)， P为平面上一点，则平面方程可以用向量形式表示： 图7-2 一个物体的二个相邻多边形 V1 V2 V3 V4 V5 E1 E6 E2 E3 E4 E5 7.1.2 多边形表 　　 几何表 属性表 顶点表： 　 V1：x1,y1,z1 　 V2：x2,y2,z2 　 V3：x3,y3,z3 　 V4：x4,y4,z4 　 V5：x5,y5,z5 边表： E1 ：V1 , V2 E2 ：V2 , V3　 E3 ：V1 , V3 　　　　 E4 ：V3 , V4 　 E5 ：V4 , V5 　　 E6 ：V5 , V1 面表： 　 S1 ：E1 , E2 , E3 　　 S2 ：E3 , E4 , E5 , E6 第七章 4

7.2 二次曲面与超二次曲面 7.2.1 二次曲面　　 1. 球面 2. 椭球面 第七章 5

7.2.2 超二次曲面 S=2.5 S=0.5 S=1 S=1.5 S=2 S=3 S=3.5 1. 超椭圆 第七章 6 7.2.2 超二次曲面　　 S=2.5 S=0.5 S=1 S=1.5 S=2 S=3 S=3.5 图7-3 各种S值下的超椭圆 1. 超椭圆 第七章 6

2. 超椭球面 例：各种 S 值下的超椭球面 7.2.3 柔性对象　　 图7-4 柔性物体：缆绳 第七章 7

7.3 样条表示 7.3.1 样条曲线 (Spline Curve)： 图7-5 样条曲线 7.3.1 样条曲线 (Spline Curve)： 　　在计算机图形学中，样条曲线指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每个曲线段的连接处满足特定的连续条件。 控制点：用来生成样条曲线的坐标点。 控制多边形：依次连接各控制点得到的一组连续线段。 凸包：包围一组控制点的凸多边形边界。 图7-6 控制点、控制多边形及凸包 第七章 8

7.3.2 样条曲线的参数连续性条件： 7.3.3 样条曲线的分类： 插值样条曲线：样条曲线通过所有控制点 　　　 C0连续　　　　　　　　　 C1连续　　　　　　　 　　　C2连续　 图7-7 参数连续性 插值样条曲线：样条曲线通过所有控制点 逼近样条曲线：样条曲线不通过所有控制点 7.3.3 样条曲线的分类： 线性插值 二次插值 三次插值 高次插值 自然三次样条 Hermite 插值 Cardinal 样条 Bézier 曲线 B 样条曲线 b 样条 第七章 9

7.4 三次插值样条 7.4.1 自然三次样条 ： 　　给定n+1个控制点　　　　　　　　　　　　　，构造一个三次插值样条，每对控制点构造一个曲线段，两相邻曲线段在相交处有相同的一阶和二阶导数。 图7-8 自然三次样条 　　设第k个曲线段的参数三次多项式为： 　　n+1个控制点产生n个曲线段，每个曲线段有四个待定系数，那么n+1个控制点构造自然三次样条，需要确定4n个待定系数。 第七章 10

n+1个控制点可分为n-1个内控制点和两个外控制点。 两个外控制点： 两个外控制点可建立两个方程。 第七章 11

再获得两个方程的方法： 设定　 、　两控制点的二阶导数为0； 在 　、　两控制点外再增加两个控制点 　、 　 ，这样原来的n+1个 　 控制点都变成了内控制点，可得到所需的4n个方程。 7.4.2 分段三次Hermite插值样条 ： 　　给定n+1个控制点　　　　　　　　　　　　　，构造一个三次插值样条，每对控制点构造一个曲线段，曲线段通过控制点并在控制点处有给定的切线（一阶导数）。 　　设第k个曲线段的参数三次多项式为： 　　参数三次多项式的一阶导数为： 第七章 12

设 　、　　控制点处曲线的一阶导数为　　、　　 ，由给定的边界条件：曲线段通过各控制点，并在各控制点处有给定的一阶导数， 建立如下方程： 写成矩阵形式： 第七章 13

第七章 14

图7-9 汽车效果图和线框图 第七章 15

图7-10 飞机线框图 第七章 16

7.5 Bezier曲线和曲面 7.5.1 Bézier曲线 ： 由两个端点和若干个不在曲线上的点来决定曲线的形状。 　　 由两个端点和若干个不在曲线上的点来决定曲线的形状。 给定空间两点　 、　，其位置向量为 　、　，则连接这两点的直　 线向量方程为： 图7-11 过两点Bézier曲线 第七章 17

给定空间三点 ，其位置向量为 ，则可构造一 条二次Bézier曲线，曲线的向量方程为： 第七章 18

给定空间四点 ，其位置向量为 ，则可构 造一条三次Bézier曲线，曲线的向量方程为： 第七章 19

给定空间n+1点 　　 　 ，其位置向量为 　 　 ，则可构造一条n次Bézier曲线，曲线的向量方程为： 第七章 20

Bézier曲线的起点是第一个控制点；终点是最后一个控制点。 端点性质： Bézier曲线的起点是第一个控制点；终点是最后一个控制点。 曲线在起点处的切向量落在特征多边形的第一条边上，长度是边长的n倍； 曲线在终点处的切向量落在特征多边形的最后一条边上，长度是边长的n倍。 对称性： 凸包性：曲线落在控制点的凸包内。 几何不变性： Bézier曲线的形状由控制点　　　　　　　　唯　　　　　　　 一确定，而与坐标系的选取无关。　　　　 第七章 21

图7-14 利用Bézier曲线构造C0连续的曲线 第七章 22

图7-15 利用Bézier曲线构造C1连续的曲线 曲线在起点处的切向量落在特征多边形的第一条边上，长度是边长的n倍； 曲线在终点处的切向量落在特征多边形的最后一条边上，长度是边长的n倍。 令　 点与　 点重合， 点在 　的延长线上，且： 图7-15 利用Bézier曲线构造C1连续的曲线 　　曲线段在　 点的一阶导数为： 　　 曲线段在　 点的一阶导数为： 第七章 23

B1,3 (u) ＝ 3u (1-u) 2 B2,3 (u) ＝ 3u 2 (1-u) B3,3 (u) ＝ u 3 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 图7-16 Bézier曲线混合函数 7.5.4 三次Bézier 曲线： 　　给定空间四点，可构造一条三次Bézier曲线，曲线的向量方程为： 四个混合函数的形式如下： 　　　 　　　　　　　 B0,3 (u) ＝ (1-u) 3 B1,3 (u) ＝ 3u (1-u) 2 B2,3 (u) ＝ 3u 2 (1-u) B3,3 (u) ＝ u 3 第七章 24

　　三次Bézier曲线的向量方程可以表示为矩阵形式： 第七章 25

给定空间 个点 ，利用两组正交的Bézier曲线逼近这些点，得到的曲面称为 次Bézier曲面，曲面的向量函数形式如下： 控制顶点： 控制网格： 第七章 26

7.5.6 Bézier曲面性质： 角点位置： Bézier曲面的四个角点分别是其控制网格的四个角点。 边界线： Bézier曲面　　　的四条边界是Bézier曲线。 凸包性： Bézier曲面　　　包含在其控制顶点　 的凸包内。 第七章 27

作业： 1. 图10－37是用Bézier曲线段构造的一个C1连续的曲线，图中的做　　法是否正确，如有错误请说明错误的原因。 2. 写出五个控制点的Bézier曲线向量方程及混合函数表达式。 第七章 28